$$\newcommand{arcosh}[0]{\operatorname{arcosh}}
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$$
突然ですが問題です
次の問題について考えてみます.
正整数$n\vphantom0$に対し,数列$(a_n)$を一般項
$ \D a_n = \frac1{n^2 \sin n} $ によって定める.このとき,数列$(a_n)$の収束および発散を判定せよ.また,収束するならばその値を求めよ.
この数列は収束するのか?
実際に$n$に数値を代入してみれば,
$ \begin{array}{cccr}\hline
n & a_n && \text{approximation} \\[3pt] \hline
1 & \D\frac1{1^2\sin1} & = & 1.18839\,51057\,78121\,21626\ldots \\[3pt]
2 & \D\frac1{2^2\sin2} & = & 0.27493\,75425\,73654\,11668\ldots \\[3pt]
3 & \D\frac1{3^2\sin3} & = & 0.78735\,19328\,59687\,32424\ldots \\[3pt]
4 & \D\frac1{4^2\sin4} & = & -0.08258\,42943\,00681\,39860\ldots \\[3pt]
5 & \D\frac1{5^2\sin5} & = & -0.04171\,34085\,10856\,23279\ldots \\[3pt]
6 & \D\frac1{6^2\sin6} & = & -0.09941\,38763\,12622\,37881\ldots \\[3pt]
7 & \D\frac1{7^2\sin7} & = & 0.03106\,32869\,91096\,53778\ldots \\[3pt]
8 & \D\frac1{8^2\sin8} & = & 0.01579\,30659\,12501\,51716\ldots \\[3pt]
9 & \D\frac1{9^2\sin9} & = & 0.02995\,66252\,29036\,90683\ldots \\[3pt]
10 & \D\frac1{10^2\sin10} & = & -0.01838\,16396\,08896\,65588\ldots \\[3pt]
11 & \D\frac1{11^2\sin11} & = & -0.00826\,45437\,48307\,51348\ldots \\[3pt]
12 & \D\frac1{12^2\sin12} & = & -0.01294\,22194\,29044\,71176\ldots \\[3pt] \hline
\end{array} $ のようになり「数列は収束し,その値はゼロかな?」との見当がつきますが,実際に手を動かしてみると,この問題を解くのは思ったよりも難しい,ということがわかります.そもそも,この数列の収束性がかなり怪しいです.
やってくれましたね
というのも,こうなってしまっている原因は分母の${\sin n}$という厄介な存在によるもので,これがある程度大きい値をとれば項はゼロに近い値をとりますが,一方で小さい(ゼロに近い)値をとってしまうと評価のしようがないです.かなり難しいですね.
とりあえず手を動かしてみよう
まず,${\sin n}$がどれだけ小さい値をとることができるかについて考えてみます.つまり,ある$n$に対し$|{n-k\pi}|$が最小となるような正整数$k$を考えます.そしてこの$k$が
$ \D (1.2.1) \quad \frac\pi2 > |{n-k\pi}| > \frac1{k^\kappa} $ のような不等式を満足するように選んだとき,
$ \begin{align}
|{n^2\sin n}|
&= n^2 \sin |{n-k\pi}| \\[3pt]
&> n^2 \, \Biggl|{ (n-k\pi) \biggl[{ 1 - \frac16 \, (n-k\pi)^2 }\biggr] }\Biggr| & \text{Taylor's theorem} \\[3pt]
&> \frac{n^2}{k^\kappa} \biggl({ 1 - \frac{\pi^2}{24} }\biggr) \\[3pt]
&> \frac{n^2}{k^\kappa} \biggl({ 1 - \frac{10}{24} }\biggr) \\[3pt]
&\phantom{>} = \frac{7n^2}{12k^\kappa} \\[3pt]
&\phantom{>} > \frac{A}{n^{\kappa-2}} & \text{where ${A = \frac7{12}}$}
\end{align} $ となることから,$\kappa <2$であれば数列は収束することがわかります.分かりやすさのため,定数部分は$A$としてまとめました.
