論文を読んだメモ(とついでに証明)「[MS], TORSION CLASSES, WIDE SUBCATEGORIES AND LOCALISATIONS」

$filt(-)$は定義からextensionsで閉じている(組成因子と短完全列を観察すればわかる(ジョルダンヘルダンの証明とかを思い出せばよい))のでquotientsで閉じていることを示せばよい. $X\in\mathcal{T}_{\mathcal{W}}$と全射$X\to X'$を取る. それでは$gen(\mathcal{W})$-lengthに対するinductionを回す. $X$の$gen(\mathcal{W})$-lengthが$1$なら$X\in gen(\mathcal{W})$であり故に$gen(-)$の定義よりquotientsで閉じる. 一般の場合, 単完全列:
$$ \xymatrix{ 0\ar[r]&M_1\ar[r]&X\ar[r]&M_2\ar[r]&0 }\ (F_1= M_1\in gen(\mathcal{W}),\ M_2\in\mathcal{T}_{\mathcal{W}}) $$
を取ると$M_2$の$gen(\mathcal{W})$-lengthは$X$より小さくなる. ここで図式:
$$ \xymatrix{ 0\ar[r]&M_1\ar[r]\ar@{=}[d]&X\ar[r]\ar[d]&M_2\ar[d]\ar[r]&0\\ &M_1\ar[r]^{f}&X'\ar[r]&{\mathrm{coker}(f)}\ar[r]&0 } $$
を見ると, $M_2\to\mathrm{coker}(f)$は全射でinductionの仮定より$\mathrm{coker}(f)\in\mathcal{T}_\mathcal{W}$. また短完全列:
$$ \xymatrix{ 0\ar[r]&{\mathrm{Im}(f)}\ar[r]&X'\ar[r]&{\mathrm{coker}(f)}\ar[r]&0 } $$
で${\mathrm{Im}(f)}\in gen(\mathcal{W})\subset\mathcal{T}_{\mathcal{W}},\ {\mathrm{coker}(f)}\in\mathcal{T}_{\mathcal{W}}$よりextensionsで閉じることから$X'\in\mathcal{T}_{\mathcal{W}}$.

$W\in\mathcal{W}$とinjection$i\colon X\to W\ (X\in\mathcal{T}_{\mathcal{W}})$を取る. この時$X\in\mathcal{W}$を示せばよい. ここでも$gen(\mathcal{W})$-lengthによる帰納法を回す. まずは$X\in gen(\mathcal{W})$である時全射$p\colon\mathcal{W}\ni\oplus M_i\to X$があり:
$$ \xymatrix{ 0\ar[r]&{\mathrm{Ker}(i\circ p)}\ar[r]&{\oplus M_i}\ar[dr]_p\ar[rr]^{i\circ p}&&W\ar[r]&{\mathrm{coker}(i\circ p)}\ar[r]&0\\ &&&X\ar[ru]_i } $$
を考えると$X\in\mathcal{W}$. 一般の場合, 単完全列:
$$ \xymatrix{ 0\ar[r]&M_1\ar[r]&X\ar[r]&M_2\ar[r]&0 } $$
をさっきの補題のように取ると図式:
$$ \xymatrix{ 0\ar[r]&M_1\ar[d]\ar[r]^{i_1}&W\ar@{=}[d]\ar[r]&{\mathrm{Coker}(i_1)}\ar[d]^{\pi}\ar[r]&0\\ 0\ar[r]&X\ar[r]^{i}&W\ar[r]&{\mathrm{Coker}(i)}\ar[r]&0 } $$
で$M_1\in\mathcal{W}$からwide性より$\mathrm{Coker}(i_1)\in\mathcal{W}$. また蛇の補題より$M_2\cong\mathrm{Ker}(\pi)$で帰納法の仮定より$M_2\in\mathcal{W}$でまたもやwide性, 特にextensionsで閉じる事から$X\in\mathcal{W}$.

