非整数階時間微分を含む拡散方程式の弱解に対する性質
Some property for weak solutions of the time-fractional diffusion equation.
ここでは, 前回に続いて次の初期値境界値問題
\begin{equation}\tag{1}\label{1}
\begin{cases}
\caputo u = Lu + f & {\rm in}\ \ Q_T,\\
u = 0 & {\rm on}\ \ \Sigma_T, \\
u = u_0 & {\rm on}\ \ \Omega\times\{t=0\}
\end{cases}
\end{equation}
の弱解の性質について考える. 記号の定義や弱解の存在性は前回
https://mathlog.info/articles/b6jo41g8oHUArXa8YUZD
で述べてある. 今回は, この弱解が有する性質の一部について述べる. まず問題\eqref{1}の弱解の定義を再度与える.
$u$が次の(i), (ii), (iii)をみたすとき, 問題\eqref{1}の弱解という.
(i) $u \in W(u_0,H_0^1(\om),L^2(\om))$,
(ii) 任意の$\varphi \in H_0^1(\om)$に対して,
\begin{multline}\tag{2}\label{2}
\int_{\om}\caputo u(x,t)\varphi(x)\ dx + \sum_{i,j=1}^N\int_{\om}a_{i,j}(x,t)\partial_ju(x,t)\partial_i\varphi(x)\ dx \\
= \sum_{j=1}^N\int_{\om}b_j(x,t)\partial_ju(x,t)\varphi(x)\ dx + \int_{\om}c(x,t)u(x,t)\varphi(x)\ dx + \int_{\om}f(x,t)\varphi(x)\ dx,\ \ {\rm a.e.}\ \ t \in (0,T)
\end{multline}
をみたす.
$L^2$-contraction principle
まず次の定理を証明する.
$u_{0,1}, u_{0,2} \in L^2(\om)$, $f_1, f_2 \in L^\infty(0,T; H^{-1}(\om))$とし, $b,c \in L^\infty(Q_T)$を仮定する. $u_1, u_2$を問題\eqref{1}の弱解とする. このとき,
\begin{equation}\tag{3}\label{3}
\|u_1(t) - u_2(t)\|_{L^2(\om)} \leqslant C(\|u_{0,1}-u_{0,2}\|_{L^2(\om)} + \|f_1-f_2\|_{L^\infty(0,T; H^{-1}(\om))})
\end{equation}
が成立する. ここで, $C$は$\alpha, T, \lambda, \|b\|_{L^\infty(Q_T)}, \|c\|_{L^\infty(Q_T)}$に依存する定数である.
$u = u_1-u_2$, $u_0 = u_{0,1}-u_{0,2}$, $f = f_1-f_2$とおき, 前回と同様に計算すればよい. 式\eqref{2}において$\varphi = u$とすると,
\begin{multline}
\int_{\om}\caputo u(x,t)u(x,t)\ dx + \sum_{i,j=1}^N\int_{\om}a_{i,j}(x,t)\partial_ju(x,t)\partial_iu(x,t)\ dx \\
= \sum_{j=1}^N\int_{\om}b_j(x,t)\partial_ju(x,t)u(x,t)\ dx + \int_{\om}c(x,t)|u(x,t)|^2\ dx + \int_{\om}f(x,t)u(x,t)\ dx
\end{multline}
となる. 左辺は,
\begin{equation}
\int_{\om}\caputo u(x,t)u(x,t)\ dx \geqslant \frac{1}{2}\caputo\|u(t)\|_{L^2(\om)}^2,
\end{equation}
\begin{equation}
\sum_{i,j=1}^N\int_{\om}a_{i,j}(x,t)\partial_ju(x,t)\partial_iu(x,t)\ dx \geqslant \lambda\|\nabla u(t)\|_{L^2(\om)}^2
\end{equation}
と評価できる. 右辺はHolderの不等式とCauchyの不等式を用いると
\begin{multline}
\sum_{j=1}^N\int_{\om}b_j(x,t)\partial_ju(x,t)u(x,t)\ dx + \int_{\om}c(x,t)|u(x,t)|^2\ dx + \int_{\om}f(x,t)u(x,t)\ dx \\
