偶数の完全数が調和数であること

本題

調和数は
$\frac{nτ(n)}{σ_1(n)}$を割り切るnとする。
τはnの約数の個数の関数
σは約数関数
n=偶数の完全数として次の変形をする、
σ(n)は完全数の定義から2n
τ(n)は$2^{a-1}(2^a-1)$
($(2^a-1)$はメルセンヌ素数)
と表すと$τ(n)=a×2$
これを代入すると
$\frac{n×a×2}{2n}=a$
となり、必ず割り切るので偶数の完全数は調和数。