コーシーの積分公式とデルタ関数

前提知識

外微分

$\mathbb{C}$ 上の関数 $u$ に対して，$z=x+iy$ とかくことにすれば，$du={\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}}dx+{\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}}dy$ とかける．（この式は，多様体を知っていれば微分形式の等式と理解しても良いし，そうでなければ単なる形式的な記号と思っても良い．）
ここで，以下のように記号を定める：

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\partial }{\partial z}}:={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}+{\displaystyle \frac{1}{i}}{\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}}),& {\displaystyle \frac{\partial }{\partial \overline{z}}}:={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}-{\displaystyle \frac{1}{i}}{\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}}),\\ dz:=dx+idy,& d\overline{z}=dx-idy.\end{array}$$

これは，（余）接空間の基底の取り換えと考える．このとき，$du={\displaystyle \frac{\partial u}{\partial z}}dz+{\displaystyle \frac{\partial u}{\partial \overline{z}}}d\overline{z}$ となる．特に $u$ が正則であるときには $du={\displaystyle \frac{\partial u}{\partial z}}dz$ となって便利である．

ストークスの定理

（これはやはり多様体を知っている前提であるが）次が成り立つ：

コーシーの積分公式

$\mathrm{\Delta }=\{z\in \mathbb{C}:|z|<1\}$ とおく． $\partial \mathrm{\Delta }=\{|z|=1\}$ である． $\bar{\mathrm{\Delta }}$ を含む開集合の上で正則な関数 $f$ に対して ${\displaystyle {\int }_{\partial \mathrm{\Delta }}{\displaystyle \frac{f(\zeta )}{\zeta -z}}d\zeta =2\pi if(z),z\in \mathrm{\Delta }}$ が成り立つ，というのが有名なコーシーの積分公式である．

今回の話

コーシーの積分公式の左辺に注目すると，これはストークスの定理の左辺に似た形をしている．ストークスの定理での $u$ は $M$ 上で定義されている必要があり，いまの場合 $f(\zeta )/(z-\zeta )$ は $\zeta =z$ で定義されていないから，ここは超関数微分（あるいはカレント（超関数係数微分形式）の意味での外微分）と考える必要はあるが，細かいことに目を瞑れば次のようになる．
$$\begin{array}{rl}{\int }_{\partial \mathrm{\Delta }}\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta & ={\int }_{\mathrm{\Delta }}d\left(\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta \right)\\ & ={\int }_{\mathrm{\Delta }}\frac{\partial }{\partial \zeta }\left(\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}\right)d\zeta \wedge d\zeta +{\int }_{\mathrm{\Delta }}\frac{\partial }{\partial \overline{\zeta }}\left(\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}\right)d\overline{\zeta }\wedge d\zeta \\ & ={\int }_{\mathrm{\Delta }}f(\zeta )\frac{\partial }{\partial \overline{\zeta }}\left(\frac{1}{\zeta -z}\right)d\overline{\zeta }\wedge d\zeta (\text{積の微分})\\ & =2i{\int }_{\mathrm{\Delta }}f(\zeta )\frac{\partial }{\partial \overline{\zeta }}\left(\frac{1}{\zeta -z}\right)d\xi \wedge d\eta (\zeta =\xi +i\eta )\end{array}$$
となる． $\zeta \mapsto f(\zeta )/(\zeta -z)$ は $\zeta \ne z$ において正則だから， $\overline{\zeta }$ 偏微分をすれば $0$ になる．ということは ${\displaystyle 2i\frac{\partial }{\partial \overline{\zeta }}\left(\frac{1}{\zeta -z}\right)=2\pi i\delta (\zeta -z)}$（ただし $\delta$ はディラックのデルタ関数）となりそうである．実はこれは正しく，また，この結果は次のように整理できることが知られている：