先ずはkernelsで閉じることを見る. $f\in\alpha(\mathcal{T})(A,B)$を取る. 定義より$\mathrm{Ker}f\in\mathcal{T}$である. $i\colon\mathrm{Ker}f\to A$を埋め込みとしtest morphism$g\colon Y\to\mathrm{Ker}f$を取る. ここで$i\circ g\colon Y\to A$は$\alpha(\mathcal{T})$の定義より$\mathrm{Ker}g=\mathrm{Ker}(i\circ g)\in\mathcal{T}$. 以上より$\mathrm{Ker}(f)\in\alpha(\mathcal{T})$.

次に$\alpha(\mathcal{T})$はextensionsで閉じることを見る. $A,B\in\alpha(\mathcal{T}),\ 0\to A\stackrel{i}{\to}E\stackrel{\pi}{\to}B\to 0\colon\text{exact}$を取りtest morphism$g\colon Y\to E\in\mathcal{T}$を取る. この時exact seq.:
$$ \xymatrix{ 0\ar[r]&{\mathrm{Ker}(g)}\ar[r]&{\mathrm{Ker}(\pi\circ g)}\ar[r]^-{\psi}&A } $$
が取れる. 実際:
$$ \xymatrix{ 0\ar[r]&{\mathrm{Ker}(g)}\ar@{=}[d]\ar[r]&{\mathrm{Ker}(\pi\circ g)}\ar@{}[rd]|{P.b}\ar[d]\ar[r]^-{\psi}&A\ar[d]^{i}\\ 0\ar[r]&{\mathrm{Ker}(g)}\ar[r]&Y\ar[r]_-{g}&E } $$
を見ればわかる. $B\in\alpha(\mathcal{T}),\ Y\in\mathcal{T}$であるから$\mathrm{Ker}(\pi\circ g)\in\mathcal{T}$. 更に$A\in\alpha(\mathcal{T})$であるから$\mathrm{Ker}(g)\in\mathcal{T}$.

最後にcokernelsで閉じることを見る. $f\in\alpha(\mathcal{T})(A,B)$を取る. そしていつものようにtest morphism$g\colon \mathcal{T}\ni Y\to \mathrm{cok}(f)$を取る. また$\mathrm{ker}(\mathrm{cok}(f))=\mathrm{im}(f)$である. ここでpullback$Y\prod_CB$により図式:
$$ \xymatrix{ 0\ar[r]&{\mathrm{Ker}(\mathrm{cok}(f)^*)}\ar[r]\ar@{=}[d]&Y\prod_{\mathrm{cok}(f)}B\ar@{}[rd]|{P.b}\ar[r]^-{\mathrm{cok}(f)^*}\ar[d]_{g^*}&Y\ar[r]\ar[d]^g&0\\ 0\ar[r]&{\mathrm{Ker}(\mathrm{cok}(f))}\ar[r]&B\ar[r]_-{\mathrm{cok}(f)}&{\mathrm{cok}(f)}\ar[r]&0 } $$
を見ると$\mathcal{T}$がextensionsが閉じるから$Y\prod_{\mathrm{cok}(f)}B\in\mathcal{T}$. 以上より$\mathrm{Ker}(g^*)=\mathrm{Ker}(g)\in\mathcal{T}$であり題意は従った.

