$$\newcommand{arcosh}[0]{\operatorname{arcosh}}
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$$
突然ですが問題です
次の問題について考えてみます．
正整数$n\vphantom0$に対し，数列$(a_n)$を一般項
$ \D a_n = \frac1{n^2 \sin n} $ によって定める．このとき，数列$(a_n)$の収束および発散を判定せよ．また，収束するならばその値を求めよ．
この数列は収束するのか？
実際に$n$に数値を代入してみれば，
$ \begin{array}{cccr}\hline
n & a_n && \text{approximation} \\[3pt] \hline
1 & \D\frac1{1^2\sin1} & = & 1.18839\,51057\,78121\,21626\ldots \\[3pt]
2 & \D\frac1{2^2\sin2} & = & 0.27493\,75425\,73654\,11668\ldots \\[3pt]
3 & \D\frac1{3^2\sin3} & = & 0.78735\,19328\,59687\,32424\ldots \\[3pt]
4 & \D\frac1{4^2\sin4} & = & -0.08258\,42943\,00681\,39860\ldots \\[3pt]
5 & \D\frac1{5^2\sin5} & = & -0.04171\,34085\,10856\,23279\ldots \\[3pt]
6 & \D\frac1{6^2\sin6} & = & -0.09941\,38763\,12622\,37881\ldots \\[3pt]
7 & \D\frac1{7^2\sin7} & = & 0.03106\,32869\,91096\,53778\ldots \\[3pt]
8 & \D\frac1{8^2\sin8} & = & 0.01579\,30659\,12501\,51716\ldots \\[3pt]
9 & \D\frac1{9^2\sin9} & = & 0.02995\,66252\,29036\,90683\ldots \\[3pt]
10 & \D\frac1{10^2\sin10} & = & -0.01838\,16396\,08896\,65588\ldots \\[3pt]
11 & \D\frac1{11^2\sin11} & = & -0.00826\,45437\,48307\,51348\ldots \\[3pt]
12 & \D\frac1{12^2\sin12} & = & -0.01294\,22194\,29044\,71176\ldots \\[3pt] \hline
\end{array} $ のようになり「数列は収束し，その値はゼロかな？」との見当がつきますが，実際に手を動かしてみると，この問題を解くのは思ったよりも難しい，ということがわかります．そもそも，この数列の収束性がかなり怪しいです．
やってくれましたね
というのも，こうなってしまっている原因は分母の${\sin n}$という厄介な存在によるもので，これがある程度大きい値をとれば項はゼロに近い値をとりますが，一方で小さい（ゼロに近い）値をとってしまうと評価のしようがないです．かなり難しいですね．
とりあえず手を動かしてみよう
まず，${\sin n}$がどれだけ小さい値をとることができるかについて考えてみます．つまり，ある$n$に対し$|{n-k\pi}|$が最小となるような正整数$k$を考えます．そしてこの$k$が
$ \D (1.2.1) \quad \frac\pi2 > |{n-k\pi}| > \frac1{k^\kappa} $ のような不等式を満足するように選んだとき，
$ \begin{align}
|{n^2\sin n}|
&= n^2 \sin |{n-k\pi}| \\[3pt]
&> n^2 \, \Biggl|{ (n-k\pi) \biggl[{ 1 - \frac16 \, (n-k\pi)^2 }\biggr] }\Biggr| & \text{Taylor's theorem} \\[3pt]
&> \frac{n^2}{k^\kappa} \biggl({ 1 - \frac{\pi^2}{24} }\biggr) \\[3pt]
&> \frac{n^2}{k^\kappa} \biggl({ 1 - \frac{10}{24} }\biggr) \\[3pt]
&\phantom{>} = \frac{7n^2}{12k^\kappa} \\[3pt]
&\phantom{>} > \frac{A}{n^{\kappa-2}} & \text{where ${A = \frac7{12}}$}
