n階積分によって解ける級数
目次
・はじめに
・準備
・内容
・最後に
はじめに
どうも、色数です。
積分級数OCのゴールデンウィーク記事リレー最終日の記事です。
今回は色んな関数の$n$階積分をしていきます。
そもそもとしてこれがすでに記事にされているかわからないので妄想として書き留めておきます。
準備
ここでは関数$f(x)$の$n$階積分を$f^{< n>}(x)$とおく
$(x)_n=x(x+1)\cdots(x+n-1)$
また$\displaystyle \beta_n=\frac{(\frac{1}{2})_n}{n!}=\frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}}$とする
内容
自明な具体例を上げます
$\displaystyle \{x^k\}^{< n>}=\frac{1}{(k+1)_{n}}x^{k+n}$
$\displaystyle \{(1-x)^k\}^{< n>}=\frac{(-1)^n}{(k+1)_n}(1-x)^{k+n}$
\begin{align} \{\sin x\}^{< n>}=\left\{\begin{gathered}&(-1)^n\cos x…(n\in\text{even})\\&(-1)^{n-1}\sin x…(n\in\text{odd})\end{gathered}\right. \end{align}
$\displaystyle \int_0^1\frac{t^n}{\sqrt{1-t}}dt=\frac{1}{n\beta_n}$
はにゃ
$\displaystyle \int\sin^{2n+1}xdx=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(2k+1)!!}{(2n+1)!!}(-\cos x\sin^{2k+1}x)-\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}\cos x+C$
$\displaystyle \int\sin^{2n}xdx=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(2k)!!}{(2n)!!}(-\cos x\sin^{2k}x)+\frac{(2n-1)!!}{2n!!}x+C$
\begin{align}
I_n(x)&=\int\sin^nx dx\\&=\int\sin x\sin^{n-1}xdx\\&=\left[-\cos x\sin^{n-1}x\right]+(n-1)\int\sin^{n-2}x\cos^2xdx\\&=(〜)+(n-1)\int\sin x\sin^{n-3}x\cos^2xdx\\&=(〜)+(n-1)\int\sin x\sin^{n-3}x(1-\sin^2x)dx\\&=(〜)+(n-1)\left(\int\sin^{n-2}xdx-\int\sin^{n}xdx\right)\\&=(〜)+(n-1)\int\sin^{n-2}xdx-(n-1)\int\sin^n xdx
\end{align}
$\displaystyle I_n(x)=\frac{1}{n}\left(-\cos x\sin^{n-1}x+(n-1)I_{n-2}(x)\right)$
より得る
$\displaystyle\{ \sin x^{2m}\}^{<2n+1>}=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(2k)!!}{(2m)!!}\frac{}{}+はにゃ\frac{(2m-1)!!}{(2m!!)(2n+2)!}x^{2n+1}$
$\displaystyle \int_0^1t^n(1+t)^mdt=\frac{2^m}{n+1}-\sum_{k=1}^{m-1}\frac{(1-m)_{k-1}}{(n+1)_{k+1}}2^{m-k}+(-1)^m\frac{m!n!}{(m+n+1)!}$
はにゃ
こんな積分たちを解くことで以下のような級数が解けたりします
$\displaystyle \sum_{0\le k_1\le k_2}\frac{(-1)^{k_1}(2n+k_2+m+2)!(2n+k_1+2)!}{(m-k_1)!(2n+k_2+2)!(2n+k_1+m+2)!}=\frac{n!}{(m+1)(m+n+1)!^2}$
最後に
$n$階積分を導入したかったのは部分積分を使って何かしら得たかったからなんですよね。
数楽さんやらららさんによると反復ベータ積分というのがあるらしい…色数はまだやってないです…