加法圏での元を取らない5項補題の証明

$ \xymatrix{ X_1\ar[r]^-{i_1} \ar[dr]_-{i'_2} & X_1\coprod X_2 \ar@{..>}[d]^{\eta} & X_2 \ar[l]_-{i_2} \ar[dl]^-{i'_2} \\ & X_1 \times X_2 } $$\colon$左のdiagramと補題2とその双対を考える事によりわかる.

先ず, $F$が加法的関手であるとする.
$\forall X_1,X_2 \in \mathscr{C} ,\{X := X_1 \oplus X_2,p_1,p_2,i_1,i_2\}$をbiproductとすると, これらは次のような組である$\colon$

• $p_i \circ i_i = \mathrm{id}_{X_i} $$ (i=1,2)$
• $p_i \circ i_j = 0 $ $(i\neq j)$
• $i_1 \circ p_1 + i_2 \circ p_2 = \mathrm{id}_X$

ここで$F$の関手性及び加法性に撚り次が成り立つ$\colon$

• $F(p_i \circ i_i) =F(p_i) \circ F(i_i) = F(\mathrm{id}_{X_i}) = \mathrm{id}_{F(X_i)} $$ (i=1,2)$
• $F(p_i \circ i_i)=F(p_i) \circ F(i_j) = 0 $ $(i\neq j)$
• $F(i_1 \circ p_1 + i_2 \circ p_2) = F(i_1) \circ F(p_1) + F(i_2) \circ F(p_2) = F(\mathrm{id}_X) = \mathrm{id}_{F(X)}$

よって$\{F(X) := F(X_1 \oplus X_2),F(p_1),F(p_2),F(i_1),F(i_2)\}$はbiproductになる. この意味で$F$はbiproductを保つ.

逆に$F$がbiproductを保つとする.
$\forall f,g \in \mathrm{Hom}_\mathscr{C}(X,Y)$を取り, $h = \begin{bmatrix} f \\ g \end{bmatrix}$とすると$F$がbiproductを保つため次の図式が可換になる.
$ \xymatrix{ &F(Y)\\ F(X)\ar[ru]^-{F(f)}\ar[rd]_-{F(g)}\ar[r]^-{F(h)}&F(Y \oplus Y)\ar[d]^-{ F(p_2)}\ar[u]_-{ F(p_1)}\\ &F(Y) } $$ \xymatrix{ &&F(Y)\ar[d]_-{ F(i_1)}\ar[lld]_-{id_{F(Y)}}\\ F(X)&&F(Y \oplus Y)\ar[ll]_-{F(\nabla_Y)}\\ &&F(Y)\ar[u]^-{F (i_2)}\ar[llu]^-{id_{F(Y)}} } $
$\therefore F(f) + F(g) = \nabla_{F(Y)}\circ\begin{bmatrix} F(f) \\ F(g) \end{bmatrix}=F(\nabla_Y)\circ F(\begin{bmatrix} f \\ g \end{bmatrix})=F(\nabla_Y \circ \begin{bmatrix} f \\ g \end{bmatrix}) = F(f+g)$□

双対故単射性のみを示す(矢印を全部逆にすればよい).
$b \circ x = 0$を満たす$x\in \mathrm{Hom}_\mathscr{A}(X,B)$を任意にとる. この時$x=0$ならば$b$は単射である.
(実際, $\forall x_1,x_2 \in \mathrm{Hom}_\mathscr{A}(X,B),b \circ x_1 = b \circ x_1$と仮定すると$x := x_1 - x_2$は$b \circ x = 0$を満たし$x=0 \Leftrightarrow x_1 = x_2$)
依って$x=0$を示す.
図式の可換性より$c \circ g \circ x = g' \circ b \circ x = 0$であり$c$の単射性より$g \circ x = 0$
ここで$g$の核の定義(普遍性)より$x = \mathrm{ker}g \circ \tilde{x} (\exists ! \tilde{x}\in \mathrm{Hom}_\mathscr{A}(X,\mathrm{Ker}g))$であり,
短完全列の定義により$\mathrm{Ker}(g)=(A,f)$であるので次の図式が与えられる.
$\xymatrix{ \mathrm{Ker}g \ar@{=}[d]_-{\psi↓} \ar[rd]^-{\mathrm{ker}g}&X\ar@{..>}[l]_-{\tilde{x}}\ar[d]^-{x}\ar[rd]^-{0}&\\ A\ar[r]^-{f}\ar[d]_-{a}\ar@{}[rd]|{\circlearrowright}&B\ar[d]^-{b}\ar[r]^-{g} & C\\ A'\ar[r]_-{f'}&B' }$ $\colon$$ \underline{x}:=\psi \circ \tilde{x}$とする.
$b\circ x = 0$より
$\displaystyle f' \circ a \circ \underline{x} = b \circ f \circ \underline{x} = b \circ x = 0$ここで$f',a$は単射なので$\underline{x} = 0$ $\therefore x=f\circ \underline{x}=0$□

証明には下記のFact.1を用いる.
$\xymatrix{ X \ar@{=}[d]_{} \ar[r]^f \ar@{}[dr]|\sim & Y \ar@{=}[d]^{} \\ X \ar[r]^{f'} & Y \\ }$ $\colon $ホモトピー可換 であり
五項補題より下記の$z\colon \mathrm{Cone}(f) \to \mathrm{Cone}(f')$は同型
$ \xymatrix{ Y \ar@{=}[d]_{} \ar[r]^-{g} \ar@{}[dr]|\circlearrowleft & \mathrm{Cone}(f)\ar@{}[dr]|\circlearrowleft \ar[d]_{z}^-{\cong}\ar[r]^-{h}&\Sigma X \ar@{=}[d]_{} & \colon \text{exact} \\ Y \ar[r]_-{g'} & \mathrm{Cone}(f') \ar[r]_-{h'}&\Sigma X &\colon \text{exact}\\ } $$\colon$可換

$M$が有限生成より, 次の完全列がある
$0\to X\to A^n \to M\to 0$
テンソルは右完全, 完備化は完全であったことを思い出すと
$\xymatrix{ & X\otimes_A\hat{A} \ar[d]_{f} \ar[r]^-{\mathrm{ker}\varphi \otimes \mathrm{id}} \ar@{}[dr]|\circlearrowleft & A^n\otimes_A\hat{A}\ar@{}[dr]|\circlearrowleft \ar[d]^{g}\ar[r]^-{\varphi\otimes \mathrm{id}}&M\otimes_A\hat{A} \ar[r]\ar[d]^h&0 & \colon \text{exact} \\ 0\ar[r] &\hat{X} \ar[r]_-{\hat{\mathrm{ker}\varphi}} & \hat{A^n} \ar[r]_-{\hat{\varphi}}&\hat{M}\ar[r]&0 &\colon \text{exact}\\ }$
ここで射影極限(完備化)とテンソルは可換であったので([節:余談]を参照すると良い)
$g$は同型であり, 特に全射である.
よって五項補題より, $h$は全射.
また$A$がNoetherなら$X$も有限生成となるので,$f$が同型である.
再び五項補題により$h$は単射となり, これは題意を満たしている.