コーシーの積分公式とデルタ関数

前提知識

外微分

$\mathbb{C}$ 上の関数 $u$ に対して，$z=x+iy$ とかくことにすれば，$du=\dfrac{\partial u}{\partial x}dx+\dfrac{\partial u}{\partial y}dy$ とかける．（この式は，多様体を知っていれば微分形式の等式と理解しても良いし，そうでなければ単なる形式的な記号と思っても良い．）
ここで，以下のように記号を定める：

\begin{align*} \dfrac{\partial}{\partial z}:=\dfrac12\left(\dfrac{\partial}{\partial x}+\dfrac{1}{i}\dfrac{\partial}{\partial y}\right),\qquad &\dfrac{\partial}{\partial \bar{z}}:=\dfrac12\left(\dfrac{\partial}{\partial x}-\dfrac{1}{i}\dfrac{\partial}{\partial y}\right),\\[5pt] dz:=dx+idy,\qquad &d\bar{z}=dx-idy. \end{align*}

これは，（余）接空間の基底の取り換えと考える．このとき，$du=\dfrac{\partial u}{\partial z}dz+\dfrac{\partial u}{\partial\bar{z}}d\bar{z}$ となる．特に $u$ が正則であるときには $du=\dfrac{\partial u}{\partial z}dz$ となって便利である．

ストークスの定理

（これはやはり多様体を知っている前提であるが）次が成り立つ：

コーシーの積分公式

$\Delta=\{z\in\mathbb{C}\colon |z|<1\}$ とおく． $\partial\Delta=\{|z|=1\}$ である． $\overline{\Delta}$ を含む開集合の上で正則な関数 $f$ に対して $\displaystyle \int_{\partial\Delta}\dfrac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta=2\pi i f(z),\quad z\in\Delta$ が成り立つ，というのが有名なコーシーの積分公式である．

今回の話

コーシーの積分公式の左辺に注目すると，これはストークスの定理の左辺に似た形をしている．ストークスの定理での $u$ は $M$ 上で定義されている必要があり，いまの場合 $f(\zeta)/(z-\zeta)$ は $\zeta=z$ で定義されていないから，ここは超関数微分（あるいはカレント（超関数係数微分形式）の意味での外微分）と考える必要はあるが，細かいことに目を瞑れば次のようになる．
\begin{align*} \int_{\partial\Delta}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta &= \int_{\Delta}d\left(\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta\right) \\ &= \int_{\Delta}\frac{\partial}{\partial \zeta}\left(\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\right)d\zeta\wedge d\zeta+\int_{\Delta}\frac{\partial}{\partial \bar{\zeta}}\left(\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\right)d\bar{\zeta}\wedge d\zeta \\ &= \int_{\Delta}f(\zeta)\frac{\partial}{\partial \bar{\zeta}}\left(\frac{1}{\zeta-z}\right)d\bar{\zeta}\wedge d\zeta\qquad (\text{積の微分})\\ &= 2i\int_{\Delta}f(\zeta)\frac{\partial}{\partial \bar{\zeta}}\left(\frac{1}{\zeta-z}\right)d\xi\wedge d\eta\qquad (\zeta=\xi+i\eta) \end{align*}
となる． $\zeta\mapsto f(\zeta)/(\zeta-z)$ は $\zeta\neq z$ において正則だから， $\bar{\zeta}$ 偏微分をすれば $0$ になる．ということは $\displaystyle 2i\frac{\partial}{\partial \bar{\zeta}}\left(\frac{1}{\zeta-z}\right)=2\pi i\delta(\zeta-z)$（ただし $\delta$ はディラックのデルタ関数）となりそうである．実はこれは正しく，また，この結果は次のように整理できることが知られている：