コラッツ演算を次のように定義する。
$$ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a_m^o:= \frac{a_{m}^e}{2^{n_m}}\cdots\cdots (a_{m}^eが定義されているとき)n_m : =max \lbrace n_m:\frac{a_{m}^o} {2^{n_m}} \in N \rbrace \\
{a_{m+1}^e:= 3a_{m}^o+1}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} $$
つまり、偶数演算が要求された場合、偶数演算は、一度要求された奇数になるまで$n_m $回実行されます。このように定義すると、奇数 と偶数 に分けることができる。 ただし、偶数演算の初回は $n_1$、以下$n_2,n_3, \cdots$ などとする。
この定義に基づいて、奇数演算の回数 $m$ と偶数演算の回数$n_m$を変数とし一般式を定義する。与えられた最初の奇数自然数を$a_1^o$とし、偶数自然数をを$a_1^e$とする。Collatz m 回で指定された奇数演算を繰り返した結果は、$a_m^o$ と$a_m^e$になります。
初めに与えられた自然数が偶数の場合
$a_1^o= \frac{a_1^e}{2^{n_1}} $
ここで ${n_1}$ は変数で ${n_1} \geq 1$ で、奇数になるまで 2 で偶数演算されます。次に奇数演算が行われ、
$a_2^e= 3a_1^o+1$
結果として、
$a_2^e= \frac{3}{2^{n_1}}a_1^e+1$
その後、コラッツ演算が繰り返えされ、一般項は、
$a_{m}^e=(3^{m-1}a_1^e+3^{m-2}k_1+3^{m-3}k_2+ \cdots+3^1k_{m-2}+k_{m-1})/k_{m-1}$ （１）
但し、
$k_m=2^{ \sum_{i=0}^{m}n_i}$
とする。
２ Collatz 操作によって生成される循環シーケンスの有無
$a_{m}^e$ と $a_{(m-1)}^e$ の関係は、
$a_{m}^e= \frac{3}{2^{n_{m-1}}}a_{(m-1)}^e+1 $ (2)
(1)式と(2)式を足し算すると、
$a_{m}^e= \frac{3}{2 \times2^{n_{(m-1)}}}a_{(m-1)}^e + \frac{3^{m-1}}{2 \times k_{m-1}}a_1^e+ \frac{3^{m-2}k_1}{2 \times k_{m-1}}+\frac{{}3^{m-3}k_2}{2 \times k_{m-1}}+ \cdots+ \frac{3^1k_{m-2}}{2 \times k_{m-1}}+1 $
$a_{m}^e=a_1^e$とすると、
$a_{m}^e= \frac{3}{2 \times2^{n_{(m-1)}}}a_{(m-1)}^e + \frac{3^{m-1}}{2 \times k_{m-1}}a_{m}^e+ \frac{3^{m-2}k_1}{2 \times k_{m-1}}+\frac{{}3^{m-3}k_2}{2 \times k_{m-1}}+ \cdots + \frac{3^1k_{m-2}}{2 \times k_{m-1}}+1 $
$(1-\frac{3^{m-1}}{2 \times k_{m-1}})a_{m}^e= \frac{3}{2 \times2^{n_{(m-1)}}}a_{(m-1)}^e + + \frac{3^{m-2}k_1}{2 \times k_{m-1}}+\frac{{}3^{m-3}k_2}{2 \times k_{m-1}}+ \cdots + \frac{3^1k_{m-2}}{2 \times k_{m-1}}+1 $
$(\frac{2 \times k_{m-1}-3^{m-1}}{2 \times k_{m-1}})a_{m}^e= \frac{3}{2 \times2^{n_{(m-1)}}}a_{(m-1)}^e + + \frac{3^{m-2}k_1}{2 \times k_{m-1}}+\frac{{}3^{m-3}k_2}{2 \times k_{m-1}}+ \cdots + \frac{3^1k_{m-2}}{2 \times k_{m-1}}+1 $
$a_{m}^e= \frac{3}{2 \times2^n_{(m-1)}}( \frac{2k_{(m-1)}}{2k_{m-1}-3^{m-1}})a_{(m-1)}^e + \frac{3^{m-2}k_1}{2 \times k_{m-1}} ( \frac{2k_{(m-1)}}{2k_{m-1}-3^{m-1}} )+ \cdots+( \frac{2k_{(m-1)}}{2k_{m-1}-3^{m-1}} )$
$2k_{m-1}-3^{m-1} \lt 0$と仮定すると、左辺が正数で右辺が負数であるので仮定は背理する。$k_{m-1} = 2^{ \sum_{i=0}^{m-1}n_i}$であるから、$2^{ \sum_{i=0}^{m-1}n_i} \geq 2^{m-1}$であるので、
$2\times2^{m-1} \lt 3^{m-1}$
