コラッツ予想 ver.1.15
【概要】
本ドキュメントは
$f(x):=3\times x+1 ,(2a+1)\times 3+1=6a+4,f(2a+1)=6a+4$,
$\therefore f:\{ 2a+1\mid a\in \mathbb{N}^0 \} \rightarrow \{ 6a+4\mid a\in \mathbb{N}^0 \}$$ ,f^{-1}:\{ 6a+4\mid a\in \mathbb{N}^0 \} \rightarrow \{ 2a+1\mid a\in \mathbb{N}^0 \}$
は全単射である。…（1）と
$\{ (2a+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid a, h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^0 \} =\mathbb{N}^1 $ (0 を含まない全自然数の集合に等しい。何故ならばすべての
0 を含まない全自然数は2で割り切れる限り2で割り続ければ必ず割り切れなくなって奇数となる
から。) …（2）
により
$D(2a_x+1):=\{ (2a_x+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid a_x\in \mathbb{N}^1 , h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^0 \} ,(2a_x+1$は1以外の正奇数で任意定数）,
$S:=\mathbb{N}^1 - D(2a_x+1) :(D(2a_x+1)$以外の0 を含まない全自然数の集合）と定義し
$S\supset \{ (2a_{x-1}+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid a_{x-1}\in \mathbb{N}^1 , h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^0 \} ∌ f(2a_{x-1}+1)=(6a_{x-1}+4)\in D(2a_x+1)$
ならば
$D(2a_x+1) :=D(2a_x+1)\cup \{ (2a_{x-1}+1)\times 2^{h^{\prime \prime}}\mid a_(x-1)\in \mathbb{N}^1 , h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^0 \}$
$S:=\mathbb{N}^1 -D(2a_x+1)$とそれぞれ再定義し、あるいは
$ D(2a_x+1)∌ f(2a_x+1)=(6a_x+4)\in \{ (2a_{x+1}+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid a_{x+1}\in \mathbb{N}^1 , h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^0 \} \subset S$ ならば
$D(2a_{x+1}+1) =D(2a_x+1)\cup \{ (2a_{x+1}+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid a_{x+1}\in \mathbb{N}^1 , h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^0 \} $
$(D(2a_x+1)と\{ (2a_{x+1}+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid a_{x+1}\in \mathbb{N}^1 , h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^0 \} $ の和集合）
$S=\mathbb{N}^1 -D(2a_{x+1}+1) : (D(2a_{x+1}+1)$以外の0 を含まない全自然数の集合)
$D(2a_x+1)=\emptyset$ (空集合 ) としてそれぞれ再定義する。
以上の集合演算を含む操作と同様な操作を繰り返すことによって （1）の全単射により$ \mathbb{N}^1 $ の中に唯一個
しか存在しない順序対$ (2a+1,6a +4)$を $\mathbb{N}^1$ 中唯一$\emptyset$ (空集合 )ではない$ D(2a_n+1)$上に 順序対として
完成させつつ集めながら数え上げる。
（全単射の写像からなる順序対$ (2a+1,6a +4)$の片方が$D(…)$ に含まれ他方が含まれないとき、
これは必ず$ S$ の真部分集合である正奇数を初項とする公比2の等比数列の集合
$ \{ (2a_y+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid a_y\in \mathbb{N}^1 , h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^0 \}$ に含まれて唯一存在しなければならないから、この集合を
S から D(…)へ移項して常に$ D(…) \cup S=\mathbb{N}^1 $の状態を保つようにすれば、
（2）により$ \forall \{ (2a_y+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid a_n\in \mathbb{N}^1 , h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^0 \} \subset \mathbb{N}^1 は\mathbb{N}^1$ の真部分集合であってその中のどの二つの
集合をとっても 互いに素で、共通項を持たず、一度移項された正奇数を初項とする公比2の等比数列の
集合は Sには含まれなくなり二度と SにからD(…)へ 移項されることがなく $\mathbb{N}^1 $ はその中に重複項をもた
ないから D(…) の中でループを起こすことはあり得ないという論理です。）
$f(1)=4\in \{ 1\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^0 \} で、 \{ (2a+1)\times 3+1\} ÷2^n=2a+1\Rightarrow a=0,n=2）$でここだけは
順序対の一方がD(…) に含まれ他方が含まれないという状態があり得ない唯一の例外として移項操作を
必要とせず、このような順序対は(1，4) 以外には存在しない。）
以上の操作によって、奇数なら3倍して1を足す、偶数なら2で割るという演算を有限回繰り返せばすべての自然数は1となるという コラッツ予想の題意の成否を検証しようと試みるものです。
