多重ゼータ値用略記
主旨
多重ゼータ値で頻出する$n_1<\Range n2m<$や$\displaystyle \prod_{k=1}^m n_k^{-s_k}$を略記します。
この記事内での略記
| $\clr{red}[\cdots]$ | 省略可。同色は同時に消す。 |
| $\clr{red}[\cdots]_\cdots$ | 〃。省略した場合添字で置き換える。 |
定義
$\lvvr\{{}\}$中括弧の混同を避ける場合、集合はこう表記する。
$a,b,r,s\in\Z \land a\le b$
$P(\cdots)$ 条件式
$\beginend{alignat}{2 &\bm x : a\to b &&\Defarrow \bm x\coloneqq (x_a,\range x{a+1}b) \\ &P(\bm x) : a\to b &&\Defarrow \bm x:a\to b \land P(\bm x) \\ &P\lr({\bm x_{[a\to b]}}) &&\Defarrow \bm x:a\to b \land P(\bm x) \quad{\small\matrix{ \textsf{定義であることを表す$:$が} \\ \textsf{含まれないため文脈により判断。} }} }$
$\beginend{alignat}{2
&\bm x_{[r\to s]} &\acoloneqq \{x_n\}_{n=r}^s = (x_r,\range x{r+1}s) \\
&\bm x_{[r+1\to r]} &\acoloneqq \varnothing
}$
除去インデックス
は代わりにこう表記する。
$\bm x$には開始地点と終了地点の情報も含まれており、
例えば、$\bm x:0\to10$と$\bm y:-10\to10$の$1$番目は
$x_0,y_{-10}$ではなく$x_1,y_1$であり、
$\{\bm x+\bm y\}_{[2\to7]} = \{x_n+y_n\}_{n=2}^7$である。
$\bm?$ インデックス。文脈により判断。
$a,b,r,s\in\Z \land a\le b \land r\le s$
$\bm x:a\to b$
$\mathrm O \coloneqq \sum_{\textstyle,}\prod_{\textstyle,}\bigwedge_{\textstyle,}\bigvee$
$\beginend{align}{
\mathop{\mathrm O} \bm x \acoloneqq
\mathop{\mathrm O}_{n=a}^b f(x_n,y_n,\cdots) \\
\mathop{\mathrm O}_{r\to s} \bm x \acoloneqq
\mathop{\mathrm O} \bm x_{[r\to s]}
}$
$\mathrm{O,P,\cdots}\quad$（不）等号
$\bm x:a\to b$
$\clr{red}[{\alpha\ \clr{green}[{\mathrm O}]}] \vbin{\mathrm P} f(\bm x)\ \clr{blue}[{\mathrm Q\ \beta}] \Defarrow
\clr{red}[{\alpha\ \clr{green}[{\mathrm O}]_{\mathrm P}}]\ f(x_a)\mathbin{\mathrm P}\Rangeex {f(}x){a+1}b{\mathbin{\mathrm P}}\ \clr{blue}[{\mathrm Q\ \beta}]$
例
$\bm n:1\to m$
$\beginend{align}{ 0\vbin<\bm n &\Leftrightarrow 0< n_1<\Range n2m< \\ 0\vbin\le\bm n &\Leftrightarrow 0\le n_1\le\Range n2m\le }$
$(\bm s) \in I'_m$
$\bigwedge \bm\varepsilon \in \lvvr\{{0,1}\}:1\to r$
$\beginend{align}{ \zeta(\bm s) \acoloneqq \sum_{0\vbin<\bm n_{[1\to m]}} \prod \bm n^{-\bm s} \\ I(\bm\varepsilon) \acoloneqq \int_{0\vbin\le\bm t_{[1\to r]}\le1} \prod {\frac{d\bm t}{\bm\varepsilon+(-1)^{\bm\varepsilon}\bm t}} \\ \zeta(\bm s) &= I\lr({\lr\{{1,\{0\}^{s_k-1}}\}_{k=1}^m}) }$
$s\in\Z_{\ge2}$
$\displaystyle \sum_{(\bm s) \in I'_m \land\sum\bm s=s} \zeta(\bm s) = \zeta(s)$
マクロ
| 例 | マクロ/実装 | 説明 |
|---|---|---|
| $\lvvr\{{0,1,2}\}$ |
| 棒付き括弧を表示します。\lr{}{}{}についてはこちら を参照してください。 |
| $0\vbin<\bm n$ |
| 棒付き二項演算子を表示します。 |