6
解説倧孊数孊以䞊

₂𝐹₁(𝑠,1-𝑠; 1; 𝑥²) の 𝐹𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟-𝐿𝑒𝑔𝑒𝑛𝑑𝑟𝑒 𝐞𝑥𝑝𝑎𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛 を蚈算する

玚数
407
6
$$\newcommand{BA}[0]{\begin{align*}} \newcommand{BE}[0]{\begin{equation}} \newcommand{bl}[0]{\boldsymbol} \newcommand{BM}[0]{\begin{matrix}} \newcommand{D}[0]{\displaystyle} \newcommand{EA}[0]{\end{align*}} \newcommand{EE}[0]{\end{equation}} \newcommand{EM}[0]{\end{matrix}} \newcommand{h}[0]{\boldsymbol{h}} \newcommand{k}[0]{\boldsymbol{k}} \newcommand{L}[0]{\left} \newcommand{l}[0]{\boldsymbol{l}} \newcommand{m}[0]{\boldsymbol{m}} \newcommand{n}[0]{\boldsymbol{n}} \newcommand{R}[0]{\right} \newcommand{vep}[0]{\varepsilon} $$
$\D{_2}F_1\L[\BM s,1-s\\1\EM;x^2\R]$の$\text{Fourier-Legendre~Expansion}$

$0.$芁旚

　超幟䜕玚数$\D{_2}F_1\L[\BM s,1-s\\1\EM;x^2\R]$の$\text{Fourier-Legendre~Expansion}$を蚈算したした結果は次の通りです
定理$s$は$|s|<1$を満たす数で$r$を敎数ずする$P_n(x)$は$n$次の$\rm Legendre$倚項匏ずするこのずき以䞋が成り立぀

$\BA\D \frac{\pi}{2}\int_0^1 {_2}F_1\L[\BM s,1-s\\1\EM;x^2\R]P_{2r}(x)\,dx &=\sin\pi s\,(-1)^r\gamma_r\sum_{r< k}\frac{(-1)^{k-1}(4k-1)}{2k\left({(2k)}^2-{(1-2s)}^2\right)\gamma_k} &\qquad(r\ge 0)\\ \frac{\pi}{2}\int_0^1 {_2}F_1\L[\BM s,1-s\\1\EM;x^2\R]P_{2r-1}(x)\,dx &=\sin\pi s\,\frac{(-1)^{r-1}}{2r\left({(2r)}^2-{(1-2s)}^2\right)\gamma_r}\sum_{k=0}^{r-1}(-1)^k(4k+1)\gamma_k &\qquad(r\ge 1)\\ \frac{\pi}{2}{_2}F_1\L[\BM s,1-s\\1\EM;x^2\R]&=\sin\pi s\,\sum_{n=0}^\infty (-1)^n(4n+1)\gamma_n\L(\sum_{n< k}\frac{(-1)^{k-1}(4k-1)}{2k\left({(2k)}^2-{(1-2s)}^2\right)\gamma_k}\R)P_{2n}(x) \EA$

ただし$\D\gamma_n=\frac{{\L(\frac{1}{2},s,1-s\R)}_n}{{\L(1,\frac{1}{2}+s,\frac{3}{2}-s\R)}_n}$ずしおいたす${_2}F_1[\cdot]$は超幟䜕玚数で$\D{_2}F_1\L[\BM a,b\\c\EM;x\R]=\sum_{n=0}^\infty \frac{{(a,b)}_n}{{(c)}_nn!}\,x^n$です$\D{(z)}_n=\prod_{k=1}^n(k-1+z),\quad (a,b)_n=(a)_n(b)_n$です

$1.$緒蚀

　関数$f(x)$を$\text{Legendre}$倚項匏$P_n(x)$の和で衚すこずを$\text{Fourier-Legendre~Expansion}$(略しお$\rm FL$展開)ず呌びたす以䞋に$P_n(x)$の基本的な性質をたずめたす

