Airy関数の一般化について

はじめに

初めまして、オメガ定数といいます
最近Airy関数というものを一般化できないか少し考えていました
それで、結果の共有の意味も込めて記事を書いてみることにしました
初めての記事ゆえ読みづらいところや厳密性に欠けるところが大いにあると思いますがどうかご容赦ください...

そもそもAiry関数って？

Airy関数はAiryの微分方程式$\dfrac{d^2y}{dx^2}=xy$の解です。
基本解として$\Ai{}(x)$と$\Bi{}(x)$という関数が選ばれることが多いですね。

$\Ai{}(x)$と$\Bi{}(x)$のグラフ
Airy関数はSchrödinger方程式の解だったり虹の水滴による分光の説明だったり応用上も重要な関数（らしい）です
これらの一般化がこの記事の目的であるため、一般化の基準になりそうな数個の式を載せるに留めます

Airy関数それ自体についてもっと詳しく知りたい方は参考文献に目を通してほしいです

一般Airy関数

ここではAiryの微分方程式を拡張した
$$\dfrac{d^2y}{dx^2}=x^{v-2}y$$
という形の微分方程式について考えましょう。
今のところ$v$は2以上の自然数ということにします

天下り的で申し訳ない...
次の命題は$\j{v}{A}(x)$と$\j{v}{B}(x)$が最も自然な基本解であることを特徴づけると言える

このように定義された一般Airy関数は次のような対称性を持つ

これらの性質はグラフからも見て取れます。絶対値が大きい箇所では白く、小さい箇所では色鮮やかにしています
絶対値が一定より大きい箇所では計算ができず白く塗られてしまっていることに注意
$\j{v}{A}(x)\,,\j{v}{B}(x)$のグラフ
$v$が偶数の時は$\j{v}{A}(x)\,,\j{v}{B}(x)$はそれぞれ偶関数、奇関数になっていることがわかる

他にも$\j{v}{A}(x)=x\j{-v}{B}\left(\dfrac{1}{x}\right)$を使って添え字の範囲を負にも広げられたりする

数値的に満足な解の組

これらの性質から、$\j{v}{A}(x)\,,\j{v}{B}(x)$を基本解に選ぶのは当然の事のように思えます
しかし$v=3$の時のグラフを見ればわかる通り最初に見たAiry関数$\Ai{}(x)$と違いどれも正の実軸上で発散しています
これは数値的に扱いづらいだけでなく、積分変換などを考えるうえでも都合が悪いです
これらの理由から$+\infty$への極限が$0$になるような解を作り出したいですね

そのために$\j{v}{A}(x)\,,\j{v}{B}(x)$が変形Bessel関数で書けることに注意して、次のような線形結合を考えましょう
$$\begin{align}\frac{v^{1/v}}{\Gamma(1-1/v)}\j{v}{A}(x)-\frac{v^{-1/v}}{\Gamma(1+1/v)}\j{v}{B}(x)&=\sqrt{x}\left(I_{-\frac{1}{v}}\left(\frac{2}{v}x^{\frac{v}{2}}\right)-I_{\frac{1}{v}}\left(\frac{2}{v}x^{\frac{v}{2}}\right)\right) \\&=\frac{2\sqrt{x}}{\pi}\sin\left(\frac{\pi}{v}\right)K_{\frac{1}{v}}\left(\frac{2}{v}x^{\frac{v}{2}}\right)\end{align}$$
第二種変形Bessel関数は$K_a(x) \sim \sqrt{\dfrac{\pi}{2x}}e^{-x}\,(x\rightarrow+\infty)$を満たすので目的の関数が得られました。
$\Ai{}(x)$と$\Bi{}(x)$が符号を入れ替えて定義されていたことを思い出して、$c\in \mathbb{C}$を使って
$$\Ai{v}(x)=c\left(\frac{v^{1/v}}{\Gamma(1-1/v)}\j{v}{A}(x)-\frac{v^{-1/v}}{\Gamma(1+1/v)}\j{v}{B}(x)\right)$$
$$\Bi{v}(x)=c\left(\frac{v^{1/v}}{\Gamma(1-1/v)}\j{v}{A}(x)+\frac{v^{-1/v}}{\Gamma(1+1/v)}\j{v}{B}(x)\right)$$
と定義するのがよさそうですね。この定数$c$を何にするのかが難しいところで、何パターンか考えられます

