$$\newcommand{arcosh}[0]{\operatorname{arcosh}}
\newcommand{arcoth}[0]{\operatorname{arcoth}}
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\newcommand{HYG}[4]{{}_2 F_1 \Biggl[ \begin{matrix} {#1} ,\, {#2} \\ {#3} \end{matrix} ;\, {#4} \Biggr]}
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\newcommand{MZSV}[0]{\sum_{0 < n_1 \leq n_2 \leq \cdots \leq n_r} \frac{1}{n_1^{k_1} n_2^{k_2} \cdots n_r^{k_r}}}
\newcommand{MZV}[0]{\sum_{0 < n_1 < n_2 < \cdots < n_r} \frac{1}{n_1^{k_1} n_2^{k_2} \cdots n_r^{k_r}}}
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\newcommand{wt}[0]{\operatorname{wt}}
$$
この投稿では，僕がお気に入りとしている級数を紹介したいと思います．
円周率公式
$\!\textbf{Series 1.1 }\text{(pi formula)}\textbf{. }\text{Prove that}$
$ \D \textcolor{red}{\pi = 3 + \sum_{n=0}^\infty \frac1{(2n+1)^2 \, (2n+3)^2 \, \beta_n^2}} $ $\!\text{where ${\beta_n}$ is defined as follows:}$
$ \D \beta_n \equiv \frac{\binom{2n}n}{2^{2n}}. $ 超幾何級数に直すと，
$ \D \sum_{n=0}^\infty \frac1{(2n+1)^2 \, (2n+3)^n \, \beta_n^2} = \frac19 \, {}_3F_2 \Biggl[\begin{matrix} 1,\,1,\,1 \\ \frac52,\,\frac52 \end{matrix} ;\, 1 \Biggr] $ です．この級数表示は，僕の一番のお気に入りの円周率公式です．その理由としては，級数部分が円周率の小数点以下の値を表していること，級数が二項係数を含んでいること，級数の中身の分母がすべて自乗で統一されていて，見た目が美しいことが挙げられます．なお，級数の収束はあまり速くないので，円周率公式として書いてはいるものの，その計算にはあまり向いていません．
この公式を証明します．それにあたり，ここでは Wallis の積分公式や$\arcsin^2 x\vphantom0$の Taylor 級数を使います．（この投稿では，$\arcsin^2 x\vphantom0$の Taylor 級数の証明は割愛します．知りたいよ，という方は KBHM さんのシャッフル積と反復ベータ積分や Wataru さんの arcsin とその 2 乗の Maclaurin 展開の証明を参考にしてください．）
$ \begin{align}
& \text{Wallis' integral} && \int_0^\frac\pi2 \sin^{2n+1}x \, \dx = \frac1{(2n+1)\,\beta_n} \\[3pt]
& \text{Taylor series of ${\arcsin^2 x}$} && \arcsin^2 x = \frac12 \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2 \, \beta_n} \, x^{2n} \end{align} $ まずはじめに，下の Taylor 級数を扱いやすい形に変形します．右辺の級数の初項を$n=0$としたとき，
$ \begin{align}
\frac12 \sum_{n=0}^\infty \frac1{(n+1)^2 \, \beta_{n+1}} \, x^{2n+2}
&= \frac12 \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{2n+2}}{(n+1)^2 \, \binom{2n+2}{n+1}} \, x^{2n+2} & \text{\textit{cf}. ${\beta_{n+1} \equiv \frac{\binom{2n+2}{n+1}}{2^{2n+2}}}$} \\[3pt]
&= \frac12 \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{2n+2} \, (n+1)!^2}{(n+1)^2 \, (2n+2)!} \, x^{2n+2} \\[3pt]