\end{align} $ となることから，$\kappa <2$であれば数列は収束することがわかります．分かりやすさのため，定数部分は$A$としてまとめました．
不等式の見方を変えてみるぞ
不等式$(1.2.1)$の中辺と右辺を$k$で割ると，
$ \D \biggl|{ \frac{n}k - \pi }\biggr| > \frac1{k^{\kappa+1}} \, \Longleftrightarrow \, \biggl|{ \pi - \frac{n}k }\biggr| > \frac1{k^{\kappa+1}} $ が得られます．この式は，円周率$\pi$を有理数$n/k$で近似したときの誤差の下限が$1/k^{\kappa+1}$であることを表しています．これに関連しているのが Diophantine 近似と呼ばれるもので，以下の定理が成り立つことが知られています．
Dirichlet の近似定理
任意の無理数$\alpha$に対して，不等式
$ \D 0 < \biggl|{ \alpha - \frac{p}q }\biggr| < \frac1{q^2} $ を満たす既約分数$p/q$は無限個存在する．
Dirichlet の近似定理では（ある無理数に対する）近似分数が無限個存在することを主張していますが，右辺の近似精度を高めることにより，近似分数は有限個となります．
Liouville の定理
任意の有理数体上次数$n$の実代数的無理数$\beta$に対して，不等式
$ \D 0 < \biggl|{ \beta - \frac{p}q }\biggr| < \frac1{q^d} $ を満たす既約分数$p/q$は有限個存在する．ただし，ここで$d>n$である．つまり，任意の$\beta$に対して，ある$\beta$に依存する正定数$c(\beta)$が存在して，
$ \D \biggl|{ \beta - \frac{p}q }\biggr| > \frac{c(\beta)}{q^d} $ が任意の$p/q$について成り立つ．
上の定理は，右辺の近似精度が代数的無理数$\beta$の次数$n$に依存しています．この制限を取り外し，近似精度を大幅に緩めたものが，以下の定理です．
Roth の定理
任意の実代数的無理数$\gamma$に対して，不等式
$ \D 0 < \biggl|{ \gamma - \frac{p}q }\biggr| < \frac1{q^{2+\varepsilon}} $ を満たす有理数$p/q$は有限個存在する．ただし，ここで$\varepsilon>0$である．つまり，任意の$\gamma$に対して，ある$\gamma$と$\varepsilon$に依存する正定数$C(\gamma,\,\varepsilon)$が存在して，
$ \D \biggl|{ \gamma - \frac{p}q }\biggr| > \frac{C(\gamma,\,\varepsilon)}{q^{2+\varepsilon}} $ が任意の$p/q$について成り立つ．
上の定理で$\varepsilon=0$とすると，これは Dirichlet の近似定理に一致します．つまり，Roth の定理は近似分数が有限個存在するか，無限個存在するかの境目は$2$である，という非常に驚くべき結果を主張しています．
無理数度を導入する
話が大きく脱線してしまいましたが，この節から本題に戻ります．この節では，無理数度と呼ばれるある種の尺度を導入します．
無理数度
実数$\alpha$に対し，
$ \D \biggl|{\alpha - \frac{p}q}\biggr| < \frac1{q^\kappa} $ を満たす既約分数$p/q$が有限個存在しうる正数$\kappa$の下限を$\alpha$の 無理数度 といい，記号$\mu(\alpha)$で表す．
Dirichlet の近似定理と Roth の定理より，任意の実代数的無理数$\gamma$に対しその無理数度は$\mu(\gamma)=2$となります．また，一般の有理数$p/q$に対しては$\mu(p/q)=1$となることが知られているようです．
では，円周率$\pi$の無理数度はいくつでしょうか？（円周率は超越数である（代数的数ではない）ので，その無理数度は簡単に計算することができません．）
$\mu(\pi)>3$のとき
無理数度の定義より，
$ \D \biggl|{\pi - \frac{n}k}\biggr| < \frac1{k^3} \, \Longleftrightarrow \, |{n - k\pi}| < \frac1{k^2} $ となる有理数$n/m$が無限個存在します．$n$を整数，$k$を正整数とすると$\text{RHS}\leq1$，また$\pi<4$ですから$n<5k$と決定されます．よって，
$ \begin{align}
|{n^2 \sin n}|
&= n^2 \sin |{n - k\pi}| \\[3pt]
&\leq n^2 \, |n - k\pi| \\[3pt]
