ダイスの目を予測する漸化式

$$\hspace{10pt}P((m+1)D(n)=r)$$
$$=\sum_{k=max(1,r-mn)}^{min(n,r-m)}\ \frac{P((m)D(n)=r-k)}{n}$$
$$=\sum_{k=max(1,r-mn)-r}^{min(n,r-m)-r}\ \frac{P((m)D(n)=-k)}{n}$$
$$=\sum_{k=max(1-r,-mn)}^{min(n-r,-m)}\ \frac{P((m)D(n)=-k)}{n}$$
$$=\sum_{k=-min(n-r,-m)}^{-max(1-r,-mn)}\ \frac{P((m)D(n)=k)}{n}$$
$$=\sum_{k=min(r-1,mn)}^{max(r-n,m)}\ \frac{P((m)D(n)=k)}{n}$$