$P_n(x)$の基本的性質
定矩
$\BA\D P_n(x)=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\binom{k+n}{k}\L(\frac{x-1}{2}\R)^n\EA$
盎亀性
$\D\int_{-1}^1 P_m(x)P_n(x)\,dx=\begin{cases}\dfrac{2}{2n+1} &(m=n)\\ \,\,\,\,\,\,\,~0 &(m\neq n)\end{cases}$
$\textrm{FL}$展開係数
$\BA\D f_n=\frac{2n+1}{2}\int_{-1}^1f(x)P_n(x)\,dx \EA$
$\textrm{FL}$展開
$\BA\D f(x)=\sum_{n=0}^\infty f_nP_n(x)\EA$
内積
$\BA\D \langle f(x),g(x)\rangle=\int_{-1}^1 f(x)g(x)\,dx=\sum_{n=0}^\infty \frac{2f_ng_n}{2n+1} \EA$
挞化匏
$\BA\D (n+1)P_{n+1}(x)-(2n+1)xP_n(x)+nP_{n-1}(x)=0\EA$
挞化匏
$\BA\D P_{n+1}'(x)=(n+1)P_n(x)+xP_n'(x)\EA$
挞化匏
$\BA\D (2n+1)P_n(x)=P_{n+1}'(x)-P_{n-1}'(x)\EA$
挞化匏
$\BA\D P_{n}'(x)=\frac{n(n+1)}{2n+1}\frac{P_{n-1}(x)-P_{n+1}(x)}{1-x^2}\EA$

　詳现は䟋えば ${\color{gray}{\rm Wolfram}}{\color{teal}{\rm MathW{\tiny\!\! 🌐}rld}}$ や $\rm \color{black}{Wikipedia},$ ${\color{black}{\rm H{\small AND}}}{\color{orange}{\rm W}}{\color{black}{\small\rm IKI}}$ に蚘茉されおいたす。${\rm arXiv}$で怜玢すれば $\rm Lecture~notes~on~Legendre~polynomials:~their~origin~and~main~properties$ ${(\rm FÂŽabio M. S. Lima)}$などがありたす。

　この$\rm FL$展開ですがこれ自䜓を䞻題ずした文献は怜玢しおもあたり芋぀かりたせんでした実際の文献をいく぀か瀺したす

$\qquad\surd$ $\rm{Ap’ery}\textrm{-Type~Series~and~Colored~Multiple~Zeta~Values}$ $({\rm Ce~Xua, ~Jianqiang~Zhao})$
$\qquad\surd$ $\textrm{On~the~interplay~between~hypergeometric~series,~Fourier-Legendre~expansions~and~Euler~sums}$ $({\rm Marco~Cantarini,~Jacopo~D’Aurizio})$
$\qquad\surd$ $\textrm{A~NOTE~ON~CLEBSCH-GORDAN~INTEGRAL,~FOURIER-LEGENDRE~EXPANSIONS~AND~CLOSED~FORM~FOR~HYPERGEOMETRIC~SERIES}$ $({\rm Marco~Cantarini})$
$\qquad\surd$ $\rm New~families~of~double~hypergeometric~series~for~constants~involving~\frac{1}{\pi^2}$ $({\rm John~Campbell})$

　これらの文献では次のような等匏が登堎したす

$\BA\D &\sum_{n=0}^\infty \frac{2P_n(2x-1)}{2n+1}=K(\sqrt{x})\\ &\frac{\pi^3}{8}\sum_{n=0}^\infty \frac{(4n+1)\binom{2n}{n}^4}{2^{8n}}P_{2n}(2x-1)=K(\sqrt{x})K(\sqrt{1-x})\\ &\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nP_n(2x-1)^2}{2n+1}=\begin{cases} \D\frac{K(\sqrt{x})^2}{\pi} & 0\le x\le \frac{1}{2} \\ \D\frac{K(\sqrt{1-x})^2}{\pi} & \frac{1}{2}\le x\le 1 \end{cases} \EA$

