0
大学数学基礎解説
文献あり

素数の逆数和の発散を単純に 1

101
0
$$\newcommand{beginend}[2]{\begin{#1}#2\end{#1}} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{hygeo}[6]{ {}_{#2}{#1}_{#3}\left[\begin{matrix}{#4}\\ {#5}\end{matrix}\ ;{#6}\right]} \newcommand{kfrac}[0]{\mathop{\large\rm{K}}} \newcommand{lr}[3]{\left#1{#2}\right#3} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{stirling}[3]{\left[ \begin{matrix}{#1} \\ {#2}\end{matrix} {#3}\right]} \newcommand{Stirling}[3]{\left\{ \begin{matrix}{#1} \\ {#2}\end{matrix} {#3}\right\}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

$n$番目の素数を$p_n$とする。
無限級数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{p_n}$は正の無限大に発散する。

$\beginend{align}{ n &\ge 1 \\ S_n &:= \sum_{k=1}^n \frac{1}{p_k} \\ T_n &:= \prod_{k=1}^n \frac{1}{1-\frac{1}{p_k}} }$
$1< x\le2$

$\beginend{align}{ \ln{T_n} &= \sum_{k=1}^n\lr({-\ln\lr({1-\frac{1}{p_k}})}) = \sum_{k=1}^n \sum_{l=1}^\infty \frac{1}{l p_k^l} = \sum_{l=1}^\infty \frac{1}{l} \sum_{k=1}^n \frac{1}{p_k^l} \\&= \sum_{l=1}^\infty \frac{1}{lx^l} \sum_{k=1}^n \lr({\frac{x}{p_k}})^l \\&\le \sum_{l=1}^\infty \frac{1}{lx^l} \sum_{k=1}^n \frac{x}{p_k} \qquad \small \because 0<\frac{x}{p_k} \le 1 \\&= -x\ln\lr({1-\frac{1}{x}})S_n }$

$\beginend{align}{ &1< x\le2 \\ \Rightarrow &-x\ln\lr({1-\frac{1}{x}})>0 }$
$n\to\infty$とした時、 オイラー積 により$T_n$は正の無限大に発散するため、
$S_n$は正の無限大に発散する。

次回: https://mathlog.info/articles/lQMfSmuXUU5jtehzEDYv

参考文献

投稿日:2023414

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

投稿者

著者の記事における命題は大半が自分で発見したものであり、 何かしらの論文などに基づいたものではありません。

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中