まず$\mathcal{W}\subset\alpha(\mathcal{T}_\mathcal{W})$であることから示そう. $W\in\mathcal{W}$とtest map$g\colon Y\to W\in\mathcal{T}_\mathcal{W}$を取る. いつものようにinductionをやりたいので$Y\in gen(\mathcal{W})$であると仮定すると, 全射$\pi\colon gen(\mathcal{W})\ni W'\to Y$と図式:
$$ \xymatrix{ 0\ar[r]&{\mathrm{Ker}(g')}\ar[r]\ar[d]_{\pi'}&W'\ar[d]_\pi\ar[r]^{g'}&W\ar@{=}[d]\\ 0\ar[r]&{\mathrm{ker}(g)}\ar[r]&Y\ar[r]_g&W } $$
が得られ$\pi'$も全射であることが従う. 元を取るとすぐわかるが一応スケッチ(diagram　chase)を言うと$x\in{\mathrm{ker}(g)}$に対してこれを$Y$に送って$\pi$の全射性より$W'$に引き戻して可換性からこれが$\mathrm{Ker}(g')$に入っていることが分かるので良い. またwideであることを考えると$\mathrm{Ker}(g')\in\mathcal{W}$であるので$\mathrm{Ker}(g)\in gen(\mathcal{W})$故inductionの$1$は良い. 一般の場合いつものように完全列:
$$ \xymatrix{ 0\ar[r]&M_1\ar[r]^i&Y\ar[r]&M_2\ar[r]&0 }\ (M_1\in gen(\mathcal{W}),\ M_2\in \mathcal{T}_\mathcal{W}) $$
を取ると$M_2$の$gen(\mathcal{W})$-lengthは$Y$より小さくなる. ここで列が完全な図式:
$$ \xymatrix{ 0\ar[r]&{\mathrm{Ker}(g\circ i)}\ar[d]^{i_1}\ar[r]&M_1\ar[d]^{i}\ar[r]&{\mathrm{Im}(g\circ i)}\ar[d]\ar[r]&0\\ 0\ar[r]&{\mathrm{Ker}(g)}\ar[d]\ar[r]^g&Y\ar[d]\ar[r]&W\ar[d]\\ 0\ar[r]&{\mathrm{Cok}(i_1)}\ar[r]&M_2\ar[r]&{\mathrm{Cok}(g\circ i)} } $$
を見ると$\mathcal{T}_\mathcal{W}$がtorsion classであるから$\mathrm{Im}(g\circ i)\in\mathcal{T}_\mathcal{W}$で先ほどの補題3.2より$\mathrm{Im}(g\circ i)\in\mathcal{W}$で$\mathcal{W}\in wide(A)$より$\mathrm{Cok}(g\circ i)\in\mathcal{W}$. inductionを考えると$\mathrm{Ker}(g\circ i),\mathrm{Cok}(i_1)\in\mathcal{T}_\mathcal{W}$であり$\mathcal{T}_\mathcal{W}$がextensionで閉じることから$\mathrm{Ker}(g)\in\mathcal{T}_\mathcal{W}$故$\mathcal{W}\subset\alpha(\mathcal{T}_\mathcal{W})$.

次に$\mathcal{W}\supset\alpha(\mathcal{T}_\mathcal{W})$を示す. $X\in\alpha(\mathcal{T}_\mathcal{W}$を取る. では定石通り$X\in gen(\mathcal{W})$と仮定する. すると$W\in\mathcal{W}$と全射$\pi\colon W\to X$が取れ$X\in\alpha(\mathcal{T}_\mathcal{W}$であることから$\mathrm{Ker}(\pi)\in\mathcal{T}_\mathcal{W}$. よって補題3.2より$\mathrm{Ker}(\pi)\in\mathcal{W}$でwideであることから$X\in\mathcal{W}$で良い. 一般の場合にはいつものように完全列:
$$ \xymatrix{ 0\ar[r]&M_1\ar[r]^i&Y\ar[r]&M_2\ar[r]&0 }\ (M_1\in gen(\mathcal{W}),\ M_2\in \mathcal{T}_\mathcal{W}) $$
を取ると$\alpha(\mathcal{T}_\mathcal{W})$の定義より, これは$\mathcal{T}_\mathcal{W}$のsubobjectで閉じる(単射の左合成はkernelを変えないことから明らか)から$M_1\in\alpha(\mathcal{T}_\mathcal{W})$でありwideだから$M_2\in\alpha(\mathcal{T}_\mathcal{W})$. inductionを考えると$M_1,M_2\in\mathcal{W}$でextensionsで閉じるので$X\in\mathcal{W}$で題意は従った.

