調和数に関するメモ

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注意　(この記事は解説記事ではありません)

過去のノートを見たら調和数の無限和をたくさん導出してあったので,随時ここにメモとして記します.証明も随時追加していこうと思います.
具体値については,Wolfram Alphaによる数値計算をそのまま掲示しています.

念のため定義と記法を書いておきます.

$\displaystyle H_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}$

$\displaystyle H_n^{(m)}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^m}=1+\frac{1}{2^m}+\frac{1}{3^m}+\cdots+\frac{1}{n^m}$

$\zeta(s)=\displaystyle\sum_{k\geq 1}\frac{1}{k^s}=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\cdots$

$ \displaystyle\frac{H_n^{(p)}}{n^q}$の無限和

$ \displaystyle\sum_{n\geq1}\frac{H_n^{(2)}}{n^q}$型の値

$\displaystyle\sum_{n\geq1}\frac{H_n^{(2)}}{n^2}=\frac{7}{10}\zeta^2(2)=1.89406565899449\cdots$
$\displaystyle\sum_{n\geq1}\frac{H_n^{(2)}}{n^3}=3\zeta(2)\zeta(3)-\frac{9}{2}\zeta(5)=1.26573815274672\cdots$
$\displaystyle\sum_{n\geq1}\frac{H_n^{(2)}}{n^4}=\zeta^2(3)-\frac{\zeta(6)}{3}=1.10582644443881\cdots$
$\displaystyle\sum_{n\geq1}\frac{H_n^{(2)}}{n^5}=5\zeta(2)\zeta(5)+2\zeta(3)\zeta(4)-10\zeta(7)=1.04692440172467\cdots$
$\displaystyle\sum_{n\geq1}\frac{H_n^{(2)}}{n^6}=\zeta(2,6)+\zeta(8)=1.02189709661474\cdots$
$\displaystyle\sum_{n\geq1}\frac{H_n^{(2)}}{n^7}=7\zeta(2)\zeta(7)+2\zeta(3)\zeta(6)+4\zeta(4)\zeta(5)-\frac{35}{2}\zeta(9)=1.01050217444104\cdots$

予想

$\displaystyle\sum_{n\geq1}\frac{H_n^{(2)}}{n^q}\overset{?}{=} \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\zeta(2)\zeta(q)-\sum_{n,m\geq1}^\infty \frac{1}{n^q(n+m)^2} \,\,\,(q\in\mathrm{odd})\\ \displaystyle\zeta(2)\zeta(q) - \frac{q}{2} \sum_{m=1}^\infty \frac{H_m}{m^{q+1}} + \frac{1}{2} \sum_{k=2}^q (-1)^{k} (q-k+1) \zeta(k)\zeta(q-k+2)\,\,\,(q\in\mathrm{even}) \end{array} \right. \end{eqnarray}$

$ \displaystyle\sum_{n\geq1}\frac{H_n^{(3)}}{n^q}$型の値

$\displaystyle\sum_{n\geq1}\frac{H_n^{(3)}}{n^2}=\frac{11}{2}\zeta(5)-2\zeta(2)\zeta(3)=1.748493952693942\cdots$
$\displaystyle\sum_{n\geq1}\frac{H_n^{(3)}}{n^3}=\frac{1}{2}\zeta^2(3)+\frac{1}{2}\zeta(6)=1.23114193020904\cdots$
$\displaystyle\sum_{n\geq1}\frac{H_n^{(3)}}{n^4}=18\zeta(7)-10\zeta(2)\zeta(5)=1.09350909991675\cdots$
$\displaystyle\sum_{n\geq1}\frac{H_n^{(3)}}{n^5}=\zeta(3,5)+\zeta(8)=1.04178502917111\cdots$
$\displaystyle\sum_{n\geq1}\frac{H_n^{(3)}}{n^6}=\frac{85}{2}\zeta(9)-6\zeta(4)\zeta(5)-21\zeta(2)\zeta(7)=1.01958105808522$

$ \displaystyle\sum_{n\geq1}\frac{H_n^{(4)}}{n^q}$型の値

$\displaystyle\sum_{n\geq1}\frac{H_n^{(4)}}{n^2}=\frac{37}{12}\zeta(6)-\zeta^2(3)=1.69186697601841\cdots$
$\displaystyle\sum_{n\geq1}\frac{H_n^{(4)}}{n^3}=10\zeta(2)\zeta(5)+\zeta(3)\zeta(4)-17\zeta(7)=1.21585429199765\cdots$
$\displaystyle\sum_{n\geq1}\frac{H_n^{(4)}}{n^4}=\frac{13}{12}\zeta(8)=1.08775046921443\cdots$
$\displaystyle\sum_{n\geq1}\frac{H_n^{(4)}}{n^5}=5\zeta(4)\zeta(5)+35\zeta(2)\zeta(7)-\frac{125}{2}\zeta(9)=1.03931317138396\cdots$

$ \displaystyle\sum_{n\geq1}\frac{H_n^{(5)}}{n^q}$型の値

$\displaystyle\sum_{n\geq1}\frac{H_n^{(5)}}{n^2}=11\zeta(7)-4\zeta(2)\zeta(5)-2\zeta(3)\zeta(4)=1.66710266495303\cdots$
$\displaystyle\sum_{n\geq1}\frac{H_n^{(5)}}{n^3}=\zeta(5,3)+\zeta(8)= 1.208738493163\cdots$
$\displaystyle\sum_{n\geq1}\frac{H_n^{(5)}}{n^4}=\frac{2}{127}\zeta(9)-35\zeta(2)\zeta(7)-4\zeta(4)\zeta(5)=1.08498622251372\cdots$

$ \displaystyle\sum_{n\geq1}\frac{H_n^{(6)}}{n^q}$型の値

$\displaystyle\sum_{n\geq1}\frac{H_n^{(6)}}{n^2}=\zeta(6,2)+\zeta(8)=1.65564251991307\cdots$
$\displaystyle\sum_{n\geq1}\frac{H_n^{(6)}}{n^3}=\zeta(6)\zeta(3)+\frac{1}{6}\zeta(4)\zeta(5)+\frac{12}{7}\zeta(2)\zeta(7)-\frac{2}{83}\zeta(9)=1.20533158528078\cdots$

$ \displaystyle\sum_{n\geq1}\frac{H_n^{(7)}}{n^q}$型の値

$\displaystyle\sum_{n\geq1}\frac{H_n^{(7)}}{n^2}=-2\zeta(6)\zeta(3)-4\zeta(4)\zeta(5)-6\zeta(2)\zeta(7)+\frac{37}{2}\zeta(9)=1.65017429603235\cdots$

投稿日：2023年11月15日

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