\leqslant h(t)\|u(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{\lambda}{2}\|\nabla u(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{1}{\lambda}\|f(t)\|_{H^{-1}(\om)}^2
\end{multline}
となる. ここで, $h(t)$は$\lambda$, $\|b(t)\|_{L^\infty(\om)}$, $\|c(t)\|_{L^\infty(\om)}$に依存する関数である. 以上をまとめると,
\begin{equation}
\caputo\|u(t)\|_{L^2(\om)}^2 \leqslant h(t)\|u(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{1}{\lambda}\|f(t)\|_{H^{-1}(\om)}^2
\end{equation}
を得る. よって, 両辺を$0$から$t$まで$\alpha$階積分すると,
\begin{equation}
\|u(t)\|_{L^2(\om)}^2 \leqslant \|u_0\|_{L^2(\om)}^2 + q(t)I^{\alpha}\|u(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{1}{\lambda}I^{\alpha}\|f(t)\|_{H^{-1}(\om)}^2
\end{equation}
となる. ここで, $q(t)$は$\lambda$, $\|b\|_{L^\infty(Q_t)}$, $\|c\|_{L^\infty(Q_t)}$に依存する$t$に関する非減少関数である. よって, Gronwallの不等式を用いれば
\begin{equation}
\|u(t)\|_{L^2(\om)}^2 \leqslant C(\|u_0\|^2 + \|f\|_{L^\infty(0,T; H^{-1}(\om))})
\end{equation}
が得られる. 以上で定理の証明が完了した.$\square$
Maximum principle and comparison principle
次に, 弱解に対する最大値原理を証明する. ただ, 本章では$f=0$とする.
$u_0 \in L^2(\om) \cap L^\infty(\om)$, $b,c \in L^\infty(Q_T)$とする. このとき, 問題\eqref{1}の弱解に対して
\begin{equation}\label{4}\tag{4}
u(x,t) \leqslant \max\{0,\esssup_{x\in\om}{u_0}\}\ \ {\rm a.e.\ in}\ \ Q_T
\end{equation}
が成立する.
$M=\|u_0\|_{L^\infty(\om)}$とおき, 式\eqref{2}において$\varphi=[u(x,t)-M]_+$とおく. ただし,
\begin{equation}
[s]_+ =
\begin{cases}
s & {\rm if}\ \ s > 0,\\
0 & {\rm if}\ \ s \leqslant 0
\end{cases}
\end{equation}
である. このとき, 左辺は
\begin{align}
\int_{\om}\caputo u(x,t)[u(x,t)-M]_+\ dx
& = \int_{\om}\caputo[u(x,t)-M]_+[u(x,t)-M]_+\ dx \\
& \geqslant \frac{1}{2}\caputo\|[u(t)-M]_+\|_{L^2(\om)}^2,
\end{align}
\begin{align}
\sum_{i,j=1}^N\int_{\om}a_{i,j}(x,t)\partial_ju(x,t)\partial_i[u(x,t)-M]_+\ dx
& = \sum_{i,j=1}^N\int_{\om}a_{i,j}(x,t)\partial_j[u(x,t)-M]_+\partial_i[u(x,t)-M]_+\ dx \\
& \geqslant \lambda\|\nabla[u(t)-M]_+\|_{L^2(\om)}^2
\end{align}
となる. 右辺は, それぞれ
\begin{align}
\sum_{j=1}^N\int_{\om}b_j(x,t)\partial_ju(x,t)[u(x,t)-M]_+\ dx
& = \sum_{j=1}^N\int_{\om}b_j(x,t)\partial_j[u(x,t)-M]_+[u(x,t)-M]_+\ dx \\