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【定義】
$\mathbb{N}^0$ : 全ての0を含む自然数全体の集合（ただしその中に重複項をもたず、多重集合としてみた場合すべての
元の重複度は 1であるとする。）
$\mathbb{N}^1 $ : 全ての0を含まない自然数全体の集合 （〃）
$\mathbb{Z} $ : 全ての0を含む整数全体の集合
$a_{n}, x_{m}, y_{0}, h_{m n} \ldots$ :右下の小文字によって修飾されている変数名は特に変域の指定が無ければ すべて
$\mathbb{N}^0 $ (全ての0を含む自然数全体の集合)に含まれて唯一存在する任意定数を表す。
任意定数として集合の中で固定値を採るものとして扱われるため
集合表記の中の変域指定は別途指定がなければこれを省略する場合がある。
例：$ \{ 2a_x+y \mid a_x\in \mathbb{N}^0 ,y\in \{ 0,1,2\} \} =\{ 2a_x+0 ,2a_x+1 ,2a_x+2\} $
$\{ 2a_x+y \mid y\in \mathbb{N}^0 \} =\{ 2a_x+0 ,2a_x+1 ,2a_x+2 ,2a_x+3 ,2a_x+4 ,2a_x+5…\}$
$a, x, y, h \ldots \qquad$右下の小文字による修飾を伴わない変数名は特に変域の指定が無ければ$ \mathbb{N}^0 $
(全ての0を含む自然数全体の集合) をわたる値をとりうる普通の変数を表す。この場合
変域指定の$\in \mathbb{N}^0$は省略されることがある。
$f(x):=3x+1 $
$e(2a_0+1,n) := ( 2a_0+1+ \frac{1}{3}) \times 4^n - \frac{1}{3} $ 初項$ 2a_0+1$,漸化式$ 2a_{n+1}+1=(2a_n+1)\times 4+1 $
の漸化数列の第$ n$ 項 $a_n+1$ (初項$2a_0+1$は第$0$ 項）
$Oparation Collatz Setup\left(2 a_{x}+1\right)$, $O.C.S.\left(2 a_{x}+1\right)$
$:D(2a_x+1):=\{ (2a_x+1)\times 2^( h^{\prime \prime} ) \mid a_x\in \mathbb{N}^1 , h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^0 \} $ $S=\mathbb{N}^1 -D(2a_x+1)$
$:\{ (2a_x+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid a_x\in \mathbb{N}^1 , h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^0 \}$ を$ D(2a_x+1) $ として、
$D(2a_x+1)$以外の$ \mathbb{N}^1 $ (全ての0を含まない自然数全体の集合) を S としてそれぞれ定義する。
以上の操作を$Oparation Collatz Setup\left(2 a_{x}+1\right)$ 略して $O.C.S.\left(2 a_{y}+1\right)$ と呼ぶこととする。
$Oparation Collatz Invite (2a_x+1,2a_{n-1}+1),O.C.I. (2a_x+1,2a_{n-1}+1)$
：$D(2a_x+1)\supset \{ (2a_n+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid a_n\in \mathbb{N}^1 , h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^0 \} \ni (2a_n+1)\times 2^{h_{n_y}}=6a_{n-1}+4 $
$ D(2a_x+1)∌f^{-1} ((2a_n+1)\times 2^{h_{n_y}})=2a_{n-1}+1$
$\in \{ (2a_{n-1}+1)\times 2^{ h^{\prime \prime}} \mid a_{n-1}\in \mathbb{N}^1 , h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^0 \} \subset S \subset $ $\mathbb{N}^1 \Rightarrow $
： $(2a_n+1)\times 2^{h_{n_{y}}} $ が $D(2a_x+1) $の真部分集合である $\{ (2a_n+1)\times 2^{ h^{\prime \prime}} \mid a_n\in \mathbb{N}^1 , h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^0 \} $
に含まれ 、$f^{-1} ((2a_n+1)\times 2^{h_{n_y}})=2a_{n-1}+1$ が $\mathbb{N}^1 $ の真部分集合である
$ S $の真部分集合 $ \{ (2a_{n-1}+1)\times 2^{ h^{\prime \prime}} \mid a_{n-1}\in \mathbb{N}^1 , h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^0 \} $ に含まれて存在すれば
$ (2a_n+1=2a_x+1,x=n $の場合を含む）
$D(2a_x+1):=D(2a_{x+1}\cup \{ (2a_{n-1}+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid a_{n-1}\in \mathbb{N}^1 , h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^0 \} S:=\mathbb{N}^1 -D(2a_x+1) $
：$D(2a_x+1) $ を $D(2a_x+1 ) $ と $ \{ (2a_{n-1}+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid a_{n-1}\in \mathbb{N}^1 , h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^0 \} $ の和集合 として、
$ S $を$D(2a_x+1) $以外の $ \mathbb{N}^1 $ (全ての0を含まない自然数全体の集合) としてそれぞれ再定義
