前回 の続きになります.
もう一度メビウス変換の定義を書いておく.
$$Mf(n)=\sum_{d\vert n,0\lt d} f(d)$$
メビウス変換とは$n$の正の約数を代入して総和をとることであるため,次のように式を書き換えることができる.
$$Mf(n)=\sum_{d\vert n,0\lt d}f(d)=\sum_{\begin{align}0\leq k_1\leq &v_{p_1}(n) \\ 0\leq k_2\leq &v_{p_2}(n) \\ \vdots \\ 0\leq k_m\leq &v_{p_m}(n) \end{align}}f(p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_m^{k_m}) \ \ \ \left(m=\omega (n)\right)$$
$n=p_1^{v_{p_1}(n)}p_2^{v_{p_2}(n)}\cdots p_m^{v_{p_m}(n)}$の正の約数を$d=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_m^{k_m}$とおくと,$\dfrac{n}{d}=p_1^{v_{p_1}(n)-k_1}p_2^{v_{p_2}(n)-k_2}\cdots p_m^{v_{p_m}(n)-k_m}$が整数となる必要十分条件は$0\leq k_1\leq v_{p_1}(n) \ , \ 0\leq k_2\leq v_{p_2}(n) \ , \ \cdots \ , \ 0\leq k_m\leq v_{p_m}(n)$であるとわかる.
この等式から,$f$が乗法的関数のときにとても計算しやすいことがわかる.
計算例を出す.
関数$\mu$をメビウス関数とする.メビウス関数は乗法的関数である.
$n=1$のとき
$M\mu(1)=\mu(1)=1$
$n\gt 1$のとき
\begin{align}
M\mu(n)&=\sum_{d\vert n,0\lt d}\mu(d) \\
&=\sum_{0\leq k_1\leq v_{p_1}(n) \ ,\ 0\leq k_2\leq v_{p_2}(n) \ , \ \cdots \ , \ 0\leq k_m\leq v_{p_m}(n)}\mu(p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_m^{k_m}) \ \ \ \left(m=\omega (n)\right) \\
&=\sum_{0\leq k_1\leq v_{p_1}(n) \ ,\ 0\leq k_2\leq v_{p_2}(n) \ , \ \cdots \ , \ 0\leq k_m\leq v_{p_m}(n)}\mu(p_1^{k_1})\mu(p_2^{k_2})\cdots \mu(p_m^{k_m}) \\
&=\sum_{0\leq k_1\leq v_{p_1}(n)} \ \sum_{0\leq k_2\leq v_{p_2}(n) } \cdots \ \sum_{0\leq k_m\leq v_{p_m}(n)}\mu(p_1^{k_1})\mu(p_2^{k_2})\cdots \mu(p_m^{k_m}) \\
&=\prod_{p\vert n} \ \sum_{0\leq k \leq v_p(n)} \ \mu(p^k) \\
&=\prod_{p\vert n} \Big(\mu(p^0) +\mu(p^1) +\sum_{2\leq k\leq v_p(n)} \ \mu(p^k) \Big) \\
&=\prod_{p\vert n} \Big(1 -1 +\sum_{2\leq k\leq v_p(n)}0 \Big) \\
&=0
\end{align}
(i)(ii)より,
\begin{eqnarray}
M\mu(n)=
\left\{
\begin{array}{l}
1 \ \ \ (n=1) \\
0 \ \ \ (n\gt 1)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
すなわち
$M\mu(n)=\varepsilon(n)$
である.
公式1はとても重要だが,例1のような式変形を何度も行うのは面倒なので公式1をさらに変形して,次の等式をえる.
関数$f$は乗法的関数であるとする.
$n=1$のとき
$Mf(n)=f(1)$
$n\gt 1$のとき
$$
Mf(n)=\prod_{p\vert n}\sum_{k=0}^{v_p(n)}f(p^k)
$$
(i)は明らかなので(ii)を示す.公式1から,
\begin{align}
Mf(n)
&=\sum_{0\leq k_1\leq v_{p_1}(n) \ , \ 0\leq k_2\leq v_{p_2}(n) \ , \ \cdots \ , \ 0\leq k_m\leq v_{p_m}(n)} f(p_1^{k_1})f(p_2^{k_2})\cdots f(p_m^{k_m})\\
&=\sum_{0\leq k_1\leq v_{p_1}(n)} \ \sum_{0\leq k_2\leq v_{p_2}(n)} \ \cdots \ \sum_{0\leq k_m\leq v_{p_m}(n)} f(p_1^{k_1})f(p_2^{k_2})\cdots f(p_m^{k_m})\\
&=\prod_{i=1}^m \sum_{k_i=0}^{v_{p_i}(n)} f(p_i^{k_i})\\
&=\prod_{p\vert n}\sum_{k=0}^{v_p(n)}f(p^k)
\end{align}
となる.