$C\in\mathcal{C}$がcoverならsplit projectiveは$C$の直和である. 実際$P$をsplit projectiveとするとcoverであることから全射$C^{\oplus n}\to P$が取れこれはsplitするので良い. このことから$add(C)$がsplit projective全体を成すなら$C$はminimalなcoverである(実際には背理法). 逆に$C$がminimalなcoverであるとし$add(C)$がsplit projective全体をなさない, 即ちsplit projectiveでない$add(C)$の直既約な元が存在すると仮定すると, その元を$X\in add(C)\ (C=X\oplus Y)$と書く. この時splitしない全射$\mathcal{C}\ni M\to X$がとれ, coverであったことから全射$C^{\oplus n}\to Y$が取れる. この時合成により全射$\varphi=[f_1,\dots,f_n,g_1,\dots,g_{n}]\colon X^{\oplus n}\oplus Y^{\oplus n}\to X$が取れて$\mathcal{C}\ni M\to X$がsplitしないから$\varphi$もそうである. よって$\varphi$がradical(!)であり$f_i$もそう. $X$をleft$\mathrm{End}_\mathcal{C}(X)$-moduleの元とみると$X=\mathrm{rad}(\mathrm{End}_\mathcal{C}(X))\cdot X+\sum\{\mathrm{Im}(h\colon Y\to X)\}$であることから中山の補題より, $X=\sum\{\mathrm{Im}(h\colon Y\to X)\}$故全射$Y^{\oplus m}\to X$が存在する. 故に$Y$が$\mathcal{C}$のfinite coverになりminimal性に矛盾する.

${}_AA$がleft $\mathcal{C}$-approximationを持つとすると, $A\to \exists C\in\mathcal{C}$をleft $\mathcal{C}$-approximationとして取れる. $A$が$mod(A)$のgeneratorであることから$\forall M\in\mathcal{C}$に対して全射$A^{\oplus n}\to M$が取れる. ここでapproximationであることを思い出すと$A^{\oplus n}\to M$は$C^{\oplus n}\to M$にliftしてこれは全射であり故にfinite cover$C$を持つ.
逆にfinite cover$C\in\mathcal{C}$を持つとする. この時left$add(C)$-approximation$\alpha\colon A\to C_A$を取る(取れる, 実際$add(C)$の直既約の同型類が有限である)と$\mathcal{C}$-approximationでもある. 実際, test morphism$\varphi\colon A\to \tilde{C}\in \mathcal{C}$を取るとfinite coverであることから全射$\pi\colon C^{\oplus n}\to \tilde{C}$が取れ$A$の射影性から$\varphi=\pi\circ \psi$となる$\psi\colon A\to C^{\oplus n}$が取れる. ここでleft$add(C)$-approximationであることを考えると$\psi=\beta\circ\alpha$を満たすように$\beta\colon C_A\to C^{\oplus n}$が取れる. 以上より$\pi\circ\beta$によりliftするから$\mathcal{C}$-approximation.
minimal性明らか.