する。
以上の操作を $\textit{Oparation Collatz Invite}(2a_x+1,2a_{n-1}+1) $略して $\textit{ O.C.I.}(2a_x+1,2a_{n-1}+1) $
と呼ぶこととする。
$Oparation Collatz Hijack(2a_{x+1}+1,2a_x+1), \textit{O.C.H.}(2a_{x+1}+1,2a_x+1)$
：$D(2a_x+1)\ni 2a_x+1$
$D(2a_{x+1}∌ f(2a_x+1)=(2a_{x+1}+1)\times 2^{h_{x+1_y}}=6a_x+4$
$\in \{ (2a_{x+1} +1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid a_{x+1}\in \mathbb{N}^1,h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^0 \}\subset S\subset \mathbb{N}^1 \Rightarrow$
：$2a_x+1が D(2a_x+1)$に含まれ、$f(2a_x+1)=6a_x+4=(2a_{x+1}+1)\times 2^{h_{x+1_y}} $が
$ \mathbb{N}^1 $ の真部分集合である $S$の真部分集合 $ \{ (2a_{x+1}+1)\times 2^{ h^{\prime \prime} } \mid a_{x+1}\in \mathbb{N}^1 ,h''\in \mathbb{N}^0 \}$
に含まれて存在すれば
$D(2a_{x+1}+1)=D(2a_x+1)\cup \{ (2a_{x+1}+1)\times 2^{ h^{\prime \prime}} \mid a_{x+1}\in \mathbb{N}^1 , h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^0 \} $
$S=\mathbb{N}^1 -D(2a_{x+1}+1), D(2a_x+1)=\emptyset $(空集合 )
：$D(2a_{x+1}+1)$ を $D(2a_x+1) $ と $ \{ (2a_{x+1}+1)\times 2^{ h^{\prime \prime}} \mid a_{x+}+1)\in \mathbb{N}^1 , h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^0 \} $ の和集合
として、$S$を$D(2a_{x+1}+1)$以外の$\mathbb{N}^1$(全ての0を含まない自然数全体の集合) として、また
$D(2a_x+1$) を $\emptyset$(空集合 )としてそれぞれ再定義する。
以上の操作を$\textit{Oparation Collatz Hijack} (2a_{x+1}+1,2a_x+1)$,略して$\textit{O.C.H.} (2a_{x+1}+1,2a_x+1)$
と呼ぶこととする。
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【命題1-1】
$ \{ (2a+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid a, h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^0 \} =\mathbb{N}^1 $
：正の奇数 $2a+1$を初項とする公比 $2$ の 等比数列すべての集合は
全ての $0$ を含まない自然数の集合 $\mathbb{N}^1$ に等しい。
〖証明1-1〗
すべての0を含まない偶数は2 で割り切れる限り2 で割り続けていけば
必ず割り切れなくなって奇数となるから
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【命題1-2】
$f:\left\{2 a+1 \mid a \in \mathbb{N}^{0}\right\} \rightarrow\left\{6 a+4 \mid a \in \mathbb{N}^{0}\right\}$
$f^{-1}:\left\{6 a+4 \mid a \in \mathbb{N}^{0}\right\} \rightarrow\left\{2 a+1 \mid a \in \mathbb{N}^{0}\right\}$
は全単射である。
〖証明1-2〗
$f(2 a+1)=(2 a+1) \times 3+1$
$=6 a+4$
$f^{-1}(6 a+4)=(6 a+4-1) \div 3$
$=2 a+1$
$\therefore f:\left\{2 a+1 \mid a \in \mathbb{N}^{0}\right\} \rightarrow\left\{6 a+4 \mid a \in \mathbb{N}^{0}\right\}$
$f^{-1}:\left\{6 a+4 \mid a \in \mathbb{N}^{0}\right\} \rightarrow\left\{2 a+1 \mid a \in \mathbb{N}^{0}\right\}$
は全単射である。
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【命題1-3】
$ (6 a+1) \times 2^{2 h+2} \in\left\{6 a+4 \mid a \in \mathbb{N}^{0}\right\}\left(h \in \mathbb{N}^{0}\right)$
$ (6 a+3) \times 2^{h} \notin\left\{6 a+4 \mid a \in \mathbb{N}^{0}\right\}\left(h \in \mathbb{N}^{1}\right) $
$ (6 a+5) \times 2^{2 h+1} \in\left\{6 a+4 \mid a \in \mathbb{N}^{0}\right\}\left(h \in \mathbb{N}^{0}\right)$
〖証明 1-3〗
$6 a+2 \notin\left\{6 a+4 \mid a \in \mathbb{N}^{0}\right\}$
$(6 a+2) \times 2^{1}=12 a+4=6(2 a)+4 \in\left\{6 a+4 \mid a \in \mathbb{N}^{0}\right\}$
$(6 a+4) \times 2^{1}=12 a+8=6(2 a+1)+2 \notin\left\{6 a+4 \mid a \in \mathbb{N}^{0}\right\}$
