第11話（ゼミの資料）
集合圏の定義を使いやすいようにまとめておく
有限極限・有限余極限が存在する．
冪が存在する．
自然数対象をもつ．
well-pointedである．
選択公理が成り立つ．
部分対象分類子が存在する．
有限極限・有限余極限・部分対象分類子を持つ圏について，任意の対象$X$に対して冪対象$\Omega^X$が存在するとき，この圏には冪が存在する．
$ \xymatrix{ \Omega^X\times 1\ar[r]^-{eval} & \Omega \\ X\times 1\ar[u]^-{\tilde\varphi\times id}\ar[ur]_-\varphi } $
Note:$\Omega^X$を冪対象とよぶ．
$ \xymatrix{ &X\ar@{..>}[d]\ar[ld]\ar[rd]&\\ X&X\times X\ar[r]\ar[l] &X } $
Note:対角射は単射である．
$ \xymatrix{ X\ar[r]^{!_X}\ar[d]_{\begin{pmatrix}id\\id\end{pmatrix}} &1\ar[d]^{True}\\ X\times X\ar[r]^-{\delta_X} & \Omega } $
$ \xymatrix{ \Omega^X\times X\ar[r]^-{\in_X} & \Omega\\ X\times X\ar[ur]_{\delta_X}\ar[u]-^{\{\cdot\}_X\times id} } $
Note:$\{\cdot\}_X$を単集合射と呼ぶ．
Note:$\{\cdot\}_X$は単射である．
Recall:$\text{Hom}(X\times A,Y)\cong\text{Hom}(X,Y^A)$
$ \xymatrix{ Y\ar[r]^{!_Y}\ar[d]_{\{\cdot\}_Y} &1\ar[d]^{True}\\ \Omega^Y\ar[r]^-{s_Y} & \Omega } $
Note:$s_Y\circ\hat\in_{X\times Y}$の随伴をcheckと名付ける．
$ \xymatrix{ X\ar[r]^{!_X}\ar[d]_{id_X} &1\ar[d]^{True}\\ X\ar[r]^-{True_X} & \Omega } $
Note:$True_X$の随伴による対応物を$t_X$とかく．
$ \xymatrix{ A\ar[r]^{!_A}\ar[d]_{m} &1\ar[d]^{t_X}\\ \Omega^{X\times Y}\ar[r]^-{check} & \Omega^X } $
Note:$\varepsilon:A\times X\rightarrow Y$が定まることを示す．
$ \xymatrix{ \Omega^X\times X\ar[r]^-{\in_X} & \Omega\\ 1\times X\ar[ur]_{True_X\circ\pi^2}\ar[u]-^{t_X\times id} } $
Note:$\text{True}\,\circ\, !_{A\times X}=s_Y\circ\hat\in_{X\times Y}\circ(m\times id)$
Note:$f:Z\times X\rightarrow Y$から始めて$\hat f:Z\rightarrow A$を構成する．
Note: $t_X\circ !_Z = \text{check}\circ\overline{f}$
Note:$f=\varepsilon\circ(\hat f\times id)$
