数弱の作問練習1

$授業中の副産物$

$XYで線分XYの長さを表すものとする。$
$正三角形ABCがある。点Dを{\angle}ABD=2{\angle}CBD、BD＝AD+CDとなるように定める。$
$ACとBDの交点をEとする。$
$s{\times}CE=AEを満たす実数をsとするとき、s^3-3sの値を求めよ。$

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$解説$

適当です。定理もほとんど知らないので小学生でも知っているようなものしか使いません。

これ割と好きな定理なんですよね(証明は略)

したがって、$AB=BC=CA、BD=AD+CD$という条件から、トレミーの定理の逆より
四角形$ABCD$は円に内接することが分かります。
一応角度も書いておくと、${\angle}ABD=40°$、${\angle}CBD=20°$です。
したがって円周角の定理より${\angle}ADB={\angle}CDB$が分かるので、$AE:EC=AD:DC$と分かります。
また円の中心を$O$とすると、円周角の定理より${\angle}AOD=80°$、${\angle}COD=40°$が分かります。
また四角形$ABCD$は円に内接しているのですから当然$AO=CO=DO$です。
よって、$CD=2\sin20°$、$AD=2\sin40°=4\sin20°\cos20°$であるので、
$AD:CD=2\cos20°:1$が分かります。
$AE:EC=AD:DC$ですから、問題文に示す$s$は${2\cos20°}$とわかります。
もう後は代入して確認するだけなのでお任せします。