$(6 a+1) \times 2^{1}=12 a+2=6(2 a)+2 \notin\left\{6 a+4 \mid a \in \mathbb{N}^{0}\right\} $
$(6 a+5) \times 2^{1}=12 a+10=6(2 a+1)+4 \in\left\{6 a+4 \mid a \in \mathbb{N}^{0}\right\}$
$(6 a+3) \times 2^{1}=12 a+6=6(2 a+1)+3 \notin\left\{6 a+4 \mid a \in \mathbb{N}^{0}\right\} $
$\therefore$
$(6 a+1) \times 2^{2 h+2} \in\left\{6 a+4 \mid a \in \mathbb{N}^{0}\right\}\left(h \in \mathbb{N}^{0}\right) $
$(6 a+3) \times 2^{h} \notin\left\{6 a+4 \mid a \in \mathbb{N}^{0}\right\}\left(h \in \mathbb{N}^{1}\right)$
$(6 a+5) \times 2^{h+1} \in\left\{6 a+4 \mid a \in \mathbb{N}^{0}\right\}\left(h \in \mathbb{N}^{0}\right)$
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【命題 1-4】
$f(e(4 a+3, n)) \div 2^{1+2 n}=6 a+5$
$f(e(8 a+1, n)) \div 2^{2+2 n}=6 a+1$
〖証明 1-4〗
$(4 a+3) \times 3+1=12 a+10$
$(12 a+10) \div 2^{1}=6 a+5 $
$(8 a+1) \times 3+1=24 a+4$
$(24 a+4) \div 2^{2}= 6 a+1$
$(2 a+1) \times 3+1=6 a+4 $
$(2 a+1) \times 4+1=e(2 a+1,1)$
$=8 a+5 $
$(8 a+5) \times 3+1=24 a+16 $
$=(6 a+4) \times 2^{2} $
$ \therefore f(e(4 a+3, n)) \div 2^{1+2 n}=6 a+5$
$ f(e(8 a+1, n)) \div 2^{2+2 n}=6 a+1$
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【命題1-5】
$f(2a+1)\in \{(2a+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid a\in \mathbb{N}^{1} ,h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \}\Rightarrow$
$2a+1=1,h^{\prime \prime}=2$
:$f(2a+1) が \{(2a+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid a\in \mathbb{N}^{1} ,h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \}$ に含まれているとすれば
$2a+1=1,h^{\prime \prime}=2$である。
〖証明1-5〗
$f(2a+1)=6a+4$
$6a+4 \div 2^{h^{\prime \prime}}=2a+1$
$\frac{(2a+1)×3+1}{2^{h^{\prime \prime}}} =2a+1 $
$(2a+1)\times(2^{h^{\prime \prime}}-3)=1 $
$\therefore a=0,h^{\prime \prime}=2 ,2a+1=1,h^{\prime \prime}=2$
〖命題1-5補足〗
以上により
$f(2a_x+1)=6a_x+4=(2a_x+1)\times 2^{h_{x_y}}\in \{(2a_x+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid a_x,h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^{0} \}$
のように 初項$\times 3+1$を自分自身の中に持つような正奇数を初項とする公比2の等比数列の集合は
初項を1とする $\{1\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \}$ 以外には存在しない。
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【命題1-6】
$f(2a_{-1}+1)\div 2^{h_0}=2a_0+1$
$f(2a_0+1)\div 2^{h_1}=2a_1+1, 2a_{-1}+1\ne 1\Rightarrow $
$2a_{-1}+1\ne 2a_1+1$
：$f(2a_{-1}+1)\div 2^{h_0}=2a_0+1$
$f(2a_0+1)\div 2^{h_1}=2a_1+1,$
となるとき$2a_{-1}+1が1でなければ2a_{-1}+1$と$2a_1+1$は等しくない。
〖証明1-6〗
$2a_{-1}+1=2a_1+1$ と置けば
$\frac {(2a_{-1}+1)\times 3+1}{2^{h_0}} =2a_0+1$
$\frac {(2a_{-1}+1)\times 3^2+3+2^{h_0}}{2^{h_0+h_1}} =2a_{-1}+1 $
$3+2^{h_0}=(2a_{-1}+1)\times (2^{h_0+h_1}-3^2) $
$\frac {3+2^{h_0}}{2^{h_0+h_1}-3^2}=2a_{-1}+1 $
$\therefore 2a_{-1}+1=1 ,h_0=2,h_1=2$
$\therefore f(2a_{-1}+1)\div 2^{h_0}=2a_0+1 $
$f(2a_0+1)\div 2^{h_1}=2a_1+1, 2a_{-1}+1\ne 1\Rightarrow $
$2a_{-1}+1\ne 2a_1+1$
：$f(2a_{-1}+1)\div 2^{h_0}=2a_0+1 , f(2a_0+1)\div 2^{h_1}=2a_1+1,$
となるとき$2a_{-1}+1$が1でなければ $2a_{-1}+1$と$2a_1+1$は等しくない。
〖命題1-6補足〗
以上により