　第䞀皮完党楕円関数$K(x)$の定矩は

$\BA\D K(x)&=\int_0^\frac{\pi}{2} \frac{dt}{\sqrt{1-x^2\sin^2 t}} \\ K'(x)&=K(\sqrt{1-x^2}) \EA$

です。これを芋お$K(x)$の$\rm FL$展開はどうなるのかず思いたしたが怜玢しおも芋぀かりたせんでしたので自分で考えたした

$2.$$K(x)$の$\rm FL$展開

　$K(x)$の$\rm FL$展開を考えるにあたっお先ず展開係数の具䜓的な蚈算結果を調べたした${\color{BrickRed}{\rm Wolfram}}{\color{RedOrange}{\rm Alpha}}$によれば

$\BA\D \int_{-1}^1 K(x)P_0(x)\,dx&=4\beta(2)\\ \int_{-1}^1 K(x)P_2(x)\,dx&=-\frac{1}{2}\L(\beta(2)-\frac{3}{2}\R)\\ \int_{-1}^1 K(x)P_4(x)\,dx&=\frac{3^3}{2^8}\L(\beta(2)-\frac{25}{54}\R)\\ \int_{-1}^1 K(x)P_6(x)\,dx&=-\frac{5^3}{2^{11}}\L(\beta(2)-\frac{973}{750}\R)\\ \EA$

ずのこずです$\beta(2)$は$\rm Catalan's~Constant$ですこれにより

$\BA\D \int_{-1}^1 K(x)P_{2n}(x)\,dx=2{(-1)}^n\frac{\binom{2n}{n}^3}{2^{6n}}\sum_{n< m}\frac{{(-1)}^{m-1}2^{6m}(4m-1)}{{(2m)}^3\binom{2m}{m}^3} \EA$

ず掚枬したした$K(x)$は偶関数なので奇数の展開係数は$0$です蚌明はより䞀般的なものを埌に瀺したす

$3.$$K_s(x)$の$\rm FL$展開

　$K(x)$の$\rm FL$展開係数の匏は挞化匏を導出し掚枬した匏がそれを満たすこずで蚌明したしたその際に補助的に有甚であったのが第二皮完党楕円積分$E(x)$です$K(x)$ず$E(x)$のあいだには埮分方皋匏や$\rm Legendre~relation$ずいった郜合がいい関係匏が成り立ちたすその埌次の文献の䞭に興味深い匏を芋぀けたした

$\qquad\surd$ $\textrm{Legendre-type relations for generalized complete elliptic integrals}$ $(\rm J. G. WAN )$

$\BA\D K_s(x)E_s'(x)+K_s'(x)E_s(x)-K_s(x)K_s'(x)=\frac{\pi}{2}\frac{\cos\pi s}{1+2s}\EA$

　ただし$\D K_s(x)=\frac{\pi}{2}{_2}F_1\L[\BM\frac{1}{2}-s,\frac{1}{2}+s\\1\EM;x^2\R],\quad E_s(x)=\frac{\pi}{2}{_2}F_1\L[\BM-\frac{1}{2}-s,\frac{1}{2}+s\\1\EM;x^2\R],\quad K_s'(x)=K_s(\sqrt{1-x^2}),\quad E_s'(x)=E_s(\sqrt{1-x^2})$です
これを受けお$\D\frac{\pi}{2}{_2}F_1\L[\BM s,1-s\\1\EM;x^2\R]$の$\rm FL$展開係数を蚈算できるのではないかず思いたした結果ずしお次の通りに蚈算できたした