&= 2 \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{2n} \, n!^2}{(2n+1)(2n+2)(2n)!} \, x^{2n+2} \\[3pt]
&= 2 \sum_{n=0}^\infty \frac1{(2n+1)(2n+2)\,\beta_n} \, x^{2n+2}
\end{align} $ と書けることに注意してください．いま，級数部分の分母に$2n+3$を増やしたいので，この両辺を$[0,\,x]$で積分してみます．ただし，左辺は$\arcsin^2 x\vphantom0$です．
$ \begin{align}
& \int_0^x \arcsin^2 t \, \dt = 2\sqrt{1-x^2} \arcsin x - 2x + x\arcsin^2 x \\[3pt]
& \int_0^x \text{RHS} \, \dt = 2 \sum_{n=0}^\infty \frac1{(2n+1)(2n+2)(2n+3)\,\beta_n} \, x^{2n+3} \\[3pt]
&\text{i.e.} \quad 2\sqrt{1-x^2} \arcsin x - 2x + x\arcsin^2 x = 2 \sum_{n=0}^\infty \frac1{(2n+1)(2n+2)(2n+3)\,\beta_n} \, x^{2n+3}
\end{align} $ ここで$x\mapsto\sin \varphi$を代入し，もう一度だけ両辺を$[0,\,\pi/2]$で積分します．（なお$x\in[-1,\,+1]$ですから，$x=\sin\varphi$としても，すべての$x$に対応する$\varphi\in[-\pi/2,\,+\pi/2]$が存在するので，議論の整合性は保たれます．）
$ \begin{align}
&\int_0^\frac\pi2 \text{LHS} \, {\rm d}\varphi = \int_0^\frac\pi2 (2\varphi\,|{\cos\varphi}| - 2\sin\varphi + \varphi^2 \sin\varphi) \, {\rm d}\varphi =2\,(\pi-3)
\end{align} $ また，右辺の積分では Wallis の積分公式を使います．Wallis の積分公式から，
$ \D \int_0^\frac\pi2 \sin^{2n+3} x \, \dx = \frac{2n+2}{2n+3} \frac1{(2n+1)\,\beta_n} $ なので，
$ \begin{align}
\int_0^\frac\pi2 \text{RHS} \, {\rm d}\varphi
&= 2 \int_0^\frac\pi2 \sum_{n=0}^\infty \frac1{(2n+1)(2n+2)(2n+3)\,\beta_n} \, \sin^{2n+3} \varphi \, {\rm d}\varphi \\[3pt]
&= 2\sum_{n=0}^\infty \frac1{(2n+1)(2n+2)(2n+3)\,\beta_n} \int_0^\frac\pi2 \sin^{2n+3} \varphi \, {\rm d}\varphi \\[3pt]
&= 2\sum_{n=0}^\infty \frac1{(2n+1)^2 \, (2n+3)^2 \, \beta_n^2}
\end{align} $ したがって，これらを等号で結ぶことにより，
$ \D \textcolor{red}{\pi = 3 + \sum_{n=0}^\infty \frac1{(2n+1)^2 \, (2n+3)^2 \, \beta_n^2}} $ が得られます．
Wallis の積分公式を適用したところが鮮やかでしたね．この発想が応用できる範囲が広いかどうかはまだ分かりませんが，とりあえず$\beta_n$を含む級数を解けたことが素直に嬉しいです．
おまけ
級数 bot の面白い級数を，ひとつ紹介します．
$\!\textbf{Series 1.2. }\text{Prove that}$
$ \D \textcolor{red}{\sqrt{\frac{2\pi}{e}} =\exp\biggl(\frac{\zeta(2)}{2} -\frac{\zeta(2)}{3} +\frac{\zeta(4)}{4} -\frac{\zeta(4)}{5} +\cdots\biggr)}. $ 余接関数の Laurent 級数の 2 階積分に対して$x=\pi$とすると証明できる級数ですが，なんとも不思議な等式です．ゼータ関数の交代和には様々な種類のものがありますが，こうして「え？」と思えるような結果が得られるのは非常に面白いと思います．
最後までお読みいただき，ありがとうございました．