$f(2a_0+1)=6a_0+4=(2a_1+1)\times 2^{h_1x}\in \{(2a_1+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid a_1 \in \mathbb{N}^{1} ,h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0}\}$
$f(2a_1+1)=6a_1+4=(2a_0+1)\times 2^{h_0y}\in \{(2a_0+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid a_0 \in \mathbb{N}^{1} ,h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0}\}$
のように 初項$\times 3+1$を相互に持ち合うような相異なる正奇数を初項とする公比2の
等比数列の集合の対は存在しない。
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【命題1-7】
$\exists \{(2a_n+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid n,h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \}\subset \mathbb{N}^{1} ,2a_n+1≠2a_m+1 \Rightarrow$
$\{(2a_n+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid n,h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \}\cap \forall \{(2a_m+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid m,h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \}\subset \mathbb{N}^{1}=\emptyset $ (空集合)
：ある$\mathbb{N}^{1}$ の真部分集合で正奇数 $2a_n+1$を初項とし、公比2の等比数列全ての集合
$ \{(2a_n+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid n,h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \}$ があってこれ以外の如何なる $\mathbb{N}^{1}$ の真部分集合で
正奇数 $2a_m+1$を初項とし、公比2 の等比数列全ての集合 $\{(2a_m+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid m,h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \}$
とも 互いに素で両者は共有項を持たない。
（$ \mathbb{N}^{1} $ の真部分集合であるすべての正の奇数 を初項とする公比 2 の 等比数列すべての集合は
その中のどの二つの集合をとっても互いに素で両者は共通項をもたない。）
〖証明1-7〗
命題1-1
$\{(2a+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid a,h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \}=\mathbb{N}^{1} $
：正の奇数 $2a+1$を初項とする公比 2 の 等比数列すべての集合は
全ての 0 を含まない自然数の集合 $\mathbb{N}^{1}$ に等しい。
と
0 を含まない自然数全ての集合 $\mathbb{N}^{1}$ はその中に重複項を持たないから
$\exists \{(2a_n+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid n,h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \}\subset \mathbb{N}^{1} \Rightarrow$
$\{(2a_m+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid n,h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \cap \forall \{(2a_m+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid m,h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \}$
$\subset \{\mathbb{N}^{1} -\{(2a_n+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid n,h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \}\}=\emptyset $(空集合)
：ある$\mathbb{N}^{1}$ の真部分集合で正奇数 $2a_n+1$を初項とし、公比2の等比数列全ての集合
$\{(2a_n+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid n,h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \} $があってこれ以外の如何なる$ \mathbb{N}^{1} $ の真部分集合で
正奇数 $2a_m+1$を初項とし、公比2 の等比数列全ての集合
$\{(2a_m+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid n,h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \}$ とも互いに素で両者は共有項を持たない。
（$ \mathbb{N}^{1}$ の真部分集合であるすべての正の奇数 を初項とする公比 2 の 等比数列すべての集合
はその中のどの二つの集合をとっても互いに素で両者は共通項をもたない。）
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【命題1-8】
$D(2a_p+1)≠\emptyset$（空集合）があって、$D(2a_p+1)$ がその中に重複項を持たないとき
$O.C.I.(2a_p+1,2a_{-n}+1)$の実行可能条件が成立していてこれを実行した後の$D(2a_p+1)$
$O.C.H.(2a_{p+1}+1,2a_p+1)$の実行可能条件が成立していてこれを実行した後の $D(2a_{p+1}+1)$