$c=1$としたものです。$v$が偶数のとき$\Ai{v}(-x)=\Bi{v}(x)$となります。
また、Airy関数との関係は$\Ai{3}(x)=3\Ai{}(x)\,,\Bi{3}(x)=\sqrt{3}\Bi{}(x)$ですね

$$ \mathcal{W}(\Ai{v}(x),\Bi{v}(x))=\frac{2v}{\pi}\sin\left(\frac{\pi}{v}\right) $$
になります。

こちらはAiry関数との関係は$\Ai{3}(x)=\Ai{}(x)\,,\Bi{3}(x)=\Bi{}(x)$となりきれいです。
特殊関数グラフィックスライブラリーやNISTで定義されているものに近いですね。
なぜ同振幅型という名前にしたのかは以下のグラフを見てもらった方が早いです
$\Ai{v}(x)\,,\Bi{v}(x)$のグラフ
Domain Coloringの方のグラフは定数倍では大きく変化しないので対称型のみ描画しています
より広い範囲のきれいなグラフが特殊関数グラフィックスライブラリーの一般Airy関数の項にあります。
この記事では基本的に対称型を使っていくことにしましょう

いくつかの公式と積分

一般Airy関数に関することの多くはBessel関数、もしくは一般化超幾何級数から導かれます
いくつか例をあげてみましょう

積分を扱う上でいちいち結果にガンマ関数が入ってくるのはちょっと鬱陶しいので正規化一般Airy関数を定義します

$\rAi{3}(x)=\Ai{}(x)\,,\rBi{3}(x)=\Bi{}(x)$になっています。うれしいですね
先ほどの積分たちをこちらで書き直すと次のようになります
$$\int_{0}^{\infty}\rAi{v}(x)dx=\frac{1}{v}$$
$$\int_{0}^{\infty}\rAi{v}(-x)dx=\frac{1}{v}+\frac{2}{v}\cos\left(\frac{\pi}{v}\right)\quad(v\in 2\mathbb{N}+1,v > 2)$$
$$\int_{-\infty}^{\infty}\rAi{v}(x)dx=\frac{2}{v}+\frac{2}{v}\cos\left(\frac{\pi}{v}\right)\quad(v\in 2\mathbb{N}+1,v > 2)$$
$$\int_{0}^{\infty}\rBi{v}(-x)dx=\frac{2}{\sqrt{v}}\cos\left(\frac{\pi}{v}\right)-\frac{1}{\sqrt{v}}\quad(v\in 2\mathbb{N}+1,v > 2)$$
$\rBi{v}(x)$は$1/\sqrt{v}$倍して定義した方がいいと思うかもしれません。
実際使うのはほとんど$\rAi{v}(x)$の方なので、通常のAiry関数と一致することを優先しました
ここで次のような積分路を考えましょう
積分路
$v-2$個の経路がありますね。これらの経路すべての和$C$を考えると次が成り立ちます
$$\int_C\rAi{v}(x)dx=1$$
例えば、
$$\int_{C_0}\rAi{3}(x)dx=1\,,\int_{C_1+\overline{C_1}}\rAi{3}(x)dx=1$$
という感じです

さらなる一般化と級数解

Airyの微分方程式を高階微分に拡張した次の方程式を考える
$$\frac{d^ny}{dx^n}=x^{v-n}y$$
これを超一般Airyの微分方程式と呼ぶことにしましょう

次のようなベクトルパラメータ$a_m$を定義します$(0\leq m< n)$
$ a_0=\left(1-\dfrac{n-1}{v},1-\dfrac{n-2}{v},...,1-\dfrac{2}{v},1-\dfrac{1}{v}\right) $

$ a_1=\left(1-\dfrac{n-2}{v},1-\dfrac{n-3}{v},...,1-\dfrac{1}{v},1+\dfrac{1}{v}\right) $

