ζ(3)の色々な表示方法
そういえばアペリー定数について記事を出すと言っていたので忘れない内に書いてしまいます.
というか前回の記事で一つの命題に対する色々な証明を書くとめちゃくちゃしんどかったので今回は最初のオイラーによる表示だけを証明しようと思います.(ここだけは譲れません)
$\displaystyle ζ(3)=\frac{2π^2}{7}\log 2+\frac{16}{7}\int_{0}^{\frac{π}{2}}x\log(\sin x)dx$
$\displaystyle \sum_{n:odd}\frac{1}{n^3}=\frac{π^2}{4}\log 2+2\int_{0}^{\frac{π}{2}}x\log(\sin x)dx$を示す.(1)
$\displaystyle\log(1-e^{2ix})=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{2inx}}{n}$の実部を比較する.
左辺では$\displaystyle \Re(\log(1-e^{2ix}))=\log|1-e^{2ix}|=\log(2\sin x)$
右辺ではオイラーの公式より$\displaystyle -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(2nx)}{n}$となる.
このことより、$\displaystyle \log(2\sin x)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(2nx)}{n}$
$\displaystyle \log(\sin x)=-\log 2-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(2nx)}{n}$
したがって$\displaystyle \int_{0}^{\frac{π}{2}}\log(\sin x)dx=-\frac{π}{2}\log 2$
これにならい$\displaystyle I=\int_{0}^{\frac{π}{2}}x\log(\sin x)dx$を考える.
$\displaystyle I=\int_{0}^{\frac{π}{2}}x\left(-\log 2-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(2nx)}{n}\right)dx$
$\displaystyle\quad =-\log2\int_{0}^{\frac{π}{2}}xdx-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\int_{0}^{\frac{π}{2}}x\cos(2nx)dx$
$\displaystyle\quad=-\frac{π^2}{8}\log 2+\frac{1}{2}\sum_{n:odd}\frac{1}{n^3}$
$∴\displaystyle \sum_{n:odd}\frac{1}{n^3}=\frac{π^2}{4}\log 2+2I$より(1)が成り立つ.
また、$\displaystyle \sum_{n:odd}\frac{1}{n^3}=\frac{7}{8}ζ(3)$ということから$ζ(3)$が導ける.
$\displaystyle ζ(3)=\frac{π^2}{7}\left[1-4\sum_{k=1}^{\infty}\frac{ζ(2k)}{(2k+1)(2k+2)2^{2k}}\right]$
$\displaystyleζ(3)=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{1}{1-xyz}dxdydz$
$\displaystyle ζ(3)=\frac{2}{3}\int_{0}^{\infty}\frac{x^2}{e^x+1}dx$
$\displaystyle ζ(3)=\frac{7}{180}π^3-2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3(e^{2πn}-1)}$
$\displaystyle ζ(3)=14\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3\sinh(πn)}-\frac{11}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3(e^{2πn}-1)}-\frac{7}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3(e^{2πn}+1)}$
$\displaystyle ζ(3)=10\int_{0}^{\log \phi}\frac{x^2(e^{2x}+1)}{e^{2x}-1}dx$
$\displaystyle ζ(3)=\frac{1}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\log \cos x}{\tan^2(x)}\log \frac{\log^2\cos x}{\pi^2+\log^2\sin x}dx$
$\displaystyle ζ(3)= \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{\log (1+x)\log (\frac{1}{x}-1)}{x}dx$
$\displaystyle ζ(3)=\frac{\pi^2}{7}\int_{0}^{1}\frac{x}{\tanh^{-1}x}dx$
最後の方は証明を書かなかったことで謎にRamanujan感がでちゃいましたが殺風景すぎるので今度からはちゃんと証明も書くようにします.また、7~10はintさんに紹介してもらった子たちなので今後証明が書けたら随時更新しようと思います.
最後まで見ていただきありがとうございました.