は共にその中に重複項を持たない。
〖証明1-8〗
$O.C.I.(2a_p+1,2a_{-n}+1)$の実行可能条件が成立しているとき
命題1-2
$f:\{2a+1│a \in \mathbb{N}^{0} \} \rightarrow \{6a+4\mid a \in \mathbb{N}^{0} \}$
$f^{-1} : \{6a+4│a \in \mathbb{N}^{0} \} \rightarrow \{2a+1\mid a \in \mathbb{N}^{0} \}$
は全単射である。
により
$\exists! 2a_{-n}+1\in \{(2a_{-n}+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid 2a_{-n}\in \mathbb{N}^{1} ,h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \} \subset S $
$\exists! f(2a_{-n}+1)=6a_{-n}+4=(2a_{-n+1}+1)\times 2^{h_{-n+1x}}$
$\in \{(2a_{-n+1}+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid 2a_{-n+1} \in \mathbb{N}^{1} ,h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^{0} \} \subseteq D(2a_p+1)$
$(2a_{-n+1}+1=2a_p+1$ の場合を含む)
：$2a_{-n}+1はSの真部分集合 \{(2a_{-n}+1)\times 2^(h^{\prime \prime} ) \mid 2a_{-n})\in \mathbb{N}^{1} ,h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \}$ に含まれて
唯一存在し $f(2a_{-n}+1)=6a_{-n}+4=(2a_{-n+1}+1)\times 2^{h_{-n+1_x}}$ は
$D(2a_{p+1}+1)$ の部分集合 $\{(2a_{-n+1}+1)\times 2^{h^{\prime \prime} } \mid 2a_{-n+1}\in \mathbb{N}^{1} ,h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \}$に含まれて
唯一存在する。
定義により$ S =\mathbb{N}^{1} - D (2a_p+1),$
$S\supset \{(2a_{-n}+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid 2a_{-n}\in \mathbb{N}^{1} ,h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \} ∩D (2a_p+1)=\emptyset $ (空集合 )
：$S の真部分集合 \{(2a_{-n}+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid 2a_{-n}\in \mathbb{N}^{1} ,h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \} とD (2a_p+1)$ は互いに素で
両者は 共通項をもたない。
よって$ O.C.I.(2a_p+1,2a_{-n}+1)$ を実行して
$ D (2a_p+1):= D (2a_p+1)∪\{(2a_{-n+1}+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid 2a_{-n+1}\in \mathbb{N}^{1} ,h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \}$
$S:=\mathbb{N}^{1} - D (2a_p+1)$ として$D (2a_p+1) $はその中に重複項を持たない。
$O.C.H.(2a_{p+1}+1,2a_p+1)$の実行可能条件が成立しているとき
$\exists! 2a_p+1\in D (2a_p+1)$
$\exists! f(2a_p+1)=6a_p+4=(2a_{p+1}+1)\times 2^{h_{p+1_x}} \in \{(2a_{p+1}+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid 2a_{p+1}\in \mathbb{N}^{1} ,h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \} \subset S $
: $2a_p+1はD(2a_p+1)$ に含まれて唯一存在し
$f(2a_p+1)=6a_p+4=(2a_{p+1}+1)\times 2^{h_{p+1_x}}$ は S の真部分集合
$\{(2a_{p+1}+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid 2a_{p+1}\in \mathbb{N}^{1} ,h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \}$ に含まれて唯一存在する。
定義ににより $S =\mathbb{N}^{1} - D (2a_p+1),$
$S\supset \{(2a_{p+1}+1)\times 2^{h^{\prime \prime} } \mid 2a_{p+1}\in \mathbb{N}^{1} ,h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^{0} \} ∩D (2a_p+1)=\emptyset $(空集合 )
：$S$ の真部分集合 $\{(2a_{p+1}+1)\times 2^{h^{\prime \prime} } \mid 2a_{p+1}\in \mathbb{N}^{1} ,h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^{0} \} とD (2a_p+1)$ は互いに素で両者は
共通項をもたない。
よって $O.C.H.(2a_{p+1}+1,2a_p+1)$ を実行して $D(2a_{p+1}+1):= D (2a_p+1)∪\{(2a_{p+1}+1)\times 2^{h^{\prime \prime} } \mid 2a_{p+1}\in \mathbb{N}^{1} ,h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^{0} \}$
