テンソル積の普遍性って何のためやねん

代数とかをやってると、普遍性による定義に出会う。これは、欲しい良い感じの性質を満たす群とか加群とか…の同型類を指定する方法である。存在するかどうかわからないけど、存在すれば同型を除いて一意になる。普遍代数学をやると分かることだが、これら代数の圏（もっと一般に普遍関係代数の圏）でのフツーの普遍的構成とは「手持ちの構造が"ある欲しい性質"を満たすように元を付け加えまくって or 場合によっては元を潰して、かつ公理から導けない等式（これを非自明な等式という）を一切満たさないような構成」という意味であることが分かる。というより、そういう意味にたまたま一致する。ここでいうフツーの普遍的構成というのは、余極限、環の局所化、自由、商、、、、とかである。これは分かる。

だが、テンソル積の普遍性。何なん君？射的にやってることだけ観察すると双線形写像を線形写像として扱うもの（？）なのだが、今までの普遍性と違って出来上がった構成物の「普遍的構成」的なモチベがワケワカメである。だが、これはモチベが全然違うことが分かった。この記事は、自分なりに一旦納得したモチベを吐き出した落書きである。

結論を言うと、テンソル積がこんなにピヨピヨされる理由は、豊穣圏をやりたいからである。そもそもテンソル積とは、圏をモノイドにしたときの演算のことである。

豊穣圏

まず、$\mathcal{V}$-豊穣圏$\mathcal{C}$とは$\text{Hom}_\mathcal{C}(a,b)$が圏$\mathcal{V}$の対象になるような圏$\mathcal{C}$のことである。$\text{Hom}$自体に構造を入れたい場面は結構あると思う。例えば、アーベル群とかベクトル空間の圏では簡単に$\text{Hom}(V,W)$にアーベル群やベクトル空間の構造を入れられて、双対ベクトル空間とかの話に持ち込める。ここで$\mathcal{C}$は圏なので合成$$\circ_{a,b,c}:\text{Hom}_\mathcal{C}(b,c)\times\text{Hom}_\mathcal{C}(a,b)\rightarrow\text{Hom}_\mathcal{C}(a,c);$$
が定義されるわけだが、今$\text{Hom}_\mathcal{C}(a,b)$は$\mathcal{V}$の対象なので「$\mathcal{V}$は有限積を持ち、$\circ_{a,b,c}$は$\mathcal{V}$の射である」という仮定が必要だ（普通の圏では合成が写像だが、$\mathcal{V}$は一般の圏なので射が写像じゃないかもしれないのね）。さて、豊穣圏でもＨｏｍ関手を定義したいが、Ｈｏｍ関手の射のほうの対応は$f\circ-$みたいに１変数ごとの射の形だった。なので、Ｈｏｍ関手を定義するためには「$\mathcal{V}$はカルテシアン閉」という仮定が必要だ。それでもいいが、２変数の射を１変数ごとの射にできればそれでいいならもっと弱めて「対称モノイダル閉」にすればいい。まとめると、$\mathcal{V}$が満たしてほしい追加の要請は「対称モノイダル閉(＋α)」である。

対称モノイダル閉って何？

モノイダル圏とは、圏$\mathcal{V}$をモノイドみたいにしたものである。モノイドが集合に二項演算$*$と零項演算$1_M$が入り、結合則と左右単位律を満たす構造であるのと同じように、圏に二項関手$\otimes$と零項関手$I_\mathcal{V}$が入り、結合則と左右単位律を満たすものである。ここで、結合則と左右単位律はイコールではなく自然同型とする（イコールの場合を厳密モノイダル圏というが、きつすぎて$\textbf{Set}$すら満たさない。一般に$X\times(Y\times Z)\neq(X\times Y)\times Z$）。この演算に当たるもの$\otimes$をモノイダル積という。テンソル積は特別なモノイダル積のことだる。