多項式の合成的分解

今回考えたいのは以下のような問題である。

体 $K$ 上の多項式 $f$ が $f = g \circ h$ のように書けるのはどのようなときか？

この記事において、単に「多項式」というときは体 $K$ 上の多項式を意味するものとする。
まず、ひとつ演算を導入する。

逆合成

多項式 $f, g$ に対し、 $g^{- 1} \circ f := (x - g (α_{1})) \dots (x - g (α_{n}))$ と定義する。
ただし、 $f = (x - α_{1}) \dots (x - α_{n})$ であるものとする。
また、左側に書くのは結合律に配慮してのことである:
$g_{1}^{- 1} \circ (g_{2}^{- 1} \circ f) = (g_{1} \circ g_{2})^{- 1} \circ f$

$K = Q$ , $f = x - 1, g = h = x^{2}$ とすると、
$g^{- 1} \circ f = x - g (1) = x - 1$
$(g^{- 1} \circ f) \circ h = (x - 1) \circ h = x^{2} - 1$
$g^{- 1} \circ (f \circ h) = g^{- 1} \circ (x^{2} - 1) = (x - g (1)) (x - g (- 1)) = (x - 1)^{2}$

よって、一般には $(g^{- 1} \circ f) \circ h \neq g^{- 1} \circ (f \circ h)$ である。しかし、最後の例は次のように一般化できる。

例１の最後の例の一般化

多項式 $f, g$ に対して、 $g^{- 1} \circ (f \circ g) = f^{\deg g}$
ただし、 $\deg g$ は $g$ の次数である。

$m = \deg m, f = (x - α_{1}) \dots (x - α_{n}), f \circ g = (x - γ_{11}) \dots (x - γ_{n m})$ とする。ただし、 $γ_{i j}$ は $g (x) - α_{i}$ の根とする。
すると、 $g^{- 1} \circ (f \circ g) = (x - g (γ_{11})) \dots (x - g (γ_{n m})) = f^{\deg g}$

このようなことができると、当然その逆もできるかどうか知りたくなる。
そこで以下の命題が成り立つ。

補題2の（部分的な）逆

多項式 $f, h$ は重根をもたないものとする。多項式 $g$ （これは重根をもってもよい）によって
$g^{- 1} \circ f = h^{\deg g}$ ならば、 $f = h \circ g$ である。

$n = \deg h, m = \deg g$ とする。このとき $\deg f = n m$ である。
$h = (x - β_{1}) \dots (x - β_{n}), f (x) = (x - α_{11}) \dots (x - α_{n m})$
とする。ただし $g (α_{i j}) = β_{i}$ となるように添え字をつける。
このとき、 $g (x) - β_{i}$ は $α_{i j}, 1 \leq j \leq m$ を根に持つ $m$ 次多項式である。 $f$ は重根をもたないという仮定より、 $g$ は $α_{i j}, 1 \leq j \leq m$ という形の根以外の根を持たない。したがって、 $K (h)$ 上で $g (x) - β_{i}$ は $f$ を割り切る。
また $h$ が重根を持たないことより、 $g (x) - β_{1}, \dots, g (x) - β_{n}$ は共通根を持たない。よって、 $g (x) - β_{i}, 1 \leq i \leq n$ たちの根には、 $f$ の根 $α_{i j}$ がすべて、しかも一度だけ現れる。
したがって、 $f = (g (x) - β_{1}) \dots (g (x) - β_{n}) = h \circ g$