多重ゼータ値で広さという条件を考えてみる(随時更新)
はじめに
ども、色数です。
考えてみた結果僕自身にも問題があったためmathlogの使い方を考え直して改めて記事を書いていこうと思います。
今回は多重ゼータ値で遊んでみて出た結果を書いてく。(☻-☻)
準備
$\displaystyle \zeta(s):=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$
($s$は$\Re s>1$なる複素数)
・正整数$r$個の組$\mathbf k=(k_1,…,k_r)$をインデックスと呼ぶ
・$ k_r>2$のインデックスを特に収束インデックス(または許容インデックス)と呼ぶ
・$\textup{wt}(\mathbf k):=k_1+\cdots+k_r$と定義し、「重さ」と呼ぶ
・$\textup{dep}(\mathbf k):=r$と定義し、「深さ」と呼ぶ
・許容インデックス$\mathbf k$の$2$以上の成分の個数を$\textup{ht}(\mathbf k)$と書き、「高さ」と呼ぶ
・$\textup{prod}(\mathbf k):=k_1k_2\cdots k_r$と定義し、「広さ」と呼ぶ
・$\{\overbrace{a,…,a}^r\}:=\{a\}^r$と書く
・$\mathbf k_↑:=(k_1,…,k_r+1)$
・$\mathbf k_→:=(k_1,…,k_r,1)$
・$\overleftarrow{\mathbf k}:=(k_r,…,k_1)$と定義し逆転インデックスと呼ぶ
・収束インデックス$\mathbf k$は正整数$a_1,…,a_s$,$b_1,…,b_s$を用いて一意に$(\{1\}^{a_1-1},b_1+1,…,\{1\}^{a_s-1},b_s+1)$と表示でき、それに対し$\mathbf k^{\dagger}:=(\{1\}^{b_s-1},a_s+1,…,\{1\}^{b_1-1},a_1+1)$を双対インデックスと呼ぶ
・$\mathbf k,\mathbf e\in\mathbb Z_{≧0}^r$に対し成分ごとの和を$\mathbf k\oplus\mathbf e$で表す
「広さ」はここで呼びやすいように僕がとりあえず名前をつけただけなのであまり意味はないです。
以降インデックスが入っている$\zeta$($\zeta(\mathbf k)$や$\zeta(s_1,…,s_r)$)は多重ゼータ値、一変数のものはリーマンゼータ関数とする
$\displaystyle \zeta(\mathbf k):=\sum_{0< n_1< n_2\cdots< n_r}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}$
$\mathbf k$が収束インデックスであるとき多重ゼータ値は収束します
$\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}(\textup{dim}_{\mathbb Q}\mathcal{Z}_k)t^k=\frac{1}{1-t^2-t^3}$
$2$以上の整数$k$に対し
$\mathcal Z_k=\textup{span}_{\mathbb Q}\{\zeta(\mathbf k)|\textup{wt}(\mathbf k)=k\}$
(便宜上$\mathcal Z_0=\mathbb Q,\mathcal Z_1=\{0\}$とおく)
$\zeta(\mathbf k)=I(1,\{0\}^{k_1-1},…,1,\{0\}^{k_r-1})$
$\zeta(\mathbf k)=\zeta(\mathbf k^{\dagger})$
反復積分表示からヤコビアンを用いた変数変換で示せるようです。( 余余余さんの記事 がわかりやすかったです)
$\displaystyle \sum_{\mathbf k\in I_0(k,r)}\zeta(\mathbf k)=\zeta(k)$
今回の本筋
$h=r$のとき
$\displaystyle \sum_{\mathbf k\in I_0(q,h,r)}\zeta(\mathbf k)=\sum_{\mathbf k\in I_0(q,h,r)}\zeta\left(\overleftarrow{\mathbf k}\right)$
$I_0(q,h,r)$は広さ$q$,高さ$h$,深さ$r$の収束インデックス全体の集合とする($q\in\mathbb N_{>1}$)
正整数の積が可換であるため、自明.