定理$s$は$|s|<1$を満たす数で$r$を敎数ずする$P_n(x)$は$n$次の$\rm Legendre$倚項匏ずするこのずき以䞋が成り立぀

$\BA\D \frac{\pi}{2}\int_0^1 {_2}F_1\L[\BM s,1-s\\1\EM;x^2\R]P_{2r}(x)\,dx &=\sin\pi s\,(-1)^r\gamma_r\sum_{r< k}\frac{(-1)^{k-1}(4k-1)}{2k\left({(2k)}^2-{(1-2s)}^2\right)\gamma_k} &\qquad(r\ge 0)\\ \frac{\pi}{2}\int_0^1 {_2}F_1\L[\BM s,1-s\\1\EM;x^2\R]P_{2r-1}(x)\,dx &=\sin\pi s\,\frac{(-1)^{r-1}}{2r\left({(2r)}^2-{(1-2s)}^2\right)\gamma_r}\sum_{k=0}^{r-1}(-1)^k(4k+1)\gamma_k &\qquad(r\ge 1)\\ \frac{\pi}{2}{_2}F_1\L[\BM s,1-s\\1\EM;x^2\R]&=\sin\pi s\,\sum_{n=0}^\infty (-1)^n(4n+1)\gamma_n\L(\sum_{n< k}\frac{(-1)^{k-1}(4k-1)}{2k\left({(2k)}^2-{(1-2s)}^2\right)\gamma_k}\R)P_{2n}(x) \EA$

　蚌明の前に定矩および補題を明瀺したす

定矩
$\BA\D K_s=K_s(x)=\frac{\pi}{2}{_2}F_1\L[\BM s,1-s\\1\EM;x^2\R]\EA$
定矩
$\BA\D E_s=E_s(x)=\frac{\pi}{2}{_2}F_1\L[\BM s,-s\\1\EM;x^2\R]\EA$
定矩
$\BA\D P_n=P_n(x)\EA$
定矩
$\BA\D K_n=\int_0^1 K_sP_{2n}\,dx\EA$
定矩
$\BA\D E_n=\int_0^1 E_sP_{2n}\,dx\EA$

埮分方皋匏
$\BA\D \frac{d}{dx}K_s=\frac{2s}{x}\L(\frac{E_s}{1-x^2}-K_s\R)\EA$
埮分方皋匏
$\BA\D \frac{d}{dx}E_s=\frac{2s}{x}(E_s-K_s)\EA$
埮分方皋匏
$\BA\D \frac{d}{dx}xK_s=\frac{2sE_s}{1-x^2}+(1-2s)K_s\EA$
埮分方皋匏
$\BA\D \frac{d}{dx}xE_s=(1+2s)E_s-2sK_s\EA$
挞化匏
$\BA\D P_{n+1}'(x)=(n+1)P_n(x)+xP_n'(x)\EA$
挞化匏
$\BA\D (2n+1)P_n(x)=P_{n+1}'(x)-P_{n-1}'(x)\EA$
挞化匏
$\BA\D P_{n}'(x)=\frac{n(n+1)}{2n+1}\frac{P_{n-1}(x)-P_{n+1}(x)}{1-x^2}\EA$

では蚌明に移りたす
蚌明党䜓の流れは$K_n$を蚈算しお埗られる挞化匏ず$E_n$を蚈算しお埗られる挞化匏から$K_n$の隣接項間挞化匏を導き䞀般項の衚瀺匏がそれを満たすこずを瀺したす
　たず$K_n$を蚈算したす

$\BA\D K_n&=\int_0^1 K_sP_{2n}\,dx\\ &=\frac{1}{2n+1}\int_0^1 K_s(P_{2n+1}'-xP_{2n}')\,dx& &({\bf 挞化匏})\\ &=\frac{1}{2n+1}\int_0^1 K_sP_{2n+1}'\,dx+\frac{1}{2n+1}(P_{2n}-1)\L(\frac{2sE_s}{1-x^2}+(1-2s)K_s)\R)\,dx& &({\bf 郚分積分埮分方皋匏}) \EA$

