Rogers多項式の漸化式
$x:=\cos\theta$とする. Rogers多項式は
\begin{align}
C_n(x;a|q)&=\sum_{k=0}^n\frac{(a;q)_k(a;q)_{n-k}}{(q;q)_k(q;q)_{n-k}}e^{i(n-2k)\theta}
\end{align}
と定義される. 今回はRogers多項式が以下の3項漸化式を満たすことを示す.
\begin{align} 2xC_n(x;a|q)&=\frac{1-q^{n+1}}{1-aq^n}C_{n+1}(x;a|q)+\frac{1-a^2q^{n-1}}{1-aq^n}C_{n-1}(x;a|q) \end{align}
定義と$q$二項定理より, Rogers多項式の母関数は
\begin{align}
\sum_{0\leq n}C_n(x;a|q)t^n&=\frac{(ate^{i\theta},ate^{-i\theta};q)_{\infty}}{(te^{i\theta},te^{-i\theta};q)_{\infty}}
\end{align}
となる.
\begin{align}
\frac{(ate^{i\theta}q,ate^{-i\theta}q;q)_{\infty}}{(te^{i\theta}q,te^{-i\theta}q;q)_{\infty}}&=\frac{(1-te^{i\theta})(1-te^{-i\theta})}{(1-ate^{i\theta})(1-ate^{-i\theta})}\frac{(ate^{i\theta},ate^{-i\theta};q)_{\infty}}{(te^{i\theta},te^{-i\theta};q)_{\infty}}\\
&=\frac{1-2xt+t^2}{1-2axt+a^2t^2}\frac{(ate^{i\theta},ate^{-i\theta};q)_{\infty}}{(te^{i\theta},te^{-i\theta};q)_{\infty}}
\end{align}
つまり,
\begin{align}
(1-2axt+a^2t^2)\frac{(ate^{i\theta}q,ate^{-i\theta}q;q)_{\infty}}{(te^{i\theta}q,te^{-i\theta}q;q)_{\infty}}&=(1-2xt+t^2)\frac{(ate^{i\theta},ate^{-i\theta};q)_{\infty}}{(te^{i\theta},te^{-i\theta};q)_{\infty}}
\end{align}
の両辺の$t^{n+1}$の係数を比較すると,
\begin{align}
&q^{n+1}C_{n+1}(x;a|q)-2axq^nC_n(x;a|q)+a^2q^{n-1}C_{n-1}(x;a|q)\\
&=C_{n+1}(x;a|q)-2xC_n(x;a|q)+C_{n-1}(x;a|q)
\end{align}
となる. これを整理すると定理1を得る.
類似として, Rogers多項式には以下のような関係式も知られている.
\begin{align} C_n(x;a|q)&=\frac{1-a}{1-aq^n}C_n(x;aq|q)-\frac{a(1-a)}{1-aq^n}C_{n-2}(x;aq|q) \end{align}
\begin{align}
\frac{(ate^{i\theta},ate^{-i\theta};q)_{\infty}}{(te^{i\theta},te^{-i\theta};q)_{\infty}}&=(1-2axt+a^2t^2)\frac{(ate^{i\theta}q,ate^{-i\theta}q;q)_{\infty}}{(te^{i\theta},te^{-i\theta};q)_{\infty}}
\end{align}
の両辺の$t^n$の係数を比較すると,
\begin{align}
C_n(x;a|q)&=C_n(x;aq|q)-2axC_{n-1}(x;aq|q)+a^2C_{n-2}(x;aq|q)
\end{align}
ここで, 定理1より
\begin{align}
2xC_{n-1}(x;aq|q)&=\frac{1-q^n}{1-aq^n}C_n(x;aq|q)+\frac{1-a^2q^{n}}{1-aq^n}C_{n-2}(x;aq|q)
\end{align}
であるから, これを代入すると,
\begin{align}
C_n(x;a|q)&=C_n(x;aq|q)+a^2C_{n-2}(x;aq|q)-a\left(\frac{1-q^n}{1-aq^n}C_n(x;aq|q)+\frac{1-a^2q^{n-1}}{1-aq^n}C_{n-2}(x;aq|q)\right)\\
&=\frac{1-a}{1-aq^n}C_n(x;aq|q)-\frac{a(1-a)}{1-aq^n}C_{n-2}(x;aq|q)
\end{align}
となって示すべき等式が得られる.
