消えた和と一元体らしさ

はじめに

この記事は一元体に関して書きますが、これが一元体！とするものではありません。
数学的に不満のある書き方になるかもしれません。

本題

まず一元体に関する次の考え方を使う。

これを元に進みます。
ここで、皆さんは和を忘れてください。
これは次の線形空間を見るとわかるかもしれません。

和のない線形空間はモノイド作用のようになる、といえばイメージが掴めると思います。
ここで、一元体のもう一つの考え方をみる。

和を忘れた線形空間で、このようなものを見つけてみます。
集合にモノイド作用を考えると全て恒等写像にな({1}.×)はそれを満たします。
一般線形群を考えたいのですが、行列の積って和があって考えづらいので、線形空間の全単射な線型写像として一般線形群を考えます。
{1}の線形写像は集合の写像で、n次元の線形空間は要素nの集合、よりn次元一般線形群は要素nの集合の自己に対する全単射の合成になり、置換群になる。
余談ですが和を忘れた多項式、特に({1}.×)には和がないので$x^n=1$が全てで、Wikipediaの体の拡大の項目のはなしも少しはわかるかも…

おわりに

({1}.×)は和がない数学では一元体らしさがあるって話でした。
見ていただきありがとうございます。
間違いや指摘がありましたら、コメントで教えていただくと嬉しいです。

参考にさせていただきました文献

黒川信重　「絶対数学原論」
The F_un folklore
Wikipedia 一元体