$S:=\mathbb{N}^{1} - D (2a_p+1) ,D (2a_p+1) = \emptyset$ (空集合) として$D (2a_{p+1}+1)$ はその中に共通項を持たない。
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
【命題1-9】
すべての 自然数は コラッツ予想の題意に従った演算を有限回繰り返して行えば1 となる。
〖証明1-9〗
$O.C.S(2a_0+1) ,2a_0+1≠1$を実行して
$D(2a_0+1) :=\{(2a_0+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid a_0\in \mathbb{N}^{1} ,h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \} , S:= \mathbb{N}^{1} -D(2a_0+1) $ とする。
ただし $2a_0+1$は $2a_0+1∉\{6a+3\mid a\in \mathbb{N}^{0} \} ,2a_0+1≠1$を満たす正奇数の任意定数。
このとき
命題1-3
$(6a+1)\times 2^{2h+2}\in \{6a+4│a\in \mathbb{N}^{0} \} (h\in \mathbb{N}^{0} )$
$(6a+3)\times 2^h∉\{6a+4│a\in \mathbb{N}^{0} \} (h\in \mathbb{N}^{1} ) $
$(6a+5)\times 2^{2h+1}\in \{6a+4│a\in \mathbb{N}^{0} \} (h\in \mathbb{N}^{0} ) $
$2a_0+1∉\{6a+3\mid a\in \mathbb{N}^{0} \}$ (前提) ,
命題1-5補足
$f(2a_x+1)=6a_x+4=(2a_x+1)\times 2^{{h_x}_y}\in \{(2a_x+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid a_x,h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^{0} \}$
のように 初項$\times 3+1$を自分自身の中に持つような正奇数を初項とする公比2の等比数列の
集合は初項を1とする$ \{1\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \} $ 以外には存在しない。
したがってここで $O.C.I.(2a_0+1,2a_{-1}+1)$の実行可能条件が成立してこれをを実行し、
命題1-8によって$D(2a_0+1)$は重複項を持たない。$\cdots$ ①
また $O.C.I.(2a_0+1,2a_{-1}+1)$ は一度実行されると$\{(2a_{-1}+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid a_{-1}\in \mathbb{N}^{1} ,h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \} \subset D(2a_0+1)$
$D(2a_0+1)$の真部分集合となってそのすべての元は S には含まれずS から$D(\cdots )$ への移項対象では
なくなるから
$O.C.I.(\cdots ,2a_{-1}+1)$ および $O.C.H.(2a_{-1}+1,\cdots )$ は二度と実行されることがない。$\cdots$ ②
$D(2a_0+1)∌ f(2a_0+1)=6a_0+4$
$\therefore \exists! 6a_0+4=(2a_1+1)\times 2^{{h_1}_x}\in \{(2a_{-1}+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid a_{-1}\in \mathbb{N}^{1} ,h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \} \subset S\subset \mathbb{N}^{1} $
$ここで O.C.H.(2a_1+1,2a_o+1)$の実行可能条件が成立してこれをを実行し、
命題1-6
$f(2a_{-1}+1)\div 2^{h_0}=2a_0+1$
$f(2a_0+1)\div 2^{h_1}=2a_1+1, 2a_{-1}+1≠1\Rightarrow $
$2a_{-1}+1≠2a_1+1$
$：f(2a_{-1}+1)\div 2^{h_0}=2a_0+1$
$f(2a_0+1)\div 2^{h_1}=2a_1+1,$
となるとき$2a_{-1}+1$が1でなければ $2a_{-1}+1と2a_1+1$は等しくない。
と、命題1-8によって$D(2a_1+1)$は重複項を持たない。$\cdots$ ③
また $O.C.H.(2a_1+1,2a_0+1)$ は一度実行されると$\{(2a_1+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid a_1\in \mathbb{N}^{1} ,h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \} \subset D(2a_1+1)$
$D(2a_1+1)$の真部分集合となってそのすべての元は $S$ には含まれず$S$ から$D(\cdots )$ への移項対象ではなくなるから
$O.C.I.(\cdots ,2a_1+1)$ および $O.C.H.(2a_1+1,\cdots )$ は二度と実行されることがない。$\cdots$ ④
以降、$O.C.I.(2a_p+1,2a_{-n}+1)$ と$O.C.H.(2a_{p+1}+1,2a_p+1)$が実行可能で、$D(2a_p+1) $が
その中に重複項を持たないとして、ここで$ 2a_{p+1}+1=2a_{-n}+1$とすれば
$O.C.I.(2a_p+1,2a_{-n}+1)$ を実行したとすればここで$ O.C.I.(2a_p+1,2a_p+1)$ が実行可能となり
$O.C.I.(2a_p+1,2a_{-n}+1)$ ではなく $O.C.H.(2a_{p+1}+1,2a_p+1)$ を実行したとすればここで
$O.C.I.(2a_{p+1}+1,2a_{p+1}+1)$ が実行可能となる。これらは何れも$D(\cdots )$ に既に含まれていて、$S$ には含まれていない
初項が正奇数、公比2の等比数列の集合の$S$ から$D(\cdots )$ への移項を可能とするもので