(i)は明らかなので(ii)を示す.
$Mf$が乗法的関数であることを証明できればよい.$\mathrm{gcd}(m,n)=1$とすると
\begin{align}
Mf(mn)
&=\sum_{d\vert mn,0\lt d} f(d)\\
&=\sum_{\mathrm{gcd}(d_1,d_2)=1 \ , \ d_1\vert n \ , \ d_2\vert m \ , \ 0\lt d_1 \ , \ 0\lt d_2} f(d_1d_2)\\
&=\sum_{\mathrm{gcd}(d_1,d_2)=1 \ , \ d_1\vert n \ , \ d_2\vert m \ , \ 0\lt d_1 \ , \ 0\lt d_2} f(d_1)f(d_2)\\
&=\sum_{d_1\vert n,0\lt d_1}f(d_1)\sum_{d_2\vert m,0\lt d_2}f(d_2)\\
&=Mf(m)Mf(n)
\end{align}
となり,関数$Mf$は乗法的関数である.よって
$$Mf(n)=\prod_{p\vert n}Mf(p^{v_p(n)})=\prod_{p\vert n}\sum_{k=0}^{v_p(n)}f(p^k)$$
をえる.
計算例を出す.
関数$\omega$をプライムオメガ関数とする.プライムオメガ関数は加法的関数である.
やはりこちらも,計算するたびにこれを書くのは面倒なので公式1を変形して,次の定理をえる.
関数$f$は加法的関数であるとする.
$n=1$のとき
$Mf(n)=f(1)$
$n\gt 1$のとき
$$Mf(n)=\sigma_0(n)\sum_{p\vert n}\dfrac{1}{v_p(n)+1}\sum_{k=0}^{v_p(n)}f(p^k)$$
(i)は明らかなので(ii)を示す.
\begin{align}
Mf(n)
&=\sum_{0\leq k_1\leq v_{p_1}(n) \ , \ 0\leq k_2\leq v_{p_2}(n) \ , \ \cdots \ , \ 0\leq k_m\leq v_{p_m}(n)} f(p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_m^{k_m}) \ \ \ \ \ (m=\omega(n)) \\
&=\sum_{0\leq k_1\leq v_{p_1}(n) \ , \ 0\leq k_2\leq v_{p_2}(n) \ , \ \cdots \ , \ 0\leq k_m\leq v_{p_m}(n)} f(p_1^{k_1}) +\sum_{0\leq k_1\leq v_{p_1}(n) \ , \ 0\leq k_2\leq v_{p_2}(n) \ , \ \cdots \ , \ 0\leq k_m\leq v_{p_m}(n)} f(p_2^{k_2}) +\cdots +\sum_{0\leq k_1\leq v_{p_1}(n) \ , \ 0\leq k_2\leq v_{p_2}(n) \ , \ \cdots \ , \ 0\leq k_m\leq v_{p_m}(n)} f(p_m^{k_m}) \\
&=\sum_{0\leq k_1\leq v_{p_1}(n)} f(p_1^{k_1})\sum_{d\vert \frac{n}{p_1^{v_{p_1}(n)}},0\lt d} 1 +\sum_{0\leq k_2\leq v_{p_2}(n)} f(p_2^{k_2})\sum_{d\vert \frac{n}{p_2^{v_{p_2}(n)}},0\lt d} 1 +\cdots +\sum_{0\leq k_m\leq v_{p_m}(n)} f(p_m^{k_m})\sum_{d\vert \frac{n}{p_m^{v_{p_m}(n)}},0\lt d} 1 \\
&=\sum_{0\leq k_1\leq v_{p_1}(n)} f(p_1^{k_1})\sigma_0\left(\dfrac{n}{p_1^{v_{p_1}(n)}}\right) +\sum_{0\leq k_2\leq v_{p_2}(n)} f(p_2^{k_2})\sigma_0\left(\dfrac{n}{p_2^{v_{p_2}(n)}}\right) +\cdots +\sum_{0\leq k_m\leq v_{p_m}(n)} f(p_m^{v_{p_m}(n)})\sigma_0\left(\dfrac{n}{p_m^{v_{p_m}(n)}}\right) \\