1. $add(T_0)$が$\mathcal{T}$でsplit projective全体になることから見る. まず先ほど見た定理より, $T_0$は$\mathcal{T}$のminimalなfinite coverになりminimalなfinite coverのaddがsplit projective全体を与えることも見たので良い. 次に$T_1が\mathcal{T}$でExt-projectiveになることは. 完全列$0\to\mathrm{Im}(f)\to T_0\to T_1\to0$で$\mathrm{Im}(f)\to T_0$もleft$\mathcal{T}$-approximaionなので$(-,\mathcal{T})$で伸ばすとapproximaionと$T_0$がsplit projective, 特にExt-projectiveより:
   $$ \mathrm{Hom}(T_0,\mathcal{T})\stackrel{surj.}{\to}\mathrm{Hom}(\mathrm{Im}(f),\mathcal{T})\to\mathrm{Ext}^1(T_1,\mathcal{T})\to\mathrm{Ext}^1(T_0,\mathcal{T})=0 $$
   が得られるので$T_1$は$\mathcal{T}$でExt-projective.
2. $M\in ind(T_0)\cap ind(T_1)$が取れたとすると, (1)より$M$はsplit projective in $\mathcal{T}$. ここで$T_1\to M$をprojectionとすると$T_0\to T_1\to M$はsplitするが$f$がleft minimalであることに矛盾する(!).
3. $\forall X\in\mathcal{T},\ T_0$が$\mathcal{T}$のfinite coverより完全列:
   $$ 0\to \mathrm{Ker}(\pi)\to T_0^{\oplus m}\stackrel{\pi}{\to}X\to 0 $$
   が取れる. ここから図式:
   $$ \xymatrix{ &A^{\oplus n}\ar[d]_{surj.}\ar[r]^{approximation}&T_0^{\oplus n}\ar@{.>}[d]\ar[r]&T_1^{\oplus n}\ar[r]\ar@{.>}[d]&0\\ 0\ar[r]& {\mathrm{Ker}(\pi)}\ar[r] &T_0^{\oplus m}\ar[r]^{\pi}&X\ar[r]& 0 } $$
   が得られ, 一番左の全射性から(diagram chaseとかで)右の四角はpush out. いつものようにこれを潰して右完全列:
   $$ T_0^{\oplus n}\to T_0^{\oplus m}\oplus T_1^{\oplus n}\to X\to 0 $$
   が得られてtorsion classがquotientsで閉じるから$T_0^{\oplus n}\in\mathcal{T}$より:$$ 0\to K \to T_0^{\oplus m}\oplus T_1^{\oplus n}\to X\to 0 $$
   において$K\in\mathcal{T}$である. ここで$X$がExt-projectiveだと仮定するとExtで伸ばせば:
   $$ \mathrm{Hom}(X,T_0^{\oplus m}\oplus T_1^{\oplus n})\to\mathrm{Hom}(X,X)\to \mathrm{Ext}^1(X,K)=0 $$
   が完全でありsplitする. 故に$X$は$T_0^{\oplus m}\oplus T_1^{\oplus n}$の直和因子でこれが求めるものであった.

まずは$\mathcal{W}_\mathcal{T}\subset\alpha(\mathcal{T})$を見る. $X\in\mathcal{W}_\mathcal{T}$とtest map$g\colon \mathcal{T}\ni Y\to X$を取る. この時$\mathrm{Ker}(g)\in\mathcal{T}$を示せばよい. この時$\mathrm{Im}(g)\in\mathcal{W}_\mathcal{T}$である. 実際, quotientsで閉じるから$\mathrm{Im}(g)\in\mathcal{T}$であり完全列$0\to\mathrm{Im}(g)\to X$を$(T_1,-)$で送ると$0\to\mathrm{Hom}(T_1,\mathrm{Im}(g))\to\mathrm{Hom}(T_1,X)=0$が得られるので良い. ここで全射$\pi\colon A^{\oplus n}\to \mathrm{Ker}(g)$を取り図式:
$$ \xymatrix{ &A^{\oplus n}\ar[d]_{\pi}\ar[r]^-{\varphi^n}&T_0^{\oplus n}\ar[d]\ar[r]&T_1^{\oplus n}\ar[d]\ar[r]&0\\ 0\ar[r]&{\mathrm{Ker}(g)}\ar[r]&Y\ar[r]_-{g}&{\mathrm{Im}(g)}\ar[r]&0 } $$
ここで$\mathrm{Hom}(T_1,\mathrm{Im}(g))=0$であるから合成とか可換性とか考えて格の普遍性が使えて$\pi=\tilde{\pi}\circ\varphi^{n}$となる全射$\varphi{\pi}\in\mathrm{Hom}(T_0^{\oplus n},\mathrm{Ker}(g))$が存在する. ここでquotientsで閉じることから$\mathrm{Ker}(g)\in\mathcal{T}$.