　䞡蟺$(2n+1)$を掛けお差をずるず

$\BA\D (2n+1)K_n-(2n-1)K_{n-1}&=\int_0^1 K_s(P_{2n+1}'-P_{2n-1}')\,dx+\int_0^1 (P_{2n}-P_{2n-2})\L(\frac{2sE_s}{1-x^2}+(1-2s)K_s)\R)\,dx\\ &=(4n+1)K_n+(1-2s)(K_n-K_{n-1})-2s\int_0^1 \frac{P_{2n-2}-P_{2n}}{1-x^2}\,E_s\,dx& &({\bf 挞化匏})\\ &=(4n+2-2s)K_n-(1-2s)K_{n-1}-\frac{2s(4n-1)}{2n(2n-1)}\int_0^1 E_sP_{2n-1}'\,dx& &({\bf 挞化匏})\\ &=(4n+2-2s)K_n-(1-2s)K_{n-1}-\frac{2s(4n-1)}{2n(2n-1)}\int_0^1 E_s((2n-1)P_{2n-2}+xP_{2n-2}')\,dx& &({\bf 挞化匏})\\ &=(4n+2-2s)K_n-(1-2s)K_{n-1}-\frac{2s(4n-1)}{2n(2n-1)}\L((2n-1)E_{n-1}+E_s(1)-\int_0^1P_{2n-2}((1+2s)E_s-2sK_s)\,dx\R)& &({\bf 郚分積分埮分方皋匏})\\ &=(4n+2-2s)K_n-(1-2s)K_{n-1}-\frac{2s(4n-1)}{2n(2n-1)}\L((2n-2-2s)E_{n-1}+2sK_{n-1}+E_s(1)\R) \EA$

　敎理するず

$\BA\D n(2n-1)(2n+1-2s)K_n+(2n(2n-1)(n-1+s)-2s^2(4n-1))K_{n-1}=s(4n-1)(2(n-1-s)E_{n-1}+E_s(1))\EA$

ずなりたす$\D E_s(1)=\frac{\sin\pi s}{2s}$です次に$E_n$を蚈算したす

$\BA\D E_n&=\int_0^1 E_sP_{2n}\,dx\\ &=\frac{1}{2n+1}\int_0^1 E_sP_{2n+1}'\,dx+\frac{1}{2n+1}\int_0^1 (P_{2n}-1)((1+2s)E_s-2sK_s)\,dx& &({\bf 挞化匏郚分積分埮分方皋匏}) \EA$

䞡蟺$(2n+1)$を掛けお差をずるず

$\BA\D (2n+1)E_n-(2n-1)E_{n-1}&=\int_0^1 E_s(P_{2n+1}'-P_{2n-1}')\,dx+\int_0^1 (P_{2n}-P_{2n-2})((1+2s)E_s-2sK_s)\,dx\\ &=(4n+1)E_n+(1+2s)(E_n-E_{n-1})-2s(K_n-K_{n-1}) \EA$

　敎理するず

$\BA\D (2n+1+2s)E_n+(2n-2-2s)E_{n-1}=2s(K_n-K_{n-1}) \EA$

ずなりたす
　぀の挞化匏から$E_n$を消去しお埗られる隣接項間挞化匏に

$\BA\D K_n=(-1)^n\gamma_n\L(K_0-\sin\pi s\,\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k-1}(4k-1)}{2k\left({(2k)}^2-{(1-2s)}^2\right)\gamma_k}\R)\qquad\cdots\qquad ({\bf A})\EA$

を代入しお成り立぀こずを確認したすこれは手蚈算は面倒ですが頑匵れば簡単にわかりたすあずは初期条件ずしお䞊匏で$n=1$ずした

$\BA\D \frac{K_1}{\gamma_1}+\frac{K_0}{\gamma_0}=\frac{3\sin\pi s}{2(2^2-(1-2s)^2)\gamma_1}\EA$