&=\sigma_0(n)\sum_{p\vert n}\dfrac{1}{v_p(n) +1}\sum_{k=0}^{v_p(n)} f(p^k)
\end{align}
(i)は明らかなので(ii)を示す.$\mathrm{gcd}(m,n)=1$とすると
\begin{align}
Mf(mn)
&=\sum_{d\vert n,0\lt d} f(d) \\
&=\sum_{\mathrm{gcd}(d_1,d_2)=1 \ , \ d_1\vert n \ , \ d_2\vert m \ , \ 0\lt d_1 \ , \ 0\lt d_2} f(d_1d_2) \\
&=\sum_{\mathrm{gcd}(d_1,d_2)=1 \ , \ d_1\vert n \ , \ d_2\vert m \ , \ 0\lt d_1 \ , \ 0\lt d_2} f(d_1) +\sum_{\mathrm{gcd}(d_1,d_2)=1 \ , \ d_1\vert n \ , \ d_2\vert m \ , \ 0\lt d_1 \ , \ 0\lt d_2} f(d_2) \\
&=\sum_{d_1\vert n,0\lt d_1} f(d_1)\sum_{d_2\vert m,0\lt d_2} 1 +\sum_{d_2\vert m,0\lt d_2} f(d_2)\sum_{d_1\vert n,0\lt d_1} 1 \\
&=Mf(m)\sigma_0(n) +Mf(n)\sigma_0(m) \\
\dfrac{Mf(mn)}{\sigma_0(mn)}
&=\dfrac{Mf(m)}{\sigma_0(m)} +\dfrac{Mf(n)}{\sigma_0(n)}
\end{align}
であるから,
$$Mf(n)=\sigma_0(n)\sum_{p\vert n} \dfrac{Mf(p^{v_p(n)})}{\sigma_0(p^{v_p(n)})}=\sigma_0(n)\sum_{p\vert n} \dfrac{1}{v_p(n) +1}\sum_{k=0}^{v_p(n)} f(p^k)$$
をえる.
乗法的関数ではメビウス変換しても乗法性が保たれたが,加法的関数では加法性は保たれない.
$$M\mu(n)=\varepsilon(n)$$
$n=1$のとき$M\mu(n)=\mu(1)=1$.
$n\gt 1$のとき$v_p(n)\geq 1$に注意すると
\begin{align}
M\mu(n)
&=\prod_{p\vert n} \sum_{k=0}^{v_p(n)} \mu(p^k) \\
&=\prod_{p\vert n} (\mu(1) +\mu(p) +0) \\
&=\prod_{p\vert n} 0 \\
&=0
\end{align}
であるから
\begin{eqnarray}
M\mu(n)=
\left\{
\begin{array}{l}
1 \ \ \ (n=1) \\
0 \ \ \ (n\gt 1)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
より$M\mu(n)=\varepsilon(n)$.
(i)は明らかなので(ii)を示す.
\begin{align}
M\omega(n)
&=\sigma_0(n)\sum_{p\vert n} \dfrac{1}{v_p(n) +1} \sum_{k=0}^{v_p(n)} \omega(p^k) \\
&=\sigma_0(n)\sum_{p\vert n} \dfrac{1}{v_p(n) +1} \sum_{k=1}^{v_p(n)} 1 \\
&=\sigma_0(n)\sum_{p\vert n} \dfrac{v_p(n)}{v_p(n) +1} \\
&=\sigma_0(n)\sum_{p\vert n} \left(1 -\dfrac{1}{v_p(n) +1}\right) \\
&=\omega(n)\sigma_0(n) -\sigma_0(n)\sum_{p\vert n} \dfrac{1}{v_p(n) +1}
\end{align}
$$M\Omega(n)=\dfrac{\sigma_0(n)}{2} \Omega(n)$$
$n=1$のとき$M\Omega(n)=\Omega(1)=0$より成立する.