であるので、両辺の対数を取ると、
$m \log_{10}2\lt (m-1)\log_{10}3 $
$ \frac{\log_{10}2}{\log_{10}3}= 0.6308 \lt \frac{(m-1)}{m} $
$m \geq3$で 仮定は肯定される。$m=1$ はありえないので、$m=2$ の場合を考えると、$a_1^e=2,4$ の場合、奇数のコラッツ演算が行われる前にコラッツ演算ガ終了するが、１を奇数演算すると4になるので循環する。これらは除外されていので、$a_1^e \geq6$ 場合を考え(1)式の $m=2$ おいて、$a_{3}^e=a_1^e$ と仮定すると、
$a_1^e=( \frac{2^{n_1}}{2^{n_1}-3}) \geq6$
$2^{n_1} \geq 6(2^{n_1}-3) $
$18 \geq 5 \times2^{n_1} $
$ \frac{18}{5}=3.6 \geq 2^{n_1} $
$n_1=1$ であるが $2^{n_1}-3 \gt0$ でければならないから、$a_{3}^e=a_1^e$ の仮定は背理し、$a_{3}^e \neq a_1^e$である。また同様に $a_{m}^e \neq a_{(m-1)}^e $ でもある。よって、 $a_{m}^e = a_1^e$の仮定は背理し、$a_{m}^e \neq a_1^e$ であるから循環シーケンスは無い。
３ 発散の有無
(1) 式でm→∞ とすると、
$ \lim_{m \to \infty}a_{m}^e= \lim_{m \to \infty} \frac{3^{m-1}a_1^e}{k_{m-1}}+\lim_{m \to \infty} \frac{3^{m-2}k_1}{k_{m-1}}+\lim_{m \to \infty} \frac{3^{m-3}k_2}{k_{m-1}}
+ \cdots+\lim_{m \to \infty} \frac{3^1k_{m-2}}{k_{m-1})}+1
$
右辺第一項は、
$ \lim_{m \to \infty} \frac{3^{m-1}a_1^e}{k_{m-1}}= \lim_{m \to \infty}\frac{3^{m-1}}{k_{m-1}}a_1^e$
$\lim_{m \to \infty}\frac{3^{m-1}}{k_{m-1}}=\lim_{m \to \infty}( \frac{3}{ \sqrt[m-1]{k_{m-1}}} \times\frac{3}{ \sqrt[m-1]{k_{m-1}}} \times \cdots \times\frac{3}{ \sqrt[m-1]{k_{m-1}}})$
$\sqrt[m-1]{k_{m-1}} = \sqrt[m-1]{2^{ \sum_{i=0}^{m-1}n_i}}\geq 2^{m-1}$で有るから、
$\lim_{m \to \infty}\frac{3}{ \sqrt[m-1]{k_{m-1}}} \leq \lim_{m \to \infty}\frac{3}{ \sqrt[m-1]{2^{m-1}}}=\lim_{m \to \infty}(\frac{3}{2})=\frac{3}{2}$
よって、
$\lim_{m \to \infty} \frac{3^{m-1}}{k_{m-1}}a_1^e \leq (\frac{3}{2})^\infty a_1^e$
である。左右が等しい場合は、$2^{ \sum_{i=0}^{m-1}n_i}=2^{m-1}$であるからコラッツ偶数演算での割り算全てが1回でなければならない。よって、 $a_{m}^e= \frac{3}{2^{n_{m-1}}}a_{(m-1)}^e +1$ において$n_{m-1}=1 $でなければならない。$a_{m}^e= \frac{3}{2}a_{(m-1)}^e +1 $ でなければならないが、$a_{(m-1)}^e$を全ての偶数として、$a_{(m-1)}^e=2j $ とすると
$a_{m}^e= \frac{3}{2}j+1 $
となり、$j$ が奇数の場合は左右とも偶数になるが、$j$ が偶数の場合は左辺が偶数で右辺は奇数になるので、$a_{(m-1)k}^e$の全てが偶数とする仮定は背理し、$\lim_{m \to \infty} \frac{3^{m-1}}{k_{m-1}}a_1^e \leq (\frac{3}{2})^\infty a_1^e$ は等しくないので、
$\lim_{m \to \infty} \frac{3^{m-1}}{k_{m-1}}a_1^e \lt (\frac{3}{2})^\infty a_1^e$
である。右辺第二項以下も全て同様になり、
$ \lim_{m \to \infty}a_{m}^e \lt (\frac{3}{2})^\infty a_1^e+(\frac{3}{2})^\infty + \cdots+(\frac{3}{2}) +1
$
であるので、
$\lim_{m \to \infty}a_{mk}^e \lt \infty $
で、$a_{m}^e$ は有限である。
４ Cllatz 演算の終了
２節(循環なし)と３節(発散なし)の結果からの鳩ノ巣原理によりCollatz演算は停止しなければならない、よって1に収束する。