数学の幻想：面白い発想問題二連発！

実はこのゲーム、少なくとも$99$人が助かる方法があるんです！
:(；ﾞﾟωﾟ'):なんだと

驚きですね。一番後ろの人ができるだけ多く、大事な情報を「$\color{red}{\text{赤}}$」か「$\color{blue}{\text{青}}$」で他の数学者達に与えないといけないわけですね。

その情報とは、$\textbf{奇遇性}$です！☆

例えば、一番後ろの人が見える$\color{red}{\text{赤い}}$帽子の数が

・$\color{green}{\text{奇数}}$ならば「$\color{red}{\text{赤}}$」

・$\color{orange}{\text{偶数}}$ならば「$\color{blue}{\text{青}}$」

と言うとしましょう。

その人は$99$個の帽子が見えているので、$\color{blue}{\text{青}}$の奇遇性もすぐに求められますね。

（一番後ろの人が見えている：
$\color{red}{\text{赤い}}$帽子が$\color{green}{\text{奇数個}}$あれば$\color{blue}{\text{青い}}$帽子は$\color{orange}{\text{偶数個}}$
$\color{red}{\text{赤い}}$帽子が$\color{orange}{\text{偶数個}}$あれば$\color{blue}{\text{青い}}$帽子は$\color{green}{\text{奇数個}}$）

今回は$\color{red}{\text{赤}}$と答えたとしましょう。
$\color{red}{\text{赤い}}$帽子は$\color{green}{\text{奇数}}$個見えているわけです。
また、$\color{blue}{\text{青い}}$帽子は$\color{orange}{\text{偶数}}$個だと分かります。

言い換えると、一番目から$n-1$番目の数学者達は$\color{red}{\text{赤い}}$帽子が$\color{green}{\text{奇数}}$個、$\color{blue}{\text{青い}}$帽子が$\color{orange}{\text{偶数}}$個あると分かります。

次の数学者は前に$\color{red}{\text{赤い}}$帽子が$\color{orange}{\text{偶数}}$個しか見えない場合、自分は$\color{red}{\text{赤い}}$帽子をかぶっていると分かるのです。

また、$\color{blue}{\text{青い}}$帽子が$\color{green}{\text{奇数}}$個見える場合は$\color{blue}{\text{青い}}$帽子をかぶっていると分かります。

このさらに次の人は後ろの人が既に言った情報と前にいる人達の帽子の色を見ることで、同じように自分の帽子の色が求まります。

この工程を繰り返すと、一番最初の人以外は全員が自分のかぶっている帽子の色が当てられるわけですね。

説明が少し難しいですね、理解しやすいことを願います。。。

この問題の発展系として、色の数を増やしてみるとどうなるのか、があります。
ぜひ考えてみてください。
実は、この場合も$99$人を助けるれるんです。😱
証明の全体は述べませんが、考え方としては、色を$0,1,2,…,r-1$とし、一番後ろの人は自分の前にいる全員の帽子の色を足していき、その値を$r$で割った余りを発言します。

例えば、$r=2$だった場合（第一回戦の問題）、奇遇性とはその値が$2$で割った値が$0$なのか、$1$なのかだったわけですね。

第一回戦と同様、この第二回戦も驚くべきほど少ない質問の数で全$x_i$が見つかってしまいます。

その解を導くために、まず、問題をもう少し簡単にしてみましょう。
$x_i$たちを正の整数ではなく、一桁の数字$\{0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$に絞ってみましょう。
(このように、ある問題に対面するときは、小さな値で考えてみると嬉しい事があるかも。。)
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考えてみてください。
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この場合だと、質問$1$つで全数字を求められちゃいます！

答えは
$$x_1 + 10x_2+10^2x_3 + … + 10^{n—1}x_n$$です！
この式の答えに$213$と帰ってきたら、
$$\left\{\begin{eqnarray} x_1 & = & 3 \\ x_2 & = & 1 \\ x_3 & = & 2 \end{eqnarray}\right.$$
と簡単に見つけられちゃいます！

次に、$x_i$は定数$k$未満の正の整数だとしましょう。
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考えてみてください。この場合でも質問$1$つでいけちゃいます！
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正解は、$k<10^l$となるような$l$を取り、
$$x_1 + 10^lx_2+10^{2l}x_3 + … + 10^{l(n-1)}x_n$$です！

びっくりでしょう！

すると、第二回戦は、
・質問[1]: $x_1+x_2+…+x_n$
・質問[1]を定数$k$として$k<10^l$となる$l$を定める。
・質問[2]:$x_1 + 10^lx_2+10^{2l}x_3 + … + 10^{l(n-1)}x_n$

以上で全数字を求められましたね！それもたった$2$つ質問で。

この問題の発展系として、掛け算も使っていい場合はどうなるか。また$x_i$は負の数になっても良い場合はどうなるか。ぜひ考えてみてください。
僕の情報先によると、この二つの問題はそれぞれ$1$回、$100$回(つまり近道は無い。。。)質問をすることで全$x_i$が求まるそうです。
しかし、その全体を記すにはこの余白が小さすぎますね😜。また次の機会で。
(僕も考えてみたのですが、なかなか証明ができません。分かる方、ぜひ教えてください！(汗))

(追記：$x_1$を$x_2$回かける、として$x_1^{x_2}$などを作り出してはいけません。
累乗の値は自分が既に知っている（正の）整数でなければいけません（$2、3、983$など）詳細はコメントで。)