3

アペリーの数列の姉妹たち2

111
0
$$$$

こんにちは、itouです。
注:以下の内容は数値計算で得られた結果をもとにしています。厳密な証明はしていません。

前回の記事 で得た結果から思いついた予想です。

アペリーの数列と同様の性質をもつ(と思われる)数列に関する予想

conjecture1

$k$を正の整数とする.
$(n+1)^3a_{n+1}=(a((n+1)^3+n^3)-b(2n+1))a_n-n^3a_{n-1}$を満たす数列$a_n$について、
整数の組$(a,b)$$(k+\sqrt{k^2+1})^m=a+b\sqrt{k^2+1}$を満たし、かつ、$a_0=1,a_1=a-b$であるとき、
1.$m$が偶数のとき、$a_n(n!)^2$は整数である.
2.$m$が奇数のとき、$a_n(n!)^2$の分母は2の冪乗である.

(一般には$a_n(n!)^3$は整数となりますが、$a_n(n!)^2$は整数になりません。)
さらに、以下のように予想します。

conjecture2

$k$を正の整数とする.
$(n+1)^5a_{n+1}=(a((n+1)^5+n^5)-b((n+1)^3+n^3))a_n-n^5a_{n-1}$を満たす数列$a_n$について、
整数の組$(a,b)$$(k+\sqrt{k^2+1})^m=a+b\sqrt{k^2+1}$を満たし、かつ、$a_0=1,a_1=a-b$であるとき、
1.$m$が偶数のとき、$a_n(n!)^4$は整数である.
2.$m$が奇数のとき、$a_n(n!)^4$の分母は2の冪乗である.

(一般には$a_n(n!)^5$は整数となりますが、$a_n(n!)^4$は整数になりません。)

さらに、以下のように予想します。

conjecture3

$k$を正の整数とする.
$(n+1)^5a_{n+1}=(a((n+1)^5+n^5)-b((n+1)^4-n^4))a_n-n^5a_{n-1}$を満たす数列$a_n$について、
整数の組$(a,b)$$(k+\sqrt{k^2+1})^m=a+b\sqrt{k^2+1}$を満たし、かつ、$a_0=1,a_1=a-b$であるとき、
1.$m$が偶数のとき、$a_n(n!)^4$は整数である.
2.$m$が奇数のとき、$a_n(n!)^4$の分母は2の冪乗である.

(漸化式の$a_n$の係数がconjecture2と違います。)

謝辞

ここまで読んで下さりありがとうございました。誤植指摘よろしくお願いいたします。

投稿日:113
更新日:113

投稿者

数学勉強中

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中