6分の公式気持ち良すぎダッロ
目次
1.はじめに
2.導出
3.最後に
はじめに
どっっも色々やる数学徒です。
今回は僕史上初のネタ記事です。ここでは、みんな大好き6分の公式を導出していきます。なんでいきなりこんな記事を書いたかというと僕がTwitterにて「6分の公式を導出できないやつはゲジゲジ以下」というあのあまりにも有名な名言をいじって軽くバズ(？)ちゃったのでちゃんと僕がゲジゲジよりは上であることを示していきます。(ゲジゲジ以下の人も頑張ってこれで導出できるようになりましょう)
導出
まず、みなさんが積分に触れると超便利な6の公式がでてくるのではないでしょうか？(ヨビノリさんも解説していましたね)ここでみなさんは丸暗記なんて愚かなことはしていませんよね？
よね？？
ちゃんと導出も覚えましょう(☻-☻)
$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)dx=-\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$
$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)dx$(こいつを上手く変形していきます)
普通にバラしても解けますがコツがあります。
$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)dx$
$\displaystyle =\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x—\alpha+\alpha-\beta)dx,$
$\displaystyle =\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^2+(\alpha-\beta)(x-\alpha)dx,$
$\displaystyle =\left[\frac{1}{3}(x-\alpha)^3+\frac{1}{2}(\alpha-\beta)(x-\alpha)^2\right]_{\alpha}^{\beta},$
$\displaystyle =-\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3.$
下の証明で途中式をちょっと飛ばしていますが、簡単な計算なので自分でやってみてください。
$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)dx$
$\displaystyle =\int_{\alpha}^{\beta}x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta dx,$
$\displaystyle =\left[\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}(\alpha+\beta)x^2+\alpha\beta x\right]_{\alpha}^{\beta},$
$\displaystyle =\frac{1}{3}(\beta^3-\alpha^3)-\frac{1}{2}(\alpha+\beta)(\beta^2-\alpha^2)+\alpha\beta(\beta-\alpha),$
$\displaystyle =\frac{1}{6}(\beta-\alpha)(-\beta^2+2\alpha\beta-\alpha^2),$
$\displaystyle -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3.$
具体例としてしたの積分の値を出しましょう
$\displaystyle \int_{-2-\sqrt{2}}^{-2+\sqrt{2}}x^2+4x+2dx$
<解説>
被積分関数が因数分解できそうですね
$x^2+4x+2=(x+2-\sqrt{2})(x+2+\sqrt{2})$
6分の公式が使えますね
∴$\displaystyle \int_{-2-\sqrt{2}}^{-2+\sqrt{2}}x^2+4x+2dx=-\frac{8\sqrt{2}}{3}$
6分の公式を使わなかったら計算が煩雑でミスをするかもしれないので便利ですね。
$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^n(\beta-x)^mdx=\frac{m!n!}{(m+n+1)!}(\beta-\alpha)^{m+n+1}$
ただし、$\alpha,\beta$は実数、$m,n$は$0$以上の自然数
証明はベータ関数を用いると簡単にできますね。(ただし、$\alpha,\beta$の場合分けが必要になってきます。
これも書けたら記事にします。
最後に
正直導出まで覚えなくても試験では困りませんが一様覚えておいた方がいいですね
以上！終わり(●´ω｀●)