Fibonacci数（または Pell数, Pell-Lucas数）とπを結びつける美しい級数
Lehmerの公式
以下の式は, Fibonacci数と$\pi$を結びつける関係式として非常に有名である ([1]参照).
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\tan^{-1}\frac{1}{F_{2n+1}}=\frac{\pi}{4}$.
この種の級数はいくらでも作ることができるが, Lehmerによる上記の結果は特に美しい形だと思う.
[1] D.H.Lehmer, Problem 3801, American Mathematical Monthly 43 (1936)
Lehmerの公式にならった美しい級数
今回は, これまであまりなかった（と思う）次のような新しいタイプの級数を考える.
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\tan^{-1}\frac{c}{a_{n}}\tan^{-1}\frac{c}{a_{n+1}}\ $ ($c$は定数) .
初めに私はこのタイプのFibonacci数に関するものを見つけた. （非常に美しい！）
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\tan^{-1}\frac{1}{F_{n}}\tan^{-1}\frac{1}{F_{n+1}}=\frac{\pi^2}{8}$.
・H-821の問題, The Fibonacci Quarterly 56.2(2018)
・H-821の解答, The Fibonacci Quarterly 58.2(2020)
次に, Pell-Lucas数$Q_{n}$についても類似の結果を得た. (これも満足!)
$(Q_{0}=2,\ Q_{1}=2,\ Q_{n}=2Q_{n-1}+Q_{n-2}$ for $n \geq2)$
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\tan^{-1}\frac{2}{Q_{n}}\tan^{-1}\frac{2}{Q_{n+1}}=\frac{\pi^2}{32}$.
・problem 12090の問題, The American Mathematical Monthly 126.2(2019)
・problem 12090の解答, The American Mathematical Monthly 127.7(2020)
最後に, Pell数$P_{n}$に対しても無理やり見つけてみた.
$(P_{0}=0,\ P_{1}=1,\ P_{n}=2P_{n-1}+P_{n-2}$ for $n \geq2)$
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\tan^{-1}\frac{1}{\sqrt{2}P_{n}}\tan^{-1}\frac{1}{\sqrt{2}P_{n+1}}=\frac{\pi}{4}\tan^{-1}\frac{1}{2\sqrt{2}}$.
・H-864の問題, The Fibonacci Quarterly 58.4(2020)