WatsonによるBarnesの第1補題のq類似
Barnesの第1補題
は
\begin{align}
\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\Gamma(a+s)\Gamma(b+s)\Gamma(c-s)\Gamma(d-s)\,ds&=\frac{\Gamma(a+c)\Gamma(a+d)\Gamma(b+c)\Gamma(b+d)}{\Gamma(a+b+c+d)}
\end{align}
と表される公式である. 今回はこの公式の以下のような$q$類似を示す.
\begin{align}
&\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{(q^{1-c+s},q^{1-d+s};q)_{\infty}}{(q^{a+s},q^{b+s};q)_{\infty}}\frac{\pi q^s}{\sin\pi(c-s)\sin\pi(d-s)}\,ds\\
&=\frac{q^c}{\sin\pi(d-c)}\frac{(q,q^{1+c-d},q^{d-c},q^{a+b+c+d};q)_{\infty}}{(q^{a+c},q^{a+d},q^{b+c},q^{b+d};q)_{\infty}}
\end{align}
が成り立つ. ただし, 積分路は
\begin{align}
\frac{(q^{1-c+s},q^{1-d+s};q)_{\infty}}{\sin\pi(c-s)\sin\pi(d-s)}
\end{align}
の全ての極が積分路の右側にあり,
\begin{align}
\frac 1{(q^{a+s},q^{b+s};q)_{\infty}}
\end{align}
の全ての極が積分路の左側にあるように選ぶものとする.
通常のMellin-Barnes積分の場合と同様に, 積分路の右側の極に関して留数定理を用いると, 極は$n$を非負整数として$c+n,d+n$にあり,
\begin{align}
&\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{(q^{1-c+s},q^{1-d+s};q)_{\infty}}{(q^{a+s},q^{b+s};q)_{\infty}}\frac{\pi q^s}{\sin\pi(c-s)\sin\pi(d-s)}\,ds\\
&=\frac{1}{\sin\pi(d-c)}\sum_{0\leq n}\frac{(q^{1+n},q^{1+c-d+n};q)_{\infty}}{(q^{a+c+n},q^{b+c+n};q)_{\infty}}q^{c+n}\\
&\qquad+\frac 1{\sin\pi(c-d)}\sum_{0\leq n}\frac{(q^{1+n},q^{1+d-c+n};q)_{\infty}}{(q^{a+d+n},q^{b+d+n};q)_{\infty}}q^{d+n}\\
&=\frac{q^c}{\sin\pi(d-c)}\frac{(q,q^{1+c-d};q)_{\infty}}{(q^{a+c},q^{b+c};q)_{\infty}}\left(\Q21{q^{a+c},q^{b+c}}{q^{1+c-d}}q-q^{d-c}\frac{(q^{a+c},q^{b+c},q^{1+d-c};q)_{\infty}}{(q^{a+d},q^{b+d},q^{1+c-d};q)_{\infty}}\Q21{q^{a+d},q^{b+d}}{q^{1+d-c}}{q}\right)
\end{align}
となる. ここで,
non-terminating $q$-Vandermondeの恒等式
より
\begin{align}
&\Q21{q^{a+c},q^{b+c}}{q^{1+c-d}}q-q^{d-c}\frac{(q^{a+c},q^{b+c},q^{1+d-c};q)_{\infty}}{(q^{a+d},q^{b+d},q^{1+c-d};q)_{\infty}}\Q21{q^{a+d},q^{b+d}}{q^{1+d-c}}{q}\\
&=\frac{(q^{d-c},q^{a+b+c+d};q)_{\infty}}{(q^{a+d},q^{b+d};q)_{\infty}}
\end{align}
であるから, これを代入して定理を得る.
Gasper-Rahmanの本においては, 右辺の分母が$\sin\pi(c-d)$になっていたが, $\sin\pi(d-c)$が正しいのではないかと思われる. 実際, $q\to 1$において
\begin{align}
&(1-q)^{a+b+c+d-2}\frac{(q,q^{1+c-d},q^{d-c},q^{a+b+c+d};q)_{\infty}}{(q^{a+c},q^{a+d},q^{b+c},q^{b+d};q)_{\infty}}\\
&\to\frac{\Gamma(a+c)\Gamma(a+d)\Gamma(b+c)\Gamma(b+d)}{\Gamma(1+c-d)\Gamma(d-c)\Gamma(a+b+c+d)}=\frac{\sin\pi(d-c)}{\pi}\frac{\Gamma(a+c)\Gamma(a+d)\Gamma(b+c)\Gamma(b+d)}{\Gamma(a+b+c+d)}
\end{align}
である.
前の記事 でAskey-RoyによるBarnesの第1補題の$q$類似を与えた. 定理1はそれとは形は異なっているが, ともに証明にnon-terminating $q$-Vandermondeの恒等式を用いるというところが共通している.
${}_2\phi_1$のMellin-Barnes積分表示
通常の${}_2F_1$のMellin-Barnes積分表示の$q$類似として, Watsonは次のような表示を与えている.
\begin{align}
\Q21{a,b}cx&=-\frac{(a,b;q)_{\infty}}{(c,q;q)_{\infty}}\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{(q^{1+s},cq^s;q)_{\infty}}{(aq^s,bq^s;q)_{\infty}}\frac{\pi(-x)^s}{\sin\pi s}\,ds
\end{align}
これを用いて, 古典的な場合の方針と同様に少し工夫すると${}_2\phi_1$の$x\to \frac 1x$における接続公式
\begin{align}
\Q21{a,b}c{x}&=\frac{(b,c/a;q)_{\infty}}{(c,b/a;q)_{\infty}}\frac{(ax,q/ax;q)_{\infty}}{(x,q/x;q)_{\infty}}\Q21{a,aq/c}{aq/b}{\frac{cq}{abx}}\\
&\qquad+\frac{(a,c/b;q)_{\infty}}{(c,a/b;q)_{\infty}}\frac{(bx,q/bx;q)_{\infty}}{(x,q/x;q)_{\infty}}\Q21{b,bq/c}{bq/a}{\frac{cq}{abx}}
\end{align}
を得ることができるようである.
