アペリーの数列の姉妹たち２
こんにちは、itouです。
注：以下の内容は数値計算で得られた結果をもとにしています。厳密な証明はしていません。
前回の記事 で得た結果から思いついた予想です。
アペリーの数列と同様の性質をもつ（と思われる）数列に関する予想
$k$を正の整数とする.
$(n+1)^3a_{n+1}=(a((n+1)^3+n^3)-b(2n+1))a_n-n^3a_{n-1}$を満たす数列$a_n$について、
整数の組$(a,b)$が$(k+\sqrt{k^2+1})^m=a+b\sqrt{k^2+1}$を満たし、かつ、$a_0=1,a_1=a-b$であるとき、
１．$m$が偶数のとき、$a_n(n!)^2$は整数である.
２．$m$が奇数のとき、$a_n(n!)^2$の分母は２の冪乗である.
(一般には$a_n(n!)^3$は整数となりますが、$a_n(n!)^2$は整数になりません。)
さらに、以下のように予想します。
$k$を正の整数とする.
$(n+1)^5a_{n+1}=(a((n+1)^5+n^5)-b((n+1)^3+n^3))a_n-n^5a_{n-1}$を満たす数列$a_n$について、
整数の組$(a,b)$が$(k+\sqrt{k^2+1})^m=a+b\sqrt{k^2+1}$を満たし、かつ、$a_0=1,a_1=a-b$であるとき、
１．$m$が偶数のとき、$a_n(n!)^4$は整数である.
２．$m$が奇数のとき、$a_n(n!)^4$の分母は２の冪乗である.
(一般には$a_n(n!)^5$は整数となりますが、$a_n(n!)^4$は整数になりません。)
さらに、以下のように予想します。
$k$を正の整数とする.
$(n+1)^5a_{n+1}=(a((n+1)^5+n^5)-b((n+1)^4-n^4))a_n-n^5a_{n-1}$を満たす数列$a_n$について、
整数の組$(a,b)$が$(k+\sqrt{k^2+1})^m=a+b\sqrt{k^2+1}$を満たし、かつ、$a_0=1,a_1=a-b$であるとき、
１．$m$が偶数のとき、$a_n(n!)^4$は整数である.
２．$m$が奇数のとき、$a_n(n!)^4$の分母は２の冪乗である.
(漸化式の$a_n$の係数がconjecture2と違います。)
謝辞
ここまで読んで下さりありがとうございました。誤植指摘よろしくお願いいたします。