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積分と級数の問題

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$$\newcommand{arcosh}[0]{\operatorname{arcosh}} \newcommand{arcoth}[0]{\operatorname{arcoth}} \newcommand{arcsch}[0]{\operatorname{arcsch}} \newcommand{arsech}[0]{\operatorname{arsech}} \newcommand{arsinh}[0]{\operatorname{arsinh}} \newcommand{artanh}[0]{\operatorname{artanh}} \newcommand{bk}[0]{\boldsymbol{k}} \newcommand{bk}[0]{\boldsymbol{k}} \newcommand{Ci}[0]{\operatorname{Ci}} \newcommand{D}[0]{\displaystyle} \newcommand{dep}[0]{\operatorname{dep}} \newcommand{erf}[0]{\operatorname{erf}} \newcommand{Li}[0]{\operatorname{Li}} \newcommand{li}[0]{\operatorname{li}} \newcommand{Log}[0]{\operatorname{Log}} \newcommand{MZV}[0]{\sum_{0 < n_1 < n_2 < \cdots < n_r} \frac{1}{n_1^{k_1} n_2^{k_2} \cdots n_r^{k_r}}} \newcommand{Si}[0]{\operatorname{Si}} \newcommand{wt}[0]{\operatorname{wt}} $$

タイトルに書きました通り,積分と級数の問題を掲載します.わりかし簡単めなものから,ちょっと難しい(?)ものまで用意してみました.中には自信作もありますので,よければ解いてみてください.

なお,一応 WolframAlpha で真偽判定をしてみましたが,予想通りいずれもタイムアウトとなりました.とのことなので,あまり考えたくないことですが,もしかすると数式が間違っているかもしれません.その場合は,コメント等で指摘していただけると幸いです.

$\!\textbf{Question 1. }\text{Prove that}$

$ \D \int_0^1 \! \frac{\sin \pi x}{x^x \, (1-x)^{1-x}} \, {\rm d}x = \frac\pi{e}. $

$\!\textbf{Question 2. }\text{Prove that}$

$ \D \int_0^1 x^x \, (1-x)^{1-x} \sin \pi x \, {\rm d}x = \frac{\pi e}{24}. $

$\!\textbf{Question 3. }\text{Let $H_n$ denote the $n^{\text{th}}$ harmonic number. Prove that}$

$ \D \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n \, H_n}{\binom{2n}n} = \pi - \frac{\pi}2\,\log 2 + G, $

$\!\text{where $G$ is the Catalan's constant which is defined as follows:}$

$ \D G \equiv \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^2}. $

$\!\textbf{Question 4. }\text{Prove that}$

$ \D \sum_{n=1}^\infty \frac1n \int_{n\pi}^\infty \! \frac{\sin x}x \, {\rm d}x = \frac\pi2 \, (1 - \log\pi). $

$\!\textbf{Question 5. }\text{Prove that}$

$ \D \int_0^\infty \prod_{k=0}^n \frac1{x^2 + (2k+1)^2} \, {\rm d}x = \frac\pi{2^{2n+1} \, (2n+1) \, (n!)^2}. $

$\!\textbf{Question 6. }\text{Prove that}$

$ \D \int_{-\infty}^{+\infty} |\!\sin^{n-1} x| \, \frac{\sin x}x \, {\rm d}x = 2^{n-1} \, \frac{\varGamma\bigl(\frac{n}2\bigr)^2}{\varGamma(n)}. $

$\!\textbf{Question 7. }\text{Let $\eta$ denote the Dirichlet eta function. Prove that}$

$ \D \int_0^1 \artanh^n x \, {\rm d}x = \frac{n!}{2^{n-1}} \, \eta(n). $

$\!\textbf{Question 8. }\text{Prove that}$

$ \D \int_0^1 \! \frac{\Li_2(x)}{x \sqrt{1-x^2}} \, {\rm d}x = \frac{3\pi^2}8 \, \log 2 - \frac7{16} \, \zeta(3). $

$\!\textbf{Question 9. }\text{Let $F_n$ denote the $n^{\text{th}}$ Fibonacci number. Prove that}$

$ \D \sum_{n=0}^\infty \arctan \frac1{F_{2n+1}} = \frac\pi2. $

$\!\textbf{Question 10. }\text{Prove that}$

$ \D \sum_{n=2}^\infty \artanh \frac1{F_{2n}} = \frac12 \, \log 3. $

脚注

記事更新

  1. 2023 年 9 月 3 日:投稿早々に$\textbf{Question 9}$の総和の初項が$n=1$からとなっている誤りを発見しました.正しくは$n=0$からです.
投稿日:23日前
更新日:22日前

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高校生,ゼータ関数とミスチルが好きです.

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高校生,ゼータ関数とミスチルが好きです.