こんにちは!よの(Twitter @Yonono_01)です!今回は昔に思いついて放置していた式を供養がてら投稿します。(厳密なことは考えていません)
$ \mathrm{arctan}x=\displaystyle\frac{1}{2i}\ln\bigg(\frac{1+ix}{1-ix}\bigg) $
$
\begin{align*}
e^{2i\theta}
&=\frac{e^{i\theta}}{e^{-i\theta}}\\
&=\frac{\cos\theta+i\sin\theta}{\cos\theta-i\sin\theta} \\
&=\frac{1+i\tan\theta}{1-i\tan\theta}\\
\end{align*}
$
両辺の対数を取ると
$
\begin{align*}
\theta
=\displaystyle\frac{1}{2i}\ln\bigg(\frac{1+i\tan\theta}{1-i\tan\theta}\bigg)\\
\end{align*}
$
$\tan\theta=x$と置くと
$
\begin{align*}
\mathrm{arctan}x=\displaystyle\frac{1}{2i}\ln\bigg(\frac{1+ix}{1-ix}\bigg)
\end{align*}
$
ということでこのような式が得られました。使い道は分かりません。何かあればコメントかTwitterで教えてください。
最後まで記事を見ていただきありがとうございました!