$ a_2=\left(1-\dfrac{n-3}{v},...,1-\dfrac{1}{v},1+\dfrac{1}{v},1+\dfrac{2}{v}\right) $
$ \quad\:\:\:\vdots $
$ a_m=\left(1-\dfrac{n-m-1}{v},...,1-\dfrac{1}{v},1+\dfrac{1}{v},...,1+\dfrac{m}{v}\right) $

また、変な話ですが$(\mathrm{M})$をm番目のアルファベットということにします

これを証明することはできなかったが、おそらく正しいので一旦認めることにしましょう
一般化超幾何級数の隣接関係式のようなものがあれば示せる気もする（示せたら教えてください）

彼らのグラフも眺めてみることにしましょう。まずは$n=3$の場合です
$\j{3,v}{A}(x)\,,\j{3,v}{B}(x)\,,\j{3,v}{C}(x)$のグラフ
対称性や零点の位数が見て取れますね。振動しつつも収束していた$n=2$の時とは違い全然収束してませんね...
$n=4$も場合も見てみましょう
$\j{4,v}{A}(x)\,,\j{4,v}{B}(x)\,,\j{4,v}{C}(x)\,,\j{4,v}{D}(x)$のグラフ
零点の位数はよく見えますが振動してる部分はもはや確認できないですね
計算量の問題なので領域の外では振動していると考えるべきでしょう

$n=2$でAiry関数に、$n=1$と$n=v$で指数関数に帰着され、以下のようになる。
$\j{1,v}{A}(x)=e^{\frac{x^v}{v}}$
$$\j{3,3}{A}(x)=\frac{1}{3}\left(e^x+2e^{-\frac{x}{2}}\cos\left(\frac{\sqrt{3}x}{2}\right)\right)$$
$$\j{3,3}{B}(x)=\frac{1}{3}\left(e^x-2e^{-\frac{x}{2}}\sin\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}x}{2}\right)\right)$$
$$\j{3,3}{C}(x)=\frac{1}{3}\left(e^x-2e^{-\frac{x}{2}}\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt{3}x}{2}\right)\right)$$
$$\j{4,4}{A}(x)=\frac{1}{2}(\cosh(x)+\cos(x))$$
$$\j{4,4}{B}(x)=\frac{1}{2}(\sinh(x)+\sin(x))$$
$$\j{4,4}{C}(x)=\frac{1}{2}(\cosh(x)-\cos(x))$$
$$\j{4,4}{D}(x)=\frac{1}{2}(\sinh(x)-\sin(x))$$
一般には$\j{n,n}{(M)}(x)$は$e^{e^{\frac{2k\pi i}{n}}x}\,,(0 \leq k\leq n)$の線形結合になる

一般論

超一般Airy関数についても$\Ai{v}(x)$のような”良い”解を探したいです
しかしBessel関数に帰着できる一般Airy関数の時とは違い、どうすればいいか検討もつかないですね
ということで、一旦初心に戻ってみましょう。以降微分作用素は$D$で記す

ここで少し両側Laplace変換について考えてみましょう。両側Laplace変換は次で定義される積分変換です
$$\mathcal{B}_{x}\big[f(x)\big](s)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-sx}f(x)dx$$
逆変換はこう定義されます
$$\mathcal{B}_{x}^{-1}\big[f(x)\big](s)=\frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}e^{sx}f(x)dx$$
収束性などについても考えなければいけないのですが、ここでは重要じゃないので無視しちゃいます
ここで重要になってくるのがこれらの性質です
$$\mathcal{B}_{x}\big[D^nf(x)\big](s)=s^n\mathcal{B}_{x}\big[f(x)\big](s)$$
$$\mathcal{B}_{x}\big[x^mf(x)\big](s)=(-D)^m\mathcal{B}_{x}\big[f(x)\big](s)$$
$$\mathcal{B}_{x}^{-1}\big[D^nf(x)\big](s)=(-s)^n\mathcal{B}_{x}\big[f(x)\big](s)$$
$$\mathcal{B}_{x}^{-1}\big[x^mf(x)\big](s)=D^m\mathcal{B}_{x}\big[f(x)\big](s)$$
これらが成り立ったまま、使いやすいように両側Laplace変換を拡張しちゃいましょう。添え字の$x$は省略します
$e^{-sx}f(x)$が$C$の両端で$0$に収束するとします。この時、$f$の広義両側Laplace変換を次で定義します
$$\mathcal{B}_{C}\big[f(x)\big](s)=\int_Ce^{-sx}f(x)dx$$
$$\mathcal{B}_{C}^{*}\big[f(x)\big](s)=\frac{1}{2\pi i}\int_Ce^{sx}f(x)dx$$
これらは一般には互いの逆変換になっていません。ご注意ください
前者の$C$と後者の$C$が複素平面上の原点を通る直行する２直線のときは逆変換になっています
$\mathcal{B}_C$の経路として実軸、$\mathcal{B}_C^{*} $の経路として虚軸を取るのがもっとも理想的ですね