& \leqslant \frac{\lambda}{4}\|\nabla[u(t)-M]_+\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{1}{\lambda}\|b(t)\|_{L^\infty(\om)}\|_{L^2(\om)}\|[u(t)-M]_+\|_{L^2(\om)}^2,
\end{align}
\begin{align}
\int_{\om}c(x,t)u(x,t)[u(x,t)-M]_+\ dx
& = \int_{\om}c(x,t)(u(x,t)-M)[u(x,t)-M]_+\ dx + \int_{\om}c(x,t)M[u(x,t)-M]_+\ dx \\
& \leqslant \|c(t)\|_{L^\infty(\om)}\|[u(x,t)-M]_+\|_{L^2(\om)}^2 + M\|c(t)\|_{L^2(\om)}\|[u(t)-M]_+\|_{L^2(\om)} \\
& \leqslant \|c(t)\|_{L^\infty(\om)}\|[u(x,t)-M]_+\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{1}{2}M^2\|c(t)\|_{L^2(\om)}^2 + \frac{1}{2}\|[u(t)-M]_+\|_{L^2(\om)}^2
\end{align}
と評価できる. したがって, 以上をまとめると
\begin{equation}
\caputo\|[u(t)-M]_+\|_{L^2(\om)}^2 \leqslant h(t)\|[u(t)-M]_+\|_{L^2(\om)}^2
\end{equation}
を得る. よって, 両辺を$0$から$t$まで$\alpha$階積分すると, $\|[u_0-M]_+\|_{L^2(\om)} = 0$より
\begin{equation}
\|[u(t)-M]_+\|_{L^2(\om)}^2 \leqslant I^{\alpha}\|[u(t)-M]_+\|_{L^2(\om)}^2
\end{equation}
となる. これより$\|[u(t)-M]_+\|_{L^2(\om)} = 0$が得られる. 故に$[u(x,t)-M]_+ = 0$ a.e. in $Q_T$である. これは
\begin{equation}
u(x,t) \leqslant M\ \ {\rm a.e.}\ \ Q_T
\end{equation}
を意味する.$\square$
同様の議論をすれば, 次の系が得られる.
$u_0 \in L^2(\om) \cap L^\infty(\om)$, $b,c \in L^\infty(Q_T)$とする. このとき, 問題\eqref{1}の弱解に対して
\begin{equation}\label{5}\tag{5}
u(x,t) \geqslant \min \{0,\essinf_{x\in\om}{u_0}\}\ \ {\rm a.e.\ in}\ \ Q_T
\end{equation}
が成立する.
さらに, 定理1を用いれば次の比較原理が成立する.
$u_0, v_0 \in L^2(\om) \cap L^\infty(\om)$, $b,c \in L^\infty(Q_T)$とし, $u_0 \leqslant v_0$と仮定する. このとき, 問題\eqref{1}の弱解$u,v$に対して
\begin{equation}\tag{6}\label{6}
u \leqslant v\ \ {\rm a.e.\ in}\ \ Q_T
\end{equation}
が成立する.
$u > v$ a.e. in $Q_T$と仮定する. $w=u-v$とし, $w$に関する弱形式
\begin{multline}\tag{7}\label{7}
\int_{\om}\caputo w(x,t)\varphi(x)\ dx + \sum_{i,j=1}^N\int_{\om}a_{i,j}(x,t)\partial_jw(x,t)\partial_i\varphi(x)\ dx \\
= \sum_{j=1}^N\int_{\om}b_j(x,t)\partial_jw(x,t)\varphi(x)\ dx + \int_{\om}c(x,t)w(x,t)\varphi(x)\ dx,\ \ {\rm a.e.}\ \ t \in (0,T)
\end{multline}
において$\varphi = [u-v]_+$とし, 定理1と同様に計算すると,
\begin{equation}
\|[u(t)-v(t)]_+\|_{L^2(\om)} \leqslant C\|[u_0-v_0]_+\|_{L^2(\om)}
\end{equation}
が成立する. よって, $[u_0-v_0]_+ = 0$であるので, $[u-v]_+ = 0$を得る. これは矛盾. 以上で証明が得られた. $\square$
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