が成り立぀こずを蚌明すればよいですこれは積分を蚈算しお蚌明するこずができたす倧雑把な流れを以䞋に瀺したす

　①　$\D \frac{2}{3}K_1+\frac{1}{3}K_0=\int_0^1 x^2K_s\,dx$
　②　郚分積分$x$を積分$xK_s$を埮分
　③　$\D\int_0^1 x^2K_s\,dx$が出珟するので消去するず$\D\frac{3-2s}{3}K_1+\frac{2s}{3}K_0=sE_0\quad\cdots {\bf (ã‚€)}$
　④　$E_0$を郚分積分$1$を積分$E_s$を埮分するず$(1+2s)E_0=E_s(1)+2sK_0\quad\cdots {\bf (ロ)}$
　⑀　(ã‚€)ず(ロ)を解く

　たた匏$(\bf A)$を導く挞化匏

$\BA\D 2n\L((2n)^2-(1-2s)^2\R)K_n+(2n-1)\L((2n-1)^2-(1-2s)^2\R)K_{n-1}=(4n-1)\sin \pi s\qquad\cdots\qquad ({\bf B})\EA$

より$\D\lim_{n\to \infty}n^{m}K_n$が$0$でない有限の倀に収束する条件は$m=2$ですいた$\D\frac{1}{\gamma_n}\approx n^\frac{3}{2}×{\bf Const.}\quad(n\gg1)$なので$\D \lim_{n\to\infty}\frac{K_n}{\gamma_n}=0$ずなりたすしたがっお

$\BA\D K_0&=\sin\pi s\,\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}(4k-1)}{2k\left({(2k)}^2-{(1-2s)}^2\right)\gamma_k}\\ K_n&=\sin\pi s\,(-1)^n\gamma_n\sum_{n< k} \frac{(-1)^{k-1}(4k-1)}{2k\left({(2k)}^2-{(1-2s)}^2\right)\gamma_k} \EA$

ず曞けたすこれで蚌明は完了したした■
　この蚌明における最倧のりィヌクポむントは$K_n$をどのように掚枬したのかずいうこずですこれはもずもず$\D s=\frac{1}{2}$の堎合を怜蚎しおいた際に掚枬した匏

$\BA\D k_n=\int_0^1 K(x)P_{2n}(x)\,dx=(-1)^n\beta_n^3\sum_{n< m}\frac{(-1)^{m-1}(4m-1)}{(2m)^3\beta_m^3}\qquad\L(\beta_r=\frac{\binom{2r}{r}}{2^{2r}}\R)\EA$

が満たす挞化匏$\BA\D (2n)^3k_n+(2n-1)^3k_{n-1}=4n-1\EA$をもずに掚枬した挞化匏$(\bf B)$から䜜りたしたなので積分を蚈算しお挞化匏を䜜る段階でこの匏を導出すれば初期条件云々も無くスマヌトな蚌明になったず思いたす
　奇数の堎合の積分に関しおは䞊述ずほが同じ流れで蚌明できたすので省略したす

$4.$考察

　今回うたく蚈算できたのは察ずなるような二぀の関数$K_s$ず$E_s$をうたく定矩できたこずによるあるいは$K(x)$が$\rm Legendre~function$の特別な堎合であるこずによるず思いたす$K_s,E_s$を参考に埮分方皋匏が郜合がよくなるように぀の関数${_4}F_3\L[\BM s,s,1-s,1-s\\1,1,1\EM;x^2\R],~{_4}F_3\L[\BM s,s,-s,1-s\\1,1,1\EM;x^2\R],~{_4}F_3\L[\BM s,s,-s,-s\\1,1,1\EM;x^2\R]$を定矩しおそれぞれ蚈算しお挞化匏を求めれば展開係数の閉圢匏はずもかく具䜓倀は求たりそうな気がしたす

投皿日27日前
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コメント

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