「年末感を感じながら数学をしたい人向けの問題」の解説
問題
以下の値を求めよ。
\begin{align}
\sum_{m = 0}^{\infty} \sum_{n = 0}^{\infty} \int_{0}^{2024} \frac{2(mn)^5}{3^{m + n - 3}} \left(\frac{1}{6x - 22 \cdot 23 \cdot 24} + \frac{1}{6x - 23 \cdot 24 \cdot 25} + \frac{1}{6x - 24 \cdot 25 \cdot 26} + \cdots + \frac{1}{6x - 2022 \cdot 2023 \cdot 2024}\right) \\
\quad \cdot \left(1 + \frac{21!}{2022!}\left(\frac{6x}{23 \cdot 24} - 22\right) \left(\frac{6x}{24 \cdot 25} - 23\right) \left(\frac{6x}{25 \cdot 26} - 24\right) \cdots \left(\frac{6x}{2023 \cdot 2024} - 2022\right)\right)^{mn - 1} \\
\quad\cdot \frac{21!}{2022!}\left(\frac{6x}{23 \cdot 24} - 22\right) \left(\frac{6x}{24 \cdot 25} - 23\right) \left(\frac{6x}{25 \cdot 26} - 24\right) \cdots \left(\frac{6x}{2023 \cdot 2024} - 2022\right) \mathrm{d} x
\end{align}
解答
\begin{align} & \sum_{m = 0}^{\infty} \sum_{n = 0}^{\infty} \int_{0}^{2024} \frac{2(mn)^5}{3^{m + n - 3}} \left(\frac{1}{6x - 22 \cdot 23 \cdot 24} + \frac{1}{6x - 23 \cdot 24 \cdot 25} + \frac{1}{6x - 24 \cdot 25 \cdot 26} + \cdots + \frac{1}{6x - 2022 \cdot 2023 \cdot 2024}\right) \\ & \quad \quad \cdot \left(1 + \frac{21!}{2022!}\left(\frac{6x}{23 \cdot 24} - 22\right) \left(\frac{6x}{24 \cdot 25} - 23\right) \left(\frac{6x}{25 \cdot 26} - 24\right) \cdots \left(\frac{6x}{2023 \cdot 2024} - 2022\right)\right)^{mn - 1} \\ & \quad \quad \quad \cdot \frac{21!}{2022!}\left(\frac{6x}{23 \cdot 24} - 22\right) \left(\frac{6x}{24 \cdot 25} - 23\right) \left(\frac{6x}{25 \cdot 26} - 24\right) \cdots \left(\frac{6x}{2023 \cdot 2024} - 2022\right) \mathrm{d} x \\ & = \sum_{m = 1}^{\infty} \sum_{n = 1}^{\infty} \int_{0}^{1} \frac{(mn)^5}{3^{m + n - 2}} t^{mn - 1} \mathrm{d} t \qquad \left(1 + \frac{21!}{2022!}\left(\frac{6x}{23 \cdot 24} - 22\right) \left(\frac{6x}{24 \cdot 25} - 23\right) \left(\frac{6x}{25 \cdot 26} - 24\right) \cdots \left(\frac{6x}{2023 \cdot 2024} - 2022\right) \mapsto t\right) \\ & = \sum_{m = 1}^{\infty} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(mn)^4}{3^{m + n - 2}} \\& = \left(\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^4}{3^{n - 1}}\right)^2 \end{align}
$$ f(x) \coloneqq \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^4}{3^{n - 1}}x^{n - 1} $$
とし、$f$の原始関数で$F(0) = 0$であるものを$F$とすると、
$$ F(x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^3}{3^{n - 1}}x^n $$
$$ g(x) \coloneqq \frac{F(x)}{x} $$
とおき、$g$の原始関数のうち、$G(0) = 0$を満たすものを$G$とおくと、
$$ G(x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^2}{3^{n - 1}}x^n $$
$$ h(x) \coloneqq \frac{G(x)}{x} $$
とおき、$h$の原始関数のうち、$H(0) = 0$を満たすものを$H$とおくと、
$$ H(x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{3^{n - 1}}x^n $$
\begin{align} H(x) - \frac{x}{3}H(x) & = x + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{3^n}x^{n + 1} \\ & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{3^n}x^{n + 1} \\ & = \frac{x}{1 - \frac{x}{3}} \\\ & = \frac{3x}{3 - x} \end{align}
$$ \therefore H(x) = \frac{9x}{(3 - x)^2} $$
$$ h(x) = \frac{27 + 9x}{(3 - x)^3} $$
$$ G(x) = \frac{27x + 9x^2}{(3 - x)^3} $$
$$ g(x) = \frac{9x^2 + 108x + 81}{(3 - x)^4} $$
$$ F(x) = \frac{9x^3 + 108x^2 + 81x}{(3 - x)^4} $$
$$ f(x) = \frac{(27x^2 + 216x + 81)(3 - x) + 4(9x^3 + 108x^2 + 81x)}{(3 - x)^5} $$
求める値は
$$ \left(\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^4}{3^{n - 1}}\right)^2 = \left(f(1)\right)^2 $$
であるから、
\begin{align} f(1) & = \frac{(27 + 216 + 81)(3 - 1) + 4(9 + 108 + 81)}{(3 - 1)^5} \\ & = 45 \end{align}
より、$\left(f(1)\right)^2 = 45^2 = 2025$
だから、答えは$2025$。
僕頑張って答えきれいになるようにちょうせいしたんだ！！！！！みてみて！！！！
...ごめんなさい
