素数の逆数和の発散を単純に 1
$n$番目の素数を$p_n$とする。
無限級数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{p_n}$は正の無限大に発散する。
$\beginend{align}{
n &\ge 1 \\
S_n &:= \sum_{k=1}^n \frac{1}{p_k} \\
T_n &:= \prod_{k=1}^n \frac{1}{1-\frac{1}{p_k}}
}$
$1< x\le2$
$\beginend{align}{ \ln{T_n} &= \sum_{k=1}^n\lr({-\ln\lr({1-\frac{1}{p_k}})}) = \sum_{k=1}^n \sum_{l=1}^\infty \frac{1}{l p_k^l} = \sum_{l=1}^\infty \frac{1}{l} \sum_{k=1}^n \frac{1}{p_k^l} \\&= \sum_{l=1}^\infty \frac{1}{lx^l} \sum_{k=1}^n \lr({\frac{x}{p_k}})^l \\&\le \sum_{l=1}^\infty \frac{1}{lx^l} \sum_{k=1}^n \frac{x}{p_k} \qquad \small \because 0<\frac{x}{p_k} \le 1 \\&= -x\ln\lr({1-\frac{1}{x}})S_n }$
$\beginend{align}{
&1< x\le2 \\ \Rightarrow
&-x\ln\lr({1-\frac{1}{x}})>0
}$
$n\to\infty$とした時、
オイラー積
により$T_n$は正の無限大に発散するため、
$S_n$は正の無限大に発散する。