合流型超幾何関数, 演習問題と解答例: Whittaker&Watson 問題16.5

E. T. Whittaker and G. N. Watson, "A Course of Modern Analysis, 5th ed. (2021)$^{[1]}$の演習問題を解くシリーズ

Show that, by a suitable change of variables, the equation
\begin{equation} (a_2+b_2x)\frac{d^2y}{dx^2}+(a_1+b_1x)\frac{dy}{dx}+(a_0+b_0x)y=0 \tag{1}\label{eq_problem1} \end{equation}
can be brought to the form
\begin{equation} \xi\frac{d^2\eta}{d\xi^2}+(c-\xi)\frac{d\eta}{d\xi}-a\eta=0. \tag{2}\label{eq_problem2} \end{equation}
Derive Eq. (\ref{eq_problem2}) from the equation for $F(a,b;c;x)$ by writing $x=\xi/b$ and making $b\to\infty$.

Phys. Rev. A 104, 023512[3]のAppendix Dの式(D27)では、本問の変数変換による解が使われている。

式(\ref{eq_problem1})で$y(x)=e^{kx}\eta(\xi)$, $\xi=(x-\mu)/\lambda$と変数変換すると、
\begin{equation} \frac{a_2+b_2x}{\lambda^2}\frac{d^2\eta}{d\xi^2}+\frac{2(a_2+b_2x)k+a_1+b_1x}{\lambda}\frac{d\eta}{d\xi} +\left[(a_2+b_2x)k^2+(a_1+b_1x)k+a_0+b_0x\right]\eta=0 \tag{3}\label{eq_eta_xi} \end{equation}
式(\ref{eq_eta_xi})が式(\ref{eq_problem2})の形になるように$k,\mu,\lambda$を定めればよい。まず、$\eta$の係数が定数である条件から、$b_2k^2+b_1k+b_0=0$を満たす$k$として、\begin{equation} k=\frac{\sqrt{b_1^2-4b_2b_1}-b_1}{2b_2} \end{equation}
と取れる。次に、\begin{equation} 式(\ref{eq_eta_xi})\iff \left(\xi+\frac{a_2+b_2\mu}{b_2\lambda}\right)\eta''+ \left[\frac{\lambda(2b_2k+b_1)}{b_2}\xi+\frac{(2b_2k+b_1)\mu+2a_2k+a_1}{b_2}\right]\eta'+\frac{\lambda}{b_2}(a_2k^2+a_1k+a_0)\eta=0 \end{equation}が式(\ref{eq_problem2})と一致するように、$\mu,\lambda$を決めると、\begin{align} \mu&=-\frac{a_2}{b_2} \\ \lambda&=-\frac{b_2}{2b_2k+b_1}. \end{align}このとき式(\ref{eq_problem2})の$a,c$は\begin{align} a&=\frac{a_2k^2+a_1k+a_0}{2b_2k+b_1} \\ c&=\frac{a_1b_2-a_2b_1}{b_2^2}. \end{align}
$F(a,b;c;x)$が満たすGaussの超幾何微分方程式で変数変換$x=\xi/b$を行って得られる微分方程式で$b\to\infty$とすればKummerの微分方程式(\ref{eq_problem2})が得られる。