Neuberg Cubic について

ノイベルグは、
・$A,B,C,X_{3},X_{4},X_{13},X_{14},X_{15},X_{16}$
・$A,B,CのBC,CA,AB$による鏡映点
・$\triangle QBC$ が正三角形となる$Q$2点($CA,AB$でも同様にして計6点)
・$BC$の垂直二等分線と$AB,AC$との2交点を結んだ線で$A$を鏡映した点($B,C$についても同様にして計3点)
計21点がこの式を満たすことを発見しました。

また、1921年には$B. H. Brown$が新たに内心や傍心を含む、16点がこれを満たすことを発見しました。(※このことから別名、21点三次曲線、37点三次曲線ともいわれます。トムソン曲線が17点三次曲線と言われるのと一緒ですね。)

[1]$P$を$BC,CA,AB$で鏡映した点と$A,B,C$を結んだ直線は共点である。また、その点の軌跡は三次曲線K060である。
[2]$\triangle PBC,PCA,PAB$の外心($X_3$)と$A,B,C$を結んだ直線は、共点である。
また、その点の軌跡はNapoleon cubic(K005)である。　(ノイベルグ自身による同値変形。)
[4]$\triangle PBC,PCA,PAB$のオイラー線は共点である。(モーリー親子による)
[5]$P$の$BC,CA,AB$に対する垂足をそれぞれ$N,M,L$とすると$\triangle PML,PLN,PNM$のオイラー線は共点である。(またその点の軌跡は六次曲線Q093である。)
[6]$\triangle ABC,PBC,PCA,PAB$のブロカール軸は共点である。
　(ブロカール軸は外心($X_{3}$)と疑似重心($X_{6}$)を結んだ直線)
[11]$Orthopivotal\ cubic\ O(X_3)$はノイベルグ三次曲線である。
[12]$\triangle PBC$の外接円と$AP$との$P$でない方の交点を$A'$とし$B',C'$についても同様に定める。$\triangle A'BC,A'BC,ABC'$の垂心($X_{4}$)を頂点とする三角形は$\triangle ABC$と配景的である。
[19]$\triangle PBC,PCA,PAB$のノイベルグ三次曲線は共通の点$X$を持つ。特に、$X_{399},P,X$は共線で、3つのノイベルグ三次曲線は外接三次曲線となる。

[3]$\triangle PBC,PCA,PAB$の外心($X_3$)を頂点とする三角形の外心はオイラー線上にある。
[8]キーペルト放物線(Kiepert parabola)の$BC,CA,AB$との接線をそれぞれ$U,V,W$とすると、それぞれ$A,B,C$を通る$U,V,W$中心の円は2点で交わり、その二点と$X_3$は共線である。
[16]$\triangle PBC$の$X_{2},X_{6}$を結ぶ直線と$BC$の交点を$A'$、$B',C' $も同様に定義したとき、
　$\triangle ABC,A'B'C'$は配景であり、配景の中心は$\triangle ABC$の$X_2,X_6$を結ぶ直線上にある。
[21]外接円と$P$を通るそれぞれ$A,B,C$中心の円の根軸の作る三角形は$\triangle ABC$と配景的である。配景の中心はジェベラク双曲線上にある。また配景の中心を$Q(P)$のように表すとき、$X_{3}$を通る直線$l$とノイベルグ三次曲線との交点を$P_1,P_2$とし、$Q(P_1)=Q(P_2)$で$Q(P_1)$は$l$とジェラベク双曲線の$X_3$でない方の交点である。
・$\triangle G_aG_BG_C$を反中点三角形(中点三角形側から見た元の三角形)とする。$B,C,G_a,BC$に対するAの鏡映点,$A$を通る$BC$の垂線と外接円の($A$でない方の)交点,の計5点を通る放物線を$h_a$とし$h_b,h_c$についても同様に定義する。$h_a,h_b,h_c$の3交点$U_a,U_b,U_c$はノイベルグ三次曲線上にある。(また$h_a$の漸近線と$BC$のなす角は$60\degree $)。
さらに、$\triangle U_aU_bU_c$のオイラー線は$\triangle ABC $のオイラー線と一致する。
さらにさらに、$U_a,U_b,U_c$の等角共役点をそれぞれ$U_a',U_b',U_c'$とすると$U_a',U_b',U_c',\triangle U_a'U_b'U_c'$の辺の中点,その等角共役点,はすべてノイベルグ三次曲線上にある。そのことから$U_a',U_b',U_c$は半径$2R$,中心$X_{3}$の円上にあることが分かる。
そしてそれぞれ$U_a'U_b'U_c'$と$\triangle U_a'U_b'U_c'$の辺の中点の等角共役点を結ぶ直線は$X_{399}$(パリー反射点)で交わる。

[17]4点、$\triangle ABC,PBC,PCA,PAB$のそれぞれ$X_{115},X_{125}$(それぞれキーペルト双曲線、ジェベラク双曲線の中心)は共円である。(一般化できるかも...?)←本家に書いてあった
[18]3点$\triangle PBC,PCA,PAB$のそれぞれ$X_{99},X_{110}$(ぞれぞれシュタイナー点、キーペルト放物線の焦点)と$P$は共円である。(一般化できるかも...?)←本家に書いてあった
[22]$P$を通る$A$中心の円で$B,C$を反転した点、$B,C$でも同様にして出来た点、の計6点は同一二次曲線上にある。

[7]$(X,Y,Z)$を$Z$を通る$Y$中心の円の$X$の方べきの値とするとき、
　$(P,A,B)(P,B,C)(P,C,A)=(P,B,A)(P,C,B)(P,A,C)$である。(ノイベルグ三次曲線と同値)
[9]外接円に対する$X_{74}$(オイラー無限遠点の等角共役点)を通る接線の等角共役点の軌跡"circum-parabola"は$X_{476}$(Tixer point)を通り、その軸はオイラー線と平行であるが、ある点とその等角共役点の"circum-parabola"に対する極線が平行であるとき、その点の軌跡はノイベルグ三次曲線となる。
[20]$\triangle PBC$のオイラー線で$B,C$を鏡映した点をそれぞれ$B_{a},C_{a}$とし$\triangle PCA,PAB$でも同様に定める。円$AB_{a}C_{a},BC_{b}A_{b},CA_{c}B_{c}$の半径は等しい。
・$P$と$P$の等角共役点を結んだ直線は、元の三角形のオイラー線と平行である。またノイベルグ三次曲線は、線上の点の等角共役も線上にある「Self-isogonal cubic」である。