仰々しい名前と記号ですが、要は$D$を$x$に、$x$を$-D$に置き換えたものが疑似双対方程式で、
$D$を$-x$に、$x$を$D$に置き換えたものが逆疑似双対方程式です

上の定義は、$s(x)\in \sol\A{n,m}$に対して、$\mathcal{B}_C\big[a(x)\big](s)\in\sol\A{n,m}^\dagger$が成り立つということですね
次に超一般Airyの微分方程式を分類することを考えましょう

それぞれのタイプに対して繰り返し疑似双対を取った結果を見てみると次のようになります
$\A{2\mathbb{N},2\mathbb{N}}\ni\A{n,m}\ad\A{m,n}\ad\A{n,m}$
$\A{2\mathbb{N},2\mathbb{N}+1}\ni\A{n,m}\ad\coA{m,n}\ad\coA{n,m}\ad\A{m,n}\ad\A{n,m}$
$\A{2\mathbb{N}+1,2\mathbb{N}}\ni\A{n,m}\ad\A{m,n}\ad\coA{n,m}\ad\coA{m,n}\ad\A{n,m}$
$\A{2\mathbb{N}+1,2\mathbb{N}+1}\ni\A{n,m}\ad\coA{m,n}\ad\A{n,m}$

超一般Airy関数の構成

これまでの議論により$\A{n,m}$の解を得たいときは$\A{n,m}^{-\dagger}$の解を広義両側ラプラス変換すればいいことがわかりました
それでも積分路の任意性や$\A{n,m}^{-\dagger}$の解の選び方などで、一般Airy関数の時のような議論ができません
一般の場合は結果と言えるようなものをまだ得ていないのでこの記事では話さないことにします
ここでは$\pm\infty$への極限が$0$になるような解を探すことに重点を置きましょう

つまり積分路として虚軸をとれたら勝利だと考えていいですね

もうお察しかもしれませんが、これがこの方法の限界です。知らない関数の間の関係式を得ることはできますが、
我々が$n=1$と$n=2$の時についてしか知らないのでこれ以上具体的な関数を得ることはできません

線形結合といくつかの関数

最初に前の項で定義した関数をまとめておきましょう
$$\Ai{n,n+1}(x)=\begin{align} \begin{dcases} \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}\cos\left(\frac{t^{n+1}}{n+1}- xt\right)dt\quad n\equiv0\mod4 \\ ???（おそらく存在しない）\quad n\equiv1\mod4\\ \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}\cos\left(\frac{t^{n+1}}{n+1}+ xt\right)dt\quad n\equiv2\mod4 \\ \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-\frac{t^{n+1}}{n+1}}\cos(xt)dt\quad n\equiv3\mod4\\ \end{dcases} \end{align}$$
$$\begin{align} \Ai{n,n+2}(x)=\frac{1}{\pi}\frac{(n+2)^{\frac{1}{n+2}}}{\Gamma(1-\frac{1}{n+2})}\int_{0}^{\infty}\cos(sx)\j{n+2}{A}(e^{\frac{\pi i}{n+2}}x)dx\quad n\equiv0\mod4 \end{align}$$
$$\begin{align} \Bi{n,n+2}(x)=\frac{e^{-\frac{\pi i}{n+2}}}{\pi}\frac{(n+2)^{-\frac{1}{n+2}}}{\Gamma(1+\frac{1}{n+2})}\int_{0}^{\infty}\sin(sx)\j{n+2}{B}(e^{\frac{\pi i}{n+2}}x)dx\quad n\equiv0\mod4 \end{align}$$

