コラッツ予想を肯定する証明改

コラッツ予想を肯定する証明

1     コラッツ演算による一般式の定義

コラッツ演算を次のように定義する。
$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a_m^o:= \frac{a_{m}^e}{2^{n_m}}\cdots\cdots (a_{m}^eが定義されているとき)n_m : =max \lbrace n_m:\frac{a_{m}^o} {2^{n_m}} \in N \rbrace \\ {a_{m+1}^e:= 3a_{m}^o+1} \end{array} \right. \end{eqnarray} $$

つまり、偶数演算が要求された場合、偶数演算は、一度要求されたら奇数になるまで$n_m $回実行されます。このように定義すると、奇数 と偶数 に分けることができる。 ただし、偶数演算の初回は $n_1$、以下$n_2,n_3, \cdots$ などとする。
この定義に基づいて、奇数演算の回数 $m$ と偶数演算の回数$n_m$を変数とし一般式を定義する。与えられた最初の奇数自然数を$a_1^o$とし、偶数自然数をを$a_1^e$とする。Collatz m 回で指定された奇数演算を繰り返した結果は、$a_m^o$ と$a_m^e$になります。
初めに与えられた自然数が偶数の場合
$a_1^o= \frac{a_1^e}{2^{n_1}} $
ここで ${n_1}$ は変数で ${n_1} \geq 1$ で、奇数になるまで 2 で偶数演算されます。次に奇数演算が行われ、
$a_2^e= 3a_1^o+1$
結果として、
$a_2^e= \frac{3}{2^{n_1}}a_1^e+1$
その後、コラッツ演算が繰り返えされ、一般項は、
 $a_{m}^e=(3^{m-1}a_1^e+3^{m-2}k_1+3^{m-3}k_2+ \cdots+3^1k_{m-2}+k_{m-1})/k_{m-1}$       （１）
但し、
    $k_m=2^{ \sum_{i=0}^{m}n_i}$
とする。 

２ Collatz 操作によって生成される循環シーケンスの有無

(1)式は、
$a_{m}^e=(3^{m-1}a_1^e+3^{m-2}k_1+3^{m-3}k_2+ \cdots+3^1k_{m-2}+k_{m-1})/k_{m-1}$

$a_{m}^e \neq a_{1}^e $とすると、

$a_{1}^e \neq (3^{m-1}a_1^e+3^{m-2}k_1+3^{m-3}k_2+ \cdots+3^1k_{m-2}+k_{m-1})/k_{m-1}$

となり、不等式から等式を引くのであるから不等号は変わらない。
よって、両辺を引くと、

$a_{1}^e-a_{m}^e \neq 0 $

$a_{1}^e \neq a_{m}^e $で有るので、$a_{m}^e \neq a_{1}^e $ とする仮定は恒等的に肯定され、$a_{m}^e \neq a_{1}^e $  で有る。よって、コラッツ演算では循環数列は無い。

３　発散の有無

1. 式でm→∞ とすると、

$ \lim_{m \to \infty}a_{m}^e= \lim_{m \to \infty} \frac{3^{m-1}a_1^e}{k_{m-1}}+\lim_{m \to \infty} \frac{3^{m-2}k_1}{k_{m-1}}+\lim_{m \to \infty} \frac{3^{m-3}k_2}{k_{m-1}} + \cdots+\lim_{m \to \infty} \frac{3^1k_{m-2}}{k_{m-1})}+1 $

右辺第一項は、
$ \lim_{m \to \infty} \frac{3^{m-1}a_1^e}{k_{m-1}}= \lim_{m \to \infty}\frac{3^{m-1}}{k_{m-1}}a_1^e$

$\lim_{m \to \infty}\frac{3^{m-1}}{k_{m-1}}=\lim_{m \to \infty}( \frac{3}{ \sqrt[m-1]{k_{m-1}}} \times\frac{3}{ \sqrt[m-1]{k_{m-1}}} \times \cdots \times\frac{3}{ \sqrt[m-1]{k_{m-1}}})$

$\sqrt[m-1]{k_{m-1}} = \sqrt[m-1]{2^{ \sum_{i=0}^{m-1}n_i}}= 2^{m-1}$で有るなら、

$\lim_{m \to \infty}\frac{3}{ \sqrt[m-1]{k_{m-1}}} \leq \lim_{m \to \infty}\frac{3}{ \sqrt[m-1]{2^{m-1}}}=\lim_{m \to \infty}(\frac{3}{2})=\frac{3}{2}$

よって、

$\lim_{m \to \infty} \frac{3^{m-1}}{k_{m-1}}a_1^e = (\frac{3}{2})^{m-1} a_1^e \lt \infty$

$\sqrt[m-1]{k_{m-1}} = \sqrt[m-1]{2^{ \sum_{i=0}^{m-1}n_i}} \gt 2^{m-1}$で有るなら、

$\lim_{m \to \infty}\frac{3}{ \sqrt[m-1]{k_{m-1}}} \lt \lim_{m \to \infty}\frac{3}{ \sqrt[m-1]{2^{m-1}}}=\lim_{m \to \infty}(\frac{3}{2})=\frac{3}{2}$
よって、
$\lim_{m \to \infty} \frac{3^{m-1}}{k_{m-1}}a_1^e \lt (\frac{3}{2})^\infty a_1^e$

である。右辺第二項以降も同様になり

$\lim_{m \to \infty}a_{m}^e \leq \infty+ \cdots \infty+1$

となり、左右の値が等しくないので$k_m=2^m$の仮定は背理し、

$\lim_{m \to \infty} \frac{3^{m-1}}{k_{m-1}}a_1^e \lt (\frac{3}{2})^\infty a_1^e$

であるので、$a_{m}^e$ は有限である。  

４　Cllatz 演算の終了

２節(循環なし)と３節(発散なし)の結果からの鳩ノ巣原理によりCollatz演算は停止しなければならない、よって1に収束する。

謝辞

【コラッツ予想を肯定する証明】において、多くの教えと証明が間違えていることを指摘くださった（ハッピパターン＠序文とあとがきの人の人）様には深く感謝します。