不等式の見方を変えてみるぞ
不等式$(1.2.1)$の中辺と右辺を$k$で割ると,
$ \D \biggl|{ \frac{n}k - \pi }\biggr| > \frac1{k^{\kappa+1}} \, \Longleftrightarrow \, \biggl|{ \pi - \frac{n}k }\biggr| > \frac1{k^{\kappa+1}} $ が得られます.この式は,円周率$\pi$を有理数$n/k$で近似したときの誤差の下限が$1/k^{\kappa+1}$であることを表しています.これに関連しているのが Diophantine 近似と呼ばれるもので,以下の定理が成り立つことが知られています.
Dirichlet の近似定理
任意の無理数$\alpha$に対して,不等式
$ \D 0 < \biggl|{ \alpha - \frac{p}q }\biggr| < \frac1{q^2} $ を満たす既約分数$p/q$は無限個存在する.
Dirichlet の近似定理では(ある無理数に対する)近似分数が無限個存在することを主張していますが,右辺の近似精度を高めることにより,近似分数は有限個となります.
Liouville の定理
任意の有理数体上次数$n$の実代数的無理数$\beta$に対して,不等式
$ \D 0 < \biggl|{ \beta - \frac{p}q }\biggr| < \frac1{q^d} $ を満たす既約分数$p/q$は有限個存在する.ただし,ここで$d>n$である.つまり,任意の$\beta$に対して,ある$\beta$に依存する正定数$c(\beta)$が存在して,
$ \D \biggl|{ \beta - \frac{p}q }\biggr| > \frac{c(\beta)}{q^d} $ が任意の$p/q$について成り立つ.
上の定理は,右辺の近似精度が代数的無理数$\beta$の次数$n$に依存しています.この制限を取り外し,近似精度を大幅に緩めたものが,以下の定理です.
Roth の定理
任意の実代数的無理数$\gamma$に対して,不等式
$ \D 0 < \biggl|{ \gamma - \frac{p}q }\biggr| < \frac1{q^{2+\varepsilon}} $ を満たす有理数$p/q$は有限個存在する.ただし,ここで$\varepsilon>0$である.つまり,任意の$\gamma$に対して,ある$\gamma$と$\varepsilon$に依存する正定数$C(\gamma,\,\varepsilon)$が存在して,
$ \D \biggl|{ \gamma - \frac{p}q }\biggr| > \frac{C(\gamma,\,\varepsilon)}{q^{2+\varepsilon}} $ が任意の$p/q$について成り立つ.
上の定理で$\varepsilon=0$とすると,これは Dirichlet の近似定理に一致します.つまり,Roth の定理は近似分数が有限個存在するか,無限個存在するかの境目は$2$である,という非常に驚くべき結果を主張しています.
無理数度を導入する
話が大きく脱線してしまいましたが,この節から本題に戻ります.この節では,無理数度と呼ばれるある種の尺度を導入します.
無理数度
実数$\alpha$に対し,
$ \D \biggl|{\alpha - \frac{p}q}\biggr| < \frac1{q^\kappa} $ を満たす既約分数$p/q$が有限個存在しうる正数$\kappa$の下限を$\alpha$の 無理数度 といい,記号$\mu(\alpha)$で表す.
Dirichlet の近似定理と Roth の定理より,任意の実代数的無理数$\gamma$に対しその無理数度は$\mu(\gamma)=2$となります.また,一般の有理数$p/q$に対しては$\mu(p/q)=1$となることが知られているようです.
では,円周率$\pi$の無理数度はいくつでしょうか?(円周率は超越数である(代数的数ではない)ので,その無理数度は簡単に計算することができません.)
