ゼータ一覧(更新予定)
目次
・はじめに
・一覧
はじめに
どうも、色数です。
今回は色々なゼータの定義一覧表を作ってみます。
研究テーマに詰まった方や既知のものか知りたい方向けにできるだけ簡潔に書いていきます。
今回は質より量で、
一覧
リーマンゼータ関数 (英: Riemann zeta function )
全てのゼータの派生元(少なくとも僕はそう思っている)
$\displaystyle \zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}$
$s$は$s>1$な実数
フルヴィッツのゼータ関数 (英: Hurwitz zeta function
$\displaystyle \zeta(s,q)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+q)^s}$
ここで$s,q\in\mathbb C,\Re(s)>1,\Re(q)>0$
ディリクレの$L$関数 (英: Dirichlet L-function )
$\displaystyle L(\chi,s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\chi(n)}{n^s}$
$\chi$は
ディリクレ指標
多重ゼータ値(関数) (英: Multiple zeta value(function)
多重周辺は僕はわからないことだらけなので基本的な多重ゼータだけ紹介しておきます。
$\displaystyle \zeta(\mathbf k):=\sum_{0< n_1<\cdots < n_r}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}$
群(部分群)のゼータ
$\displaystyle \zeta_G(s)=\sum_{\substack{H\subset G\\\lbrack G:H\rbrack<\infty}}\frac{1}{\lbrack G:H\rbrack^s}$
ここで$H$は$G$の部分群を渡っていることに注意
環のゼータ
$\displaystyle \zeta_A(s)=\sum_{I\subset A}\frac{1}{N(I)^s}$
ここで$N(I)=|A/I|$
$I$は$A$のイデアルを渡っていることに注意
圏のゼータ
$\displaystyle \zeta_C(s)=\prod_{\textup{Prim}_o(C)}(1-N(p)^{-s})^{-1}$
合同ゼータ
$\displaystyle \zeta_{X/\mathbb F_q}(s)=\exp\left(\sum_{n=1}^\infty\frac{|X(\mathbb F_{q^n})|}{n^s}q^{-ns}\right)$
ここで$q$は素数の冪であり、$\mathbb F_q$は有限体、$X$は$\mathbb F_q$上の代数多様体を表す。
$|X(\mathbb F_{q^n})|$は$\mathbb F_q$の$n$拡大体$\mathbb F_{q^n}$に関する$X$の有理点の個数を表す。
セルバーグゼータ (英: Selberg zeta function )
$\displaystyle \zeta_M(s)=\prod_P(1-N(P)^{-s})^{-1}$
$P$は素な閉測地線を渡り、$P$の長さ$\mathscr l(P)$に対し$N(P)=e^{\mathscr l(P)}$と定める
行列のゼータ
$n$次正方行列$A$のゼータは
$Z_A(s)=\textup{dep}(sE_n-A)$で定義される
デデキントゼータ (英: Dedekind's zeta function )
代数体$K$に対し
$\displaystyle \zeta_K(s)=\sum_{\mathfrak a}\frac{1}{(N\mathfrak a)^s}$
$K$の整イデアルに渡って和をとり、$N\mathfrak a$は整イデアルのノルムとする
素数ゼータ
$\displaystyle \mathfrak P(s)=\sum_{p\in\mathbb P}\frac{1}{p^s}$
スーパーゼータ、副次的スーパーゼータ
$\displaystyle \mathscr Z(s)=\sum_{\rho}\frac{1}{\rho^s}$
非自明零点を渡っている
ユウカゼータ
僕が見つけました。
今のところ(2024年現在)面白い性質はないです。
詳しくはこちら
$\displaystyle \mathscr Z_T^\#(s)=\sum_{0<|\rho|< T}\frac{1}{|\rho|^s}$
フィボナッチゼータ
$\displaystyle \zeta_F(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{F_n^s}$
k-ナッチゼータ
これも軽く調べてみたのですがあまり研究されていないようでした。(僕がさっき思いついたので当然か)
$\displaystyle \zeta_F(s,k)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{F_n^{[k]s}}$
何かわかったら記事にしてみます。
有限ゼータ
自然数$N$に対し
$\displaystyle \zeta_N(s)=\sum_{n|N}\frac{1}{n^s}$で定める
ハッセゼータ
$\displaystyle \zeta_A(s)=\prod_{\mathbf m\in\textup{Aの極大イデアル}}(1-N(\mathbf m)^{-s})^{-1}$
$N$は剰余体の元の個数
Artin-Mazur zeta function
$\displaystyle \zeta_f(z)=\exp\left(\sum_{n=1}^\infty|\textup{Fix}(f^n)|\frac{z^n}{n}\right)$
伊原ゼータ (英: Ihara zeta function )
$\displaystyle \zeta_G(u)=\prod_p(1-u^{L(p)})^{-1}$
これはグラフ$G=(V,E)$のすべてのprime walkを渡る積で$L(p)$はサイクル$p$の長さを表す
Lerch zeta function
$\displaystyle L(\lambda, s,\alpha)=\sum_{n=0}^\infty\frac{e^{2\pi i \lambda n}}{(n+\alpha)^s}$
新谷ゼータ
$\displaystyle \sum_{0\le n_1,…,n_m}\frac{1}{L_1^{s_1}\cdots L_k^{s_k}}$
松本ゼータ
$\displaystyle \phi(s)=\prod_pA_p(p^{-s})^{-1}$
ここで$p\in\mathbb P$,$A_p$は多項式
Airy zeta function
$\displaystyle \zeta_{\textup{Ai}}(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{|a_n|^s}$
ここでAiry関数は$\displaystyle \textup{Ai}(x)=\frac{1}{\pi}\int_0^\infty\cos\left(\frac{t^3}{3}+xt\right)dt$で定義されAiryゼータはAiry関数の零点を絶対値の小さい順に和をとっている
荒川・金子ゼータ
$\displaystyle \xi_k(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{+\infty}\frac{t^{s-1}}{e^t-1}\textup{Li}_k(1-e^{-t})dt$
ここで$\textup{Li}$は多重対数関数
井草ゼータ
$\displaystyle Z_\phi(s,\chi)=\int_{K^n}\phi(x_1,…,x_n)\chi(ac(f(x_1,…,x_n)))|f(x_1,…,x_n)|^s$
Lefschetz zeta function
$\displaystyle \zeta_f(t)=\exp\left(\sum_{n=1}^\infty L(f^n)\frac{t^n}{n}\right)$
Ruelle zeta function
$\displaystyle \zeta(z)=\exp\left(\sum_{m\ge1}\frac{z^m}{m}\sum_{x\in\textup{Fix}(f^m)}\textup{Tr}\left(\prod_{k=0}^{m-1}\phi(f^k(x))\right)\right)$
$p$進ゼータ
$\colorbox{cyan}{{更新予定}}$
絶対ゼータ
$\colorbox{cyan}{{更新予定}}$
そのほかにもゼータがあればコメントにて教えていただきたいです