$a$が広義両側ラプラス変換を使って定義されていることと、$\j{n,v}{(M)}^{(k)}(0)=\delta_{m,k}$だったことからわかりますね
これでようやく数値的に満足な解を得られる係数が分かったわけです。実際に計算してみましょう
$$\begin{equation}\begin{split}\Ai{n,n+1}(x)&=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}\cos\left(\frac{t^{n+1}}{n+1}\right)dt\j{n,n+1}{A}(x)+\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}t\sin\left(\frac{t^{n+1}}{n+1}\right)dt\j{n,n+1}{B}(x)\\ &\quad-\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}t^2\cos\left(\frac{t^{n+1}}{n+1}\right)dt\j{n,n+1}{C}(x)-\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}t^3\sin\left(\frac{t^{n+1}}{n+1}\right)dt\j{n,n+1}{D}(x)+...\end{split}\end{equation}$$
これは$n\equiv0\mod4$の場合ですね。４つセットで$+\,,+\,,-\,,-$を繰り返しています。$n=4$の時が重要そうです
$$\begin{equation}\begin{split}\Ai{n,n+1}(x)&=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}\cos\left(\frac{t^{n+1}}{n+1}\right)dt\j{n,n+1}{A}(x)-\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}t\sin\left(\frac{t^{n+1}}{n+1}\right)dt\j{n,n+1}{B}(x)\\ &\quad+\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}t^2\cos\left(\frac{t^{n+1}}{n+1}\right)dt\j{n,n+1}{C}(x)-\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}t^3\sin\left(\frac{t^{n+1}}{n+1}\right)dt\j{n,n+1}{D}(x)+...\end{split}\end{equation}$$
こちらは$n\equiv2\mod4$の場合です。４つセットで$+\,,-\,,+\,,-$を繰り返しています。通常のAiry関数がこれです
$$\begin{equation}\begin{split}\Ai{n,n+1}(x)&=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-\frac{x^{n+1}}{n+1}}dt\j{n,n+1}{A}(x)-\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}t^2e^{-\frac{x^{n+1}}{n+1}}dt\j{n,n+1}{C}(x)\\ &\quad+\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}t^4e^{-\frac{x^{n+1}}{n+1}}dt\j{n,n+1}{E}(x)-\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}t^6e^{-\frac{x^{n+1}}{n+1}}dt\j{n,n+1}{G}(x)+...\end{split}\end{equation}$$
これは$n\equiv3\mod4$の場合です。奇関数の部分の係数が$0$になってきれいに偶関数になっていますね
$$\int_{0}^{\infty}t^k\cos\left(\frac{t^{n+1}}{n+1}\right)dt=(n+1)^{\frac{k+1}{n+1}-1}\cos\left(\frac{k+1}{n+1}\frac{\pi}{2}\right)\Gamma\left(\frac{k+1}{n+1}\right) $$
$$\int_{0}^{\infty}t^k\sin\left(\frac{t^{n+1}}{n+1}\right)dt=(n+1)^{\frac{k+1}{n+1}-1}\sin\left(\frac{k+1}{n+1}\frac{\pi}{2}\right)\Gamma\left(\frac{k+1}{n+1}\right) $$
$$\int_{0}^{\infty}t^ke^{-\frac{x^{n+1}}{n+1}}dt=(n+1)^{\frac{k+1}{n+1}-1}\Gamma\left(\frac{k+1}{n+1}\right) $$
を使えば計算できますね
$\Ai{n,n+2}(x)\,,\Bi{n,n+2}(x)$についても計算しましょう。こちらでは常に$n\equiv0\mod4$です