$n\gt 1$のとき
\begin{align}
M\Omega(n)
&=\sigma_0(n)\sum_{p\vert n} \dfrac{1}{v_p(n) +1} \sum_{k=0}^{v_p(n)} \Omega(p^k) \\
&=\sigma_0(n)\sum_{p\vert n} \dfrac{1}{v_p(n) +1} \sum_{k=1}^{v_p(n)} k \\
&=\sigma_0(n) \sum_{p\vert n} \dfrac{1}{v_p(n) +1} \dfrac{v_p(n)(v_p(n) +1)}{2} \\
&=\dfrac{\sigma_0(n)}{2} \sum_{p\vert n} v_p(n) \\
&=\dfrac{\sigma_0(n)}{2} \Omega(n)
\end{align}
より,$M\Omega(n)=\dfrac{\sigma_0(n)}{2}\Omega(n)$.
$$M\mathrm{Id}_x(n)=\sigma_x(n)$$
約数関数の定義から明らか.
$$M\sigma_0(n)=\dfrac{\sigma_0(n)\sigma_0(n \ \mathrm{rad}(n))}{2^{\omega(n)}}$$
\begin{align}
M\sigma_0(n)
&=\prod_{p\vert n}\sum_{k=0}^{v_p(n)} \sigma_0(p^k) \\
&=\prod_{p\vert n}\sum_{k=0}^{v_p(n)} (k +1) \\
&=\prod_{p\vert n}\sum_{k=1}^{v_p(n) +1} k \\
&=\prod_{p\vert n} \dfrac{(v_p(n) +1)(v_p(n) +2)}{2} \\
&=\dfrac{\displaystyle{\left(\prod_{p\vert n}(v_p(n) +1)\right)\left(\prod_{p\vert n}(v_p(n) +2)\right)}}{\displaystyle{\prod_{p\vert n} 2}} \\
&=\dfrac{\displaystyle{\left(\prod_{p\vert n}\sum_{k=0}^{v_p(n)} 1\right)\left(\prod_{p\vert n}\sum_{k=0}^{v_p(n) +1} 1\right)}}{2^{\omega(n)}} \\
&=\dfrac{M\mathrm{Id}_0(n)\displaystyle{\prod_{p\vert n \ \mathrm{rad}(n)}\sum_{k=0}^{v_p(n \ \mathrm{rad}(n))} 1}}{2^{\omega(n)}} \\
&=\dfrac{\sigma_0(n) \ M\mathrm{Id}_0(n \ \mathrm{rad}(n))}{2^{\omega(n)}} \\
&=\dfrac{\sigma_0(n)\sigma_0(n \ \mathrm{rad}(n))}{2^{\omega(n)}}
\end{align}
これは$n=1$のときでも成立する.
$$M\varphi(n)=n$$
$n=1$のときは明らかなので$n\gt 1$のときを示す.
\begin{align}
M\varphi(n)
&=\prod_{p\vert n} \sum_{k=0}^{v_p(n)} \varphi(p^k) \\
&=\prod_{p\vert n} \left(1 +\sum_{k=1}^{v_p(n)} \varphi(p^k)\right) \\
&=\prod_{p\vert n} \left(1 +\sum_{k=1}^{v_p(n)} p^k -p^{k -1}\right) \\
&=\prod_{p\vert n} \left(1 +p^{v_p(n)} -1\right) \\
&=\prod_{p\vert n} p^{v_p(n)} \\
&=n
\end{align}
より,$M\varphi(n)=n$.
$$MJ_x(n)=n^x$$
$n=1$のとき$MJ_x(n)=J_x(1)=1$より成立.
$n\gt 1$のとき
\begin{align}
MJ_x(n)
&=\prod_{p\vert n} \sum_{k=0}^{v_p(n)} J_x(p^k) \\
&=\prod_{p\vert n} \left(1 +\sum_{k=1}^{v_p(n)}(p^x -1)p^{kx -x}\right) \\
&=\prod_{p\vert n} (1 +p^{v_p(n)x} -1) \\
&=\prod_{p\vert n} p^{v_p(n)x} \\
&=n^x
\end{align}
以上により$MJ_x(n)=n^x$.
$$M\varepsilon(n)=1(n)$$
$$M\varepsilon(n)=\sum_{d\vert n,0\lt d} \varepsilon(d)=\varepsilon(1)=1=1(n)$$
$$M1(n)=\sigma_0(n)$$
\begin{align}
M1(n)
&=\sum_{d\vert n,0\lt d} 1(d) \\
&=\sum_{d\vert n,0\lt d} 1 \\
&=\sigma_0(n)
\end{align}
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