群論・環論のtrivialな命題集

$G$を群,$\varnothing \ne H \subset G$を部分集合とする.このとき,以下は同値:
(1)$H$は$G$の部分群.
(2)$HH \subset H,H^{-1} \subset H.$
(3)$HH = H,H^{-1} = H.$

$G$を群,$x \in G$とする.このとき,$\langle x \rangle :=\{x^n|n \in \mathbb{Z}\}$は$G$の部分群である.

$G$を群,$x \in G$とする.このとき,$\textrm{ord} (x)=|\langle x \rangle|> 0.$

$n \in \mathbb{N}$とし,群$G=(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$について考える.以下が成り立つ:
(1)$G$の単位元は$\overline{0}$である.
(2)$\overline{a} \in G$の逆元は$\overline{-a}$である.
(3)$|G|=n$.特に,$G=\{\overline{0},\overline{1},\cdots ,\overline{n-1}\}.$
(4)任意の$n \in \mathbb{N}$に対し,$G$は巡回群である.
(5)$\overline{k} \in G$が$G$の生成元である$\Leftrightarrow$$\gcd(k,n)=1$.
　特に,$\overline{1}$は生成元である.$\overline{0}$は生成元でない.
(6)$G$はAbel群である.
(7)$\overline{a} \in G$に対し,$n\overline{a}=\overline{0}.$
(8)$\overline{a} \in G$に対し,$\textrm{ord} (\overline{a})|n$が成り立つ.特に,$1\ \leq \textrm{ord} (\overline{a})\leq n$
(9)$\textrm{ord} (\overline{0})=\textrm{ord} (\overline{n})=1,\,\,\textrm{ord} (\overline{1})=n.$
(10)$n$が素数ならば,任意の$\overline{a} \in G\setminus\{\overline{0}\}$は生成元である.
(11)$n$が素数ならば,任意の$\overline{a} \in G\setminus\{\overline{0}\}$に対し,$\textrm{ord} (\overline{a})=n.$

$n \in \mathbb{N}$とし,$G=((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times},\times)$について考える.以下が成り立つ:
(1)$\overline{k} \in G \Leftrightarrow \gcd(k,n)=1$. 特に,$\overline{1}\in G$,$\overline{0} \notin G$.
(2)$G$の単位元は$\overline{1}$である.
(3)$|G|=\varphi(n)$. すなわち,$G=\{\overline{k} \in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)|\gcd(k,n)=1\}.$
ただし,$\varphi:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N},n \mapsto |\{k \in \{1,\cdots ,n\}|\gcd(k,n)=1\}|$はEuler関数.
(4)$\overline{a} \in G$に対し,${\overline{a}}^n=\overline{1}.$
(5)$\overline{a} \in G$に対し,$\textrm{ord} (\overline{a})|n$が成り立つ.特に,$1\ \leq \textrm{ord} (\overline{a})\leq n$
(6)$\textrm{ord} (\overline{1})=1.$
(7)$n$が素数ならば,$G$は巡回群である.
(8)$n=4,6$のとき,$|G|=2$であるから,巡回群である.$n$が偶数で巡回群になるのはこれしかない.

$n \in \mathbb{N}$とし,$G=((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}),+,\times)$について考える.以下が成り立つ:
(1)$G$は環である.零元は$\overline{0}$,単位元は$\overline{1}$である.
(2)$n$が素数ならば,$G$は体である.特に,整域である.

$G$を位数$n$の有限群$(|G|=n)$,$e$を$G$の単位元とする.このとき,以下が成り立つ:
(1)任意の$x \in G$に対し,$x^n=e$.
(2)$n$が素数ならば,$G$は巡回群である.
(3)ある$x \in G$が存在し,$\textrm{ord} (x)=n$ならば,$G$は巡回群である.

$G$を巡回群,$e$を$G$の単位元とする.このとき,以下が成り立つ:
(1)ある$x \in G$が存在し,$G=\langle x \rangle$.
(2)ある$x \in G$が存在し,$\textrm{ord} (x) < \infty$ならば,$G$は有限群である.
(3)ある$x \in G\setminus\{0\},\,\,n \in \mathbb{N}$が存在し,$x^n=e$ならば,$G$は有限群である.

$G$を群,$e$を$G$の単位元とする.$x \in G$に対し,以下が成り立つ:
$\textrm{ord} (x)=|\langle x \rangle|=d \Rightarrow x^d=x^{\textrm{ord} (x)}=e\,\,\, (d \in \mathbb{N})$.

$(\mathbb{Z},+)$は無限巡回群である.生成元は$1.$

$G$を群,$e$を$G$の単位元とする.このとき,
(1)$G/\{e\} \simeq G.$
(2)$G/G \simeq \{e\}.$

巡回群はAbel群である.

$K$を環,$K^*:=K\setminus\{0\},\,\,\,K^{\times}:=\{a \in K|aは可逆元を持つ\}$とする.
このとき,$K$が体ならば$K^*=K^{\times}$.
環では成り立たない.例えば$\mathbb{Z}^* \ne \mathbb{Z}^{\times}$.

$\mathbb{K}$を体,$M_n(\mathbb{K})$を$\mathbb{K}$上の$n$次正方行列全体とする.このとき,$M_1(\mathbb{K})$と$\mathbb{K}$は体同型である.すなわち,$M_1(\mathbb{K}) \simeq \mathbb{K}.$