$\mu(\pi)>3$のとき
無理数度の定義より,
$ \D \biggl|{\pi - \frac{n}k}\biggr| < \frac1{k^3} \, \Longleftrightarrow \, |{n - k\pi}| < \frac1{k^2} $ となる有理数$n/m$が無限個存在します.$n$を整数,$k$を正整数とすると$\text{RHS}\leq1$,また$\pi<4$ですから$n<5k$と決定されます.よって,
$ \begin{align}
|{n^2 \sin n}|
&= n^2 \sin |{n - k\pi}| \\[3pt]
&\leq n^2 \, |n - k\pi| \\[3pt]
&< 25k^2 \cdot k^{-2} \\[3pt]
&\phantom{<} = 25 & \text{i.e. ${|{a_n}|>\D\frac1{25}}$}
\end{align} $ したがって,もとの数列$a_n$はその絶対値が$1/25$より大きくなる項が無限個存在するため,この数列は$0$に収束しないことがわかります.さらにこの数列は明らかに符号が無限回反転しますから,結果として発散することがわかります.
$\mu(\pi)<3$のとき
無理数度の定義より,ある正数$\varepsilon$に対して,
$ \D \biggl|{\pi - \frac{n}k}\biggr| > \frac1{k^{3-\varepsilon}} \, \Longleftrightarrow \, |{n - k\pi}| > \frac1{k^{2-\varepsilon}} $ が成り立ちます.また,
$ \D |{n-k\pi}| < \frac\pi2 $ となるように$k$を選びます.同様に Taylor の定理を利用すると,同じ考え方で$n>k$なので,
$ \begin{align}
|{n^2\sin n}|
&= n^2 \sin |{n-k\pi}| \\[3pt]
&> n^2 \, \Biggl|{ (n-k\pi) \biggl[{ 1 - \frac16 \, (n-k\pi)^2 }\biggr] }\Biggr| & \text{Taylor's theorem} \\[3pt]
&> \frac{n^2}{k^{2-\varepsilon}} \biggl({ 1 - \frac{\pi^2}{24} }\biggr) \\[3pt]
&> \frac{n^2}{k^{2-\varepsilon}} \biggl({ 1 - \frac{10}{24} }\biggr) \\[3pt]
&\phantom{>} = \frac{7n^2}{12k^{2-\varepsilon}} \\[3pt]
&\phantom{>} > An^{\varepsilon} & \text{where ${A = \frac7{12}}$}
\end{align} $ したがって,もとの数列$a_n$の絶対値について$|{a_n}| = O(n^{-\varepsilon})$となるため収束します.
円周率の無理数度はいくつ?
残念ながら,円周率の無理数度は$2\leq\mu(\pi)\leq7.10320534\ldots$ということしか知られていないようです.つまり,数列$a_n$の収束および発散はこのアプローチでは特定できないわけですが,その対偶として「数列$a_n$が発散するならば$\mu(\pi)>3$,収束するならば$\mu(\pi)<3$」ということがわかります.
おわりに
得られた結果をまとめると,
正整数$n$に対して定まる数列
$ \D a_n = \frac1{n^2 \sin n} $ は,$\mu(\pi)<3$のとき収束し,$\mu(\pi)>3$のとき発散する.
となります.簡単な見た目をしていますが,ここまで話を掘り下げることができるとは思ってもおらず,非常に面白い問題でした.この数列の収束・発散が分かれば,大きな発見になると思います.無理数度という言葉も初めて目にしました.
なお,この投稿でテーマにした数列と似た数列の極限
$ \D \lim_{n\to\infty} \frac1{n\sin n} $ は,同じアプローチの仕方を利用することで発散することがわかります.(ただし WolframAlpha では「解が求められません」となりました.)
また級数についても同様なことがあり,
$ \D \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^3 \sin^2 n} $ の収束および発散は未解決問題であるようです.詳しくは「Convergence of $\sum(n^3\sin^2 n)^{-1}$: MathOverflow」を参照してください.こちらも,円周率の無理数度に関連しています.
参考文献
- Vladislav K., Salikhov (2010). “On the Measure of Irrationality of the Number Pi”. Matematicheskie Zametki 20 (4): 583-593; Mathematical Notes 88 (4): 563-573.
- Zeilberger, Doron; Zudilin, Wadim (2020). “The Irrationality Measure of Pi is at most 7.103205334137...”. Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory (Mathematical Sciences Publishers) 9 (4): 407-419.