&< 25k^2 \cdot k^{-2} \\[3pt]
&\phantom{<} = 25 & \text{i.e. ${|{a_n}|>\D\frac1{25}}$}
\end{align} $ したがって，もとの数列$a_n$はその絶対値が$1/25$より大きくなる項が無限個存在するため，この数列は$0$に収束しないことがわかります．さらにこの数列は明らかに符号が無限回反転しますから，結果として発散することがわかります．
$\mu(\pi)<3$のとき
無理数度の定義より，ある正数$\varepsilon$に対して，
$ \D \biggl|{\pi - \frac{n}k}\biggr| > \frac1{k^{3-\varepsilon}} \, \Longleftrightarrow \, |{n - k\pi}| > \frac1{k^{2-\varepsilon}} $ が成り立ちます．また，
$ \D |{n-k\pi}| < \frac\pi2 $ となるように$k$を選びます．同様に Taylor の定理を利用すると，同じ考え方で$n>k$なので，
$ \begin{align}
|{n^2\sin n}|
&= n^2 \sin |{n-k\pi}| \\[3pt]
&> n^2 \, \Biggl|{ (n-k\pi) \biggl[{ 1 - \frac16 \, (n-k\pi)^2 }\biggr] }\Biggr| & \text{Taylor's theorem} \\[3pt]
&> \frac{n^2}{k^{2-\varepsilon}} \biggl({ 1 - \frac{\pi^2}{24} }\biggr) \\[3pt]
&> \frac{n^2}{k^{2-\varepsilon}} \biggl({ 1 - \frac{10}{24} }\biggr) \\[3pt]
&\phantom{>} = \frac{7n^2}{12k^{2-\varepsilon}} \\[3pt]
&\phantom{>} > An^{\varepsilon} & \text{where ${A = \frac7{12}}$}
\end{align} $ したがって，もとの数列$a_n$の絶対値について$|{a_n}| = O(n^{-\varepsilon})$となるため収束します．
円周率の無理数度はいくつ？
残念ながら，円周率の無理数度は$2\leq\mu(\pi)\leq7.10320534\ldots$ということしか知られていないようです．つまり，数列$a_n$の収束および発散はこのアプローチでは特定できないわけですが，その対偶として「数列$a_n$が発散するならば$\mu(\pi)>3$，収束するならば$\mu(\pi)<3$」ということがわかります．
おわりに
得られた結果をまとめると，
正整数$n$に対して定まる数列
$ \D a_n = \frac1{n^2 \sin n} $ は，$\mu(\pi)<3$のとき収束し，$\mu(\pi)>3$のとき発散する．
となります．簡単な見た目をしていますが，ここまで話を掘り下げることができるとは思ってもおらず，非常に面白い問題でした．この数列の収束・発散が分かれば，大きな発見になると思います．無理数度という言葉も初めて目にしました．
なお，この投稿でテーマにした数列と似た数列の極限
$ \D \lim_{n\to\infty} \frac1{n\sin n} $ は，同じアプローチの仕方を利用することで発散することがわかります．（ただし WolframAlpha では「解が求められません」となりました．）
また級数についても同様なことがあり，
$ \D \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^3 \sin^2 n} $ の収束および発散は未解決問題であるようです．詳しくは「Convergence of $\sum(n^3\sin^2 n)^{-1}$: MathOverflow」を参照してください．こちらも，円周率の無理数度に関連しています．
参考文献
- Vladislav K., Salikhov (2010). “On the Measure of Irrationality of the Number Pi”. Matematicheskie Zametki 20 (4): 583-593; Mathematical Notes 88 (4): 563-573.
- Zeilberger, Doron; Zudilin, Wadim (2020). “The Irrationality Measure of Pi is at most 7.103205334137...”. Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory (Mathematical Sciences Publishers) 9 (4): 407-419.
