Fibonacci 数を含む無限多重根号
Fibonacci 数を含む無限多重根号
The Fibonacci Quarterlyという60年近く続いているジャーナルがある。ここにはFibonacci数以外にも整数論や組み合わせ論などの論文を扱っている。また, 問題のコーナー (ADVANCED PROBLEMS AND SOLUTIONS, ELEMENTARY PROBLEMS AND SOLUTIONS) があり, 私自身も問題提案者や解答者として長い間末席を汚している。今回はその中でお気に入りの私の作品を紹介する。
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}$$\sqrt{F_{2}^2+\sqrt{F_{4}^2+\sqrt{F_{8}^2+\sqrt{\cdots +\sqrt{F_{2^n}^2}}}}}=3$.
(as Advanced problem H-767)
H-767の問題, The Fibonacci Quarterly 53.1(2015)
H-767の解答, The Fibonacci Quarterly 55.1(2017)
少し 時間がたって, 以下のような拡張ができた。
$c>0$が与えられているとき,
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}$$\sqrt{cF_{2}^2+\sqrt{cF_{4}^2+\sqrt{cF_{8}^2+\sqrt{\cdots +\sqrt{cF_{2^n}^2}}}}}=\displaystyle \frac{3+\sqrt{4c+5}}{2}.$
(as Advanced problem H-788)
$c=1$とすると, 右辺が$3$となり前回の結果を得る。予想してから証明の要となる仕掛けを作るのに少し苦労した。
H-788の問題, The Fibonacci Quarterly 54.2(2016)
H-788の解答, The Fibonacci Quarterly 56.2(2018)
※ "ADVANCED PROBLEMS AND SOLUTIONS", "ELEMENTARY PROBLEMS AND SOLUTIONS"はそれぞれ無料で入手できる。
一般化されたFibonacci 数を含む無限多重根号
さらに, 次のように定義される ”一般化されたFibonacci数$U_{n}$" についても無限多重根号を見つけることができた.
$U_{0}=0,\ U_{1}=1,\ U_{n}=pU_{n-1}+qU_{n-2}$ for $ n \geq 2$.
$p>0,\ q>-\frac{p^2}{4}$とする. このとき, 一般化されたFibonacci数$U_{n}$に対して,
$\displaystyle \qquad \lim_{n \to \infty}$$\sqrt{U_{1}^2+\sqrt{U_{2}^2+\sqrt{U_{4}^2+\sqrt{\cdots +\sqrt{U_{2^{n-1}}^2}}}}}=\displaystyle \frac{p+\sqrt{p^2+4q+4}}{2}.$
(as problem 12063)
problem 12063の問題, The American Mathematical Monthly 125.8(2018)
problem 12063の解答, The American Mathematical Monthly 127.4(2020)