$\displaystyle \prod_{k=1}^r\zeta(s_k)=\sum_{(a_1,…,a_r)\in\mathfrak{S}_r}\sum_{\mathbf k\in\mathfrak O(s_{a_1},…,s_{a_r})}\zeta(s_{a_1},…,s_{a_r})$
$\mathbf k=(s_1,…,s_r)$、$\mathfrak S_n$は$n$次対称群
$\mathfrak O(k_1,…,k_r):=\{(k_1,…,k_r),(k_1+k_2,…,k_r),(k_1+k_2+k_3,…,k_r),…,(k_1+\cdots+k_r)\}$
$\displaystyle \zeta(s_1)\cdots\zeta(s_r)=\left(\sum_{n_1}\frac{1}{n^{s_1}}\right)\cdots\left(\sum_{n_r=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s_r}}\right)=\left(\sum_{0< n_1\cdots< n_r}+\cdots+\sum_{0< n_r\cdots< n_1}+\sum_{0< n_1=n_2<\cdots< n_r}+\cdots+\sum_{0< n_1=\cdots=n_r}\right)\frac{1}{n_1^{s_1}\cdots n_r^{s_r}}$
よりわかります.
$\displaystyle \left(\zeta(s)\right)^r=\sum_{k=1}^{r}\sum_{\mathbf k\in I_0(sr,k,s^2(r-k+1)(k-1))}\frac{r!}{(r-k+1)!}\zeta(\mathbf k)$
($s>1$,$I_0(a,b,c)$は重さ$a$深さ$b$広さ$c$の収束インデックス)
余余余さんに調和積の解き方を教えていただいたときに着想しました！(とても親切でわかりやすかったです、ありがとうございます)ただ、あまりキレイな形にはならなかったのが残念です。
$\displaystyle \sum_{K\in I(k,r,h)}\prod_{s\in K}\zeta(s)=\binom{k+r+2}{r-1}\zeta(k)+(r-1)\zeta(k)-\sum_{n=2}^r\left(\sum_{\begin{gathered}\mathbf e\in\mathbb Z_{≧0}^n \\\textup{wt}(\mathbf e)=k-n-1\\ \textup{prod}(\mathbf e)=0\end{gathered}}\zeta((\{1\}^n\oplus\mathbf e)_↑)-\sum_{\begin{gathered}\mathbf f\in\mathbb Z_{≧0}^{n-1} \\ \textup{wt}(\mathbf f)=k-n+1\\ \textup{prod}(\mathbf f)>0\end{gathered}}\zeta(((\{1\}^{n-1}\oplus\mathbf f)_→)_↑)\right)$
ここで、$I(k,r,h)$は重さ$k$,深さ$r$,高さ$h$の重複なしの収束インデックス、$\binom{n}{m}$は二項係数
重複なしの収束インデックスとは次のようなもののことです。
$(2,3,4),(2,4,3),…,(4,3,2)$
つまり、インデックスの置換は同一にみなすということです。
次の証明は理解させるためだけの役割です。(本当に証明がいらないぐらい自明なため)
定理5(積)から
$\displaystyle \zeta(s_1)\cdots\zeta(s_r)=\zeta(s_1,…,s_r)+\cdots+\zeta(s_r,…,s_1)+\zeta(s_1+s_2,…,s_r)+\cdots+\zeta(s_1+\cdots+s_r)$
$\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;+\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+$
$\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\vdots\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\vdots$
$\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;+\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+$
$\displaystyle \zeta(s’_1)\cdots\zeta(s’_r)=\zeta(s’_1,…,s’_r)+\cdots+\zeta(s’_r,…,s’_1)+\zeta(s_1+s_2,…,s_r)+\cdots+\zeta(s’_1+\cdots+s’_r)$
というものを考えてみましょう($s’_1,…,s’_r\in I(k,r,h)$)
右辺の多重ゼータ値の総和は$I_0(k,r)$(重さ$k$,深さ$r$の重複ありの収束インデックス)から$1$を成分にもつ全ての収束インデックスの多重ゼータを引いたものであり、また多重ゼータ値の和公式より$I_0(k,r)$に渡る総和は$(r-1)\zeta(k)$(リーマンゼータ)となる.
そして和が$k$となる$r$個の正整数の個数が$\zeta(k)$の個数であるため末項の$\zeta(k)$の係数が$\displaystyle \binom{k+r+2}{r-1}$であることがわかりますね！
$\mathbf k$が収束インデックスであるとき$\displaystyle \sum_{\begin{gather}\mathbf e\in \mathbb Z_{≧0}^{\textup{dep}(\mathbf k)}\\\textup{prod}(\mathbf e)=0\end{gather}}\zeta(\mathbf k\oplus\mathbf e)$は収束する
最後に
ほとんど自明でつまらないものでしたが、積に条件を与えるというのはあまり見たことがなかったので今回の記事でみなさんの考えるきっかけにでもなれたのなら良かったと思います。
また、予想は証明できたら別記事にして投稿するつもりです。
最後まで読んでいただきありがとうございました。(☻-☻*)