$O.C.I.(2a_0+1,2a_{-1}+1)$ は一度実行されると$\{(2a_{-1}+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid a_(-1)\in \mathbb{N}^{1} ,h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \} \subset D(2a_0+1)$
$D(2a_0+1)$の真部分集合となってそのすべての元は $S$ には含まれず$S$ から$D(\cdots )$への移項対象ではなくなるから
$O.C.I.(\cdots ,2a_{-1}+1)$ および $O.C.H.(2a_{-1}+1,\cdots )$ は実行されることがない。$\cdots$ ②
$O.C.H.(2a_1+1,2a_0+1)$ は一度実行されると$\{(2a_1+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid a_1\in \mathbb{N}^{1} ,h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \} \subset D(2a_0+1)$
$D(2a_0+1)$の真部分集合となってそのすべての元は $S$ には含まれず$S$ から$D(\cdots )$ への移項対象ではなくなるから
$O.C.I.(\cdots ,2a_1+1)$ および $O.C.H.(2a_1+1,\cdots )$ は実行されることがない。$\cdots$ ④
$\mathbb{N}^{1}$ はその中に重複項をもたない ”
などと矛盾し、$\mathbb{N}^{1} $ はその中に重複項をもたないという条件下で
命題1-2
$f: \{2a+1│a \in \mathbb{N}^{0} \} \rightarrow \{6a+4\mid a \in \mathbb{N}^{0} \} $
$f^{-1}:\{6a+4│a \in \mathbb{N}^{0} \} \rightarrow \{2a+1\mid a \in \mathbb{N}^{0} \}$
は全単射である。
が不成立となる。
これらの矛盾はすべてコラッツ予想の題意の真偽とは無関係に、$2a_{p+1}+1=2a_{-n}+1$と置いた仮定
のみによって生じたものであるから
$ 2a_{p+1}+1≠2a_{-n}+1$はコラッツ予想の題意の真偽とは無関係に恒に成立する。$\cdots$ ⑤
以上により、以降 $O.C.I.(\cdots ,\cdots ) ,O.C.H.(\cdots ,\cdots )$は実行順序に拘わらず何度でも継続実行が可能
で何度これを実行しても
$\cdots $①,$\cdots$ ②,$\cdots$ ③$\cdots$ ④$\cdots$ ⑤ は恒に成立するから$ D(\cdots )$ がその中に重複項をもつことはない。
したがってすべての1以外の自然数はコラッツ予想の題意に従った演算を有限回繰り返すことによって
初項と同じ数となって循環することがなく、0と1以外の自然数はコラッツ予想の題意に従った演算上$1\rightarrow 4\rightarrow 1$ 以外に閉じた部分がない。よって
$D(1) :=\{1\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \}S:= \mathbb{N}^{1} - D(1) $ : $ O.C.S(1)$ 実行直後の$ D(1) $ と$S$ として、以降
命題1-5補足
$f(2a_x+1)=6a_x+4=(2a_x+1)\times 2^{h_xy}\in \{(2a_x+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid a_x,h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^{0} \}$
のように 初項$\times 3+1$を自分自身の中に持つような正奇数を初項とする公比2の等比数列の集合は
初項を1とする $\{1\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \}$ 以外には存在しない。
によって順序対$ (2a+1,6a+4)$ の片方が$D (\cdots )$に含まれ他方が$S$に含まれるという状態があり得ない
唯一の例外として$O.C.I.(1,1)$ を除いて$ O.C.I.(1,2a_{-n}+1)$ を実行継続していけば有限値をもった
自然数ならば必ず $D(1)$ に含まれるようになり、
$D(2a_p+1)$中のすべての自然数は
$f(2a_{-m}+1)=6a_{-m}+4=(2a_{-m+1} +1)\times 2^{h_{-m+1_x}},$
$\{(2a_{-m+1} +1)\times 2^{h_{-m+1_x}})\} \div 2^{h_{-m+1_x}}= 2a_{-m+1} +1 $
$f(2a_{-m+1} +1)=6a_{-m+1} +4=(2a_{-m+2} +1)\times 2^{h_{-m+2_x}},$
$\{(2a_{-m+2} +1)\times 2^{h_{-m+2_x}}\} \div 2^{h_{-m+2_x}}= 2a_{-m+2} +1 $
$\vdots$
$f(2a_{-1}+1)=6a_{-1}+4=(2a_0+1)\times 2^{h_{0_x}},$
$\{(2a_0+1)\times 2^{h_{0_x}})\} \div 2^{h_{0_x}}= 2a_0+1 $
$f(2a_0+1)=6a_0+4=(2a_{+1}+1)\times 2^{h_{+1_x}},$
$ \{(2a_{+1}+1)\times 2^{h_{+1}} \} \div 2^{h_{+1_x}}= 2a_{+1}+1 $
$\vdots$
$f(2a_{p-1}+1)=6a_{p-1}+4=(2a_p+1)\times 2^{h_{p_x}},$
$\{(2a_p+1)\times 2^{h_{p_x}}\} \div 2^{h_{p_x}}= 2a_p+1$
のようにコラッツ予想の題意に従った演算を有限回繰り返して行えば$ 2a_p+1$ となる。
よってすべての自然数は $D(1)$ においてコラッツ予想の題意に従った演算を有限回繰り返して行えば
1 となる。
参考資料：/
天才！右院堂さんによるコラッツの予想の証明！？/
→命題1-4
/
’03杜陵サークル５月例会の報告/
→命題1-4
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あなたと夜と数学と/
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