$$\newcommand{arcosh}[0]{\operatorname{arcosh}}
\newcommand{arcoth}[0]{\operatorname{arcoth}}
\newcommand{arcsch}[0]{\operatorname{arcsch}}
\newcommand{arsech}[0]{\operatorname{arsech}}
\newcommand{arsinh}[0]{\operatorname{arsinh}}
\newcommand{artanh}[0]{\operatorname{artanh}}
\newcommand{bk}[0]{\boldsymbol{k}}
\newcommand{bk}[0]{\boldsymbol{k}}
\newcommand{Ci}[0]{\operatorname{Ci}}
\newcommand{D}[0]{\displaystyle}
\newcommand{dep}[0]{\operatorname{dep}}
\newcommand{erf}[0]{\operatorname{erf}}
\newcommand{Li}[0]{\operatorname{Li}}
\newcommand{li}[0]{\operatorname{li}}
\newcommand{Log}[0]{\operatorname{Log}}
\newcommand{MZV}[0]{\sum_{0 < n_1 < n_2 < \cdots < n_r} \frac{1}{n_1^{k_1} n_2^{k_2} \cdots n_r^{k_r}}}
\newcommand{Si}[0]{\operatorname{Si}}
\newcommand{wt}[0]{\operatorname{wt}}
$$
タイトルに書きました通り，積分と級数の問題を掲載します．わりかし簡単めなものから，ちょっと難しい（？）ものまで用意してみました．中には自信作もありますので，よければ解いてみてください．
なお，一応 WolframAlpha で真偽判定をしてみましたが，予想通りいずれもタイムアウトとなりました．とのことなので，あまり考えたくないことですが，もしかすると数式が間違っているかもしれません．その場合は，コメント等で指摘していただけると幸いです．
$\!\textbf{Question 1. }\text{Prove that}$
$ \D \int_0^1 \! \frac{\sin \pi x}{x^x \, (1-x)^{1-x}} \, {\rm d}x = \frac\pi{e}. $ $\!\textbf{Question 2. }\text{Prove that}$
$ \D \int_0^1 x^x \, (1-x)^{1-x} \sin \pi x \, {\rm d}x = \frac{\pi e}{24}. $ $\!\textbf{Question 3. }\text{Let $H_n$ denote the $n^{\text{th}}$ harmonic number. Prove that}$
$ \D \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n \, H_n}{\binom{2n}n} = \pi - \frac{\pi}2\,\log 2 + G, $ $\!\text{where $G$ is the Catalan's constant which is defined as follows:}$
$ \D G \equiv \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^2}. $ $\!\textbf{Question 4. }\text{Prove that}$
$ \D \sum_{n=1}^\infty \frac1n \int_{n\pi}^\infty \! \frac{\sin x}x \, {\rm d}x = \frac\pi2 \, (1 - \log\pi). $ $\!\textbf{Question 5. }\text{Prove that}$
$ \D \int_0^\infty \prod_{k=0}^n \frac1{x^2 + (2k+1)^2} \, {\rm d}x = \frac\pi{2^{2n+1} \, (2n+1) \, (n!)^2}. $ $\!\textbf{Question 6. }\text{Prove that}$
$ \D \int_{-\infty}^{+\infty} |\!\sin^{n-1} x| \, \frac{\sin x}x \, {\rm d}x = 2^{n-1} \, \frac{\varGamma\bigl(\frac{n}2\bigr)^2}{\varGamma(n)}. $ $\!\textbf{Question 7. }\text{Let $\eta$ denote the Dirichlet eta function. Prove that}$
$ \D \int_0^1 \artanh^n x \, {\rm d}x = \frac{n!}{2^{n-1}} \, \eta(n). $ $\!\textbf{Question 8. }\text{Prove that}$
$ \D \int_0^1 \! \frac{\Li_2(x)}{x \sqrt{1-x^2}} \, {\rm d}x = \frac{3\pi^2}8 \, \log 2 - \frac7{16} \, \zeta(3). $ $\!\textbf{Question 9. }\text{Let $F_n$ denote the $n^{\text{th}}$ Fibonacci number. Prove that}$
$ \D \sum_{n=0}^\infty \arctan \frac1{F_{2n+1}} = \frac\pi2. $ $\!\textbf{Question 10. }\text{Prove that}$
$ \D \sum_{n=2}^\infty \artanh \frac1{F_{2n}} = \frac12 \, \log 3. $ 脚注
記事更新
- 2023 年 9 月 3 日：投稿早々に$\textbf{Question 9}$の総和の初項が$n=1$からとなっている誤りを発見しました．正しくは$n=0$からです．