次に$\mathcal{W}_\mathcal{T}\supset\alpha(\mathcal{T})$を見る. この為には$X\in\alpha(\mathcal{T})$に対し$\mathrm{Hom}_A(T_1,X)=0$を示せばよい. $h\colon T_1\to X$を取る. まず$\mathrm{Im}(h)\in\alpha(\mathcal{T})$であることを注意しておく. 図式:
$$ \xymatrix{ &A\ar@{=}[r]\ar[d]_{\bar{\varphi}}&A\ar[d]^{\varphi}\\ 0\ar[r]&{\mathrm{Ker}(\bar{h})}\ar[d]\ar[r]^-{i_0}\ar[r]&T_0\ar[d]\ar[r]^-{\bar{h}}&{\mathrm{Im}(h)}\ar@{=}[d]\ar[r]&0\\ 0\ar[r]&{\mathrm{Ker}(h)}\ar[d]\ar[r]&T_1\ar[d]\ar[r]_-{h}&{\mathrm{Im}(h)}\ar[r]&0\\ &0&0 } $$
を見ると$\mathrm{Im}(h)\in\alpha(\mathcal{T})$から$\mathrm{Ker}(\bar{h})\in\mathcal{T}$である. ここで$\varphi$がleft$\mathcal{T}$-approximationであることから$s\colon T_0\to\mathrm{Ker}(\bar{h})$が$s\circ\varphi=\bar{\varphi}$となる様に存在する. ここで計算:
$$ \varphi=i_0\circ\bar{\varphi}=i_0\circ s\circ\varphi $$
とleft minimalであることから$i_0\circ s$は同型で$i_0$は全射, 故に同型であり完全性から$\mathrm{Im}(h)=0$.

$\mathcal{T}_{\alpha(\mathcal{T})}$の最小性より$\mathcal{T}\subset\mathcal{T}_{\alpha(\mathcal{T})} $を示す. いつものようにinductionを回す. $0\neq X\in \mathcal{T}$にたいして$\mathrm{Hom}(\alpha(\mathcal{T}),X)\neq0$を示せばよい. 実際, $X$のlengthに対するinductionを考えれば良くて, $0\neq h\colon\alpha(\mathcal{T})\ni Y\to X$が取れるならquotientsで閉じることから$X/\mathrm{Im}(h)\in\mathcal{T}$を繰り返すことで全射を作れる. ここでは背理法を用いる. left minimal$\mathcal{T}$-approximation$\varphi\colon A\to T_0$を取り$X\in\mathcal{T}$であるからzeroでない$\mathrm{Hom}(T_0,X)$をright$\mathrm{End}_A(T_0)$-moduleと見做す. ここでsimple$S\subset\mathrm{Hom}(T_0,X)$を$S=f\cdot\mathrm{End}_A(T_0)\ (f\colon T_0\to X)$となる様に取る. ここで$t_{T_1}(T_0):=\sum\{\mathrm{Im}(T_0\to T_1)\}$と置くと$t_{T_1}(T_0)\in\mathcal{T}$であるので[MS, Lemma 3.8]から$T_0/t_{T_1}(T_0)\in\alpha(\mathcal{T})$. ここで仮定より任意のmap$T_0/t_{T_1}(T_0)\to X$はzeroである. 従って$t_{T_1}(T_0)\not\subset\mathrm{Ker}f$である. 実際$t_{T_1}(T_0)\subset\mathrm{Ker}f$とすると$\mathrm{Hom}_A(T_0,X)=0$となり矛盾.　従って$f\circ g\colon T_1\to X$がzeroでない$g\colon T_1\to T_0$が存在する. ここで系列:
$$ T_0\stackrel{\mathrm{coker}(\varphi)}{\to}T_1\stackrel{g}{\to}T_0\stackrel{f}{\to}X $$ 　
はzeroでない. ここで[MS, Lemma 3.7]の特に(2)から$g\circ h\in\mathrm{rad}(\mathrm{End}(T_0))$であるから$f\circ g\circ h\in S\cdot \mathrm{rad}(\mathrm{End}(T_0))=\mathrm{rad}(S)=0$で矛盾.

[MS, Proposition 3.3]及び[MS, Proposition 3.9]より従う.

[DIJ, Theorem 3.9]より$|f$-$tors(A)|<\infty$である時, 任意のtorsion classがfunctorially finiteなので従う.