$$\begin{equation}\begin{split}\Ai{n,n+2}(x)&=\frac{1}{\pi}\frac{(n+2)^{\frac{1}{n+2}}}{\Gamma(1-\frac{1}{n+2})}\int_{0}^{\infty}\j{n+2}{A}(e^{\frac{\pi i}{n+2}}t)dt\j{n,n+2}{A}(x)\\&\quad-\frac{1}{\pi}\frac{(n+2)^{\frac{1}{n+2}}}{\Gamma(1-\frac{1}{n+2})}\int_{0}^{\infty}t^2\j{n+2}{A}(e^{\frac{\pi i}{n+2}}t)dt\j{n,n+1}{C}(x)\\ &\quad+\frac{1}{\pi}\frac{(n+2)^{\frac{1}{n+2}}}{\Gamma(1-\frac{1}{n+2})}\int_{0}^{\infty}t^4\j{n+2}{A}(e^{\frac{\pi i}{n+2}}t)dt\j{n,n+1}{E}(x)\\&\quad-\frac{1}{\pi}\frac{(n+2)^{\frac{1}{n+2}}}{\Gamma(1-\frac{1}{n+2})}\int_{0}^{\infty}t^6\j{n+2}{A}(e^{\frac{\pi i}{n+2}}t)dt\j{n,n+1}{G}(x)\\&\quad+...\end{split}\end{equation}$$
こちらも偶関数になっていますね
$\Ai{n,n+2}(x)\,,\Bi{n,n+2}(x)$についても計算しましょう。こちらでは常に$n\equiv0\mod4$です
$$\begin{equation}\begin{split}\Bi{n,n+2}(x)&=\frac{e^{-\frac{\pi i}{n+2}}}{\pi}\frac{(n+2)^{-\frac{1}{n+2}}}{\Gamma(1+\frac{1}{n+2})}\int_{0}^{\infty}t\j{n+2}{B}(e^{\frac{\pi i}{n+2}}t)dt\j{n,n+2}{B}(x)\\&\quad-\frac{e^{-\frac{\pi i}{n+2}}}{\pi}\frac{(n+2)^{-\frac{1}{n+2}}}{\Gamma(1+\frac{1}{n+2})}\int_{0}^{\infty}t^3\j{n+2}{B}(e^{\frac{\pi i}{n+2}}t)dt\j{n,n+1}{D}(x)\\ &\quad+\frac{e^{-\frac{\pi i}{n+2}}}{\pi}\frac{(n+2)^{-\frac{1}{n+2}}}{\Gamma(1+\frac{1}{n+2})}\int_{0}^{\infty}t^5\j{n+2}{B}(e^{\frac{\pi i}{n+2}}t)dt\j{n,n+1}{F}(x)\\&\quad-\frac{e^{-\frac{\pi i}{n+2}}}{\pi}\frac{(n+2)^{-\frac{1}{n+2}}}{\Gamma(1+\frac{1}{n+2})}\int_{0}^{\infty}t^7\j{n+2}{B}(e^{\frac{\pi i}{n+2}}t)dt\j{n,n+1}{H}(x)\\&\quad+...\end{split}\end{equation}$$
こちらは奇関数になっています。係数の積分は一般Airy関数のMellin変換を使って計算でき、このようになります
$$\int_{0}^{\infty}t^k\j{n+2}{A}(e^{\frac{\pi i}{n+2}}t)dt=\frac{(n+2)^{\frac{2k+2}{n+2}-1}}{\pi}\sin\left(\frac{k+2}{n+2}\pi\right)\Gamma\left(\frac{k+1}{n+2}\right)\Gamma\left(\frac{k+2}{n+2}\right)\Gamma\left(1-\frac{1}{n+2}\right)$$
$$\int_{0}^{\infty}t^k\j{n+2}{B}(e^{\frac{\pi i}{n+2}}t)dt=e^{\frac{\pi i}{n+2}}\frac{(n+2)^{\frac{2k+4}{n+2}-1}}{\pi}\sin\left(\frac{k+1}{n+2}\pi\right)\Gamma\left(\frac{k+1}{n+2}\right)\Gamma\left(\frac{k+2}{n+2}\right)\Gamma\left(1+\frac{1}{n+2}\right)$$
グラフを見てみると同時に、いくつかの関数に注目してみましょう

今後の課題：多方向からのアプローチ

最後に

初めての記事で読みずらい場所も多かったかと思います
少しでもAiry関数に興味を持っていただけたならうれしいです
今後なにかわかったらまた記事にするかもしれません

参考文献

http://dyna.geo.kyushu-u.ac.jp/~yoshida/japanese/science-notes/Airy/airy.pdf
https://en.wikipedia.org/wiki/Airy_function
https://dlmf.nist.gov/9