ラグランジュ未定乗数法を用いたエルミート行列に対するスペクトル定理の簡単な証明

次元$n\ge 1$に関する帰納法で示す。$n=1$の場合は$A\in \mathbb{R}$となるので明らかである。$n-1$の場合を仮定する。最大のポイントは、拘束条件$v^*v= \left\| v \right\| ^2=1$の下で、二次形式の複素版の実部を取った$f(v)=\mathrm{Re}v^*Av$という $\mathbb{C}^n$上の$\mathbb{R}$値関数の極値問題を考えることにある。ここで、ラグランジュ未定乗数法を適用するために、$\mathbb{R}$線形同型$\mathbb{R}^{2n} \cong \mathbb{C}^n,(x_1,y_1,\cdots,x_n,y_n) \mapsto (x_1+iy_1,\cdots,x_n+iy_n)$によって同一視したときの関数$f:\mathbb{C}^n \to \mathbb{R}$と$v\in \mathbb{C}^n$をそれぞれ、$f^{\mathbb{R}}:\mathbb{R}^{2n}\to \mathbb{R}, v^{\mathbb{R}}$と書くことにする。

コンパクト集合上の$\mathbb{R}$値連続関数は最大値を持つので、$v^*v=1$を満たす$v\in \mathbb{C}^n$が存在し、$f(v)$が最大値を実現する。（ここで、特に$v\neq 0$より、$v^{\mathbb{R}}\neq 0$は$g(v)=v^*v-1$に対し定理1の(2)の条件を満たさないことは、以下の計算からほとんど明らかになる。）

定理1のラグランジュの未定乗数法の(1)より、ある$\lambda\in \mathbb{R}$が存在し、$F(v):=f(v)-\lambda v^*v$は$(DF^{\mathbb{R}})_{v^{\mathbb{R}}}=0$を満たす。よって、特に任意の$w\in \mathbb{C}^n$に対し、$w^{\mathbb{R}}$方向の微分$(DF^{\mathbb{R}})_{v^{\mathbb{R}}}(w^{\mathbb{R}})=0$を満たす。
ここで、chain rule及び$(v+tw)^{\mathbb{R}}=v^{\mathbb{R}}+tw^{\mathbb{R}}$より、$$(DF^{\mathbb{R}})_{v^{\mathbb{R}}}(w^{\mathbb{R}})= \frac{d}{dt}F^{\mathbb{R}}(v^{\mathbb{R}}+tw^{\mathbb{R}}) \vert_{t=0} =\frac{d}{dt}F(v+tw) \vert_{t=0}$$
となることに注意する。
\begin{align} F(v+tw) &=\mathrm{Re}(v+tw)^*A(v+tw)-\lambda (v+tw)^*(v+tw) \\ &=\mathrm{Re}(v^*Av+t(v^*Aw+w^*Av)+t^2w^*Aw)-\lambda(v^*v+t(v^*w+w^*v)+t^2w^*w) \end{align}
となる。$A=A^*$より、$v^*Aw=(w^*Av)^*$なので、
\begin{align} \frac{d}{dt}F(v+tw) \vert_{t=0} &=\mathrm{Re}(v^*Aw+w^*Av)-\lambda(v^*w+w^*v) \\ &=2\mathrm{Re}(w^*(Av-\lambda v)) \end{align}
を得る。よって、任意の$w\in \mathbb{C}^n$に対し、$\mathrm{Re}(w^*(Av-\lambda v))=0$となるので、$Av=\lambda v$となる。すなわち、$v$は$A$の固有値$\lambda \in \mathbb{R}$に関する固有ベクトルであることが分かる。

$v$の直交補空間を、$v^{ \perp }:=\lbrace w\in \mathbb{C}^n \ | \ v^*w=0 \rbrace$とおけば、$\mathbb{C}^n=\mathbb{C}v \oplus v^{ \perp }$と直和分解される。

$Av^{\perp}\subset v^{\perp}$である。実際、$v^*w=0$とすると、$A=A^*$より、$$v^*(Aw)=(w^*Av)^*=(w^*\lambda v)^*=\lambda (w^*v)^*=\lambda v^*w=0$$となるので、$Aw\in v^{\perp}$となる。

したがって、$A$を次元$n-1$の部分空間$W:=v^{\perp}$に制限して得られる$W$上の自己準同型を$T:W\to W$とおく。この$T$に対して帰納法の仮定を適用しにいきたいので、以下のように考える。

まず、$T$はエルミート変換である。実際、$A$はエルミート行列なので、任意の$v,w\in \mathbb{C}^n$に対し、$(Av)^*w=v^*(Aw)$となる。よって、特に任意の$v,w\in W$に対し、$(Tv)^*w=(Av)^*w=v^*(Aw)=v^*(Tw)$となることから従う。

次に、$W$の適当な正規直交基底$\mathcal{B}$を取り、$\mathcal{B}$が定める$\mathbb{C}$線形同型を$\phi:\mathbb{C}^{n-1}\to W$とおくと、$\phi$は正規直交基底を正規直交基底にうつすのでユニタリ変換である。これより、$\mathcal{B}$に関する$T$の行列表示を$B$とすれば、$B$は$n-1$次のエルミート行列となる。実際、任意の$x,y\in \mathbb{C}^{n-1}$に対し、ユニタリ変換は内積を保ち、$T$はエルミート変換なので、$$(Bx)^*y=(\phi^{-1}\circ T \circ \phi (x))^*y=(T\circ \phi (x))^*\phi (y)=\phi (x)^*(T\circ \phi (y))=x^*(\phi^{-1}\circ T \circ \phi (x))=x^*(By)$$が成り立つことから従う。

$B$に対して、帰納法の仮定より、$\mathbb{C}^{n-1}$の正規直交基底$v_1',\cdots,v_{n-1}'\in \mathbb{C}^{n-1}$及び$B$の実固有値$\lambda_1,\cdots,\lambda_{n-1}\in \mathbb{R}$が存在し、任意の$1\le i \le n-1$に対し$Bv_i'=\lambda_i v_i'$となる。

ここで、任意の$1\le i \le n-1$に対し、$v_i:=\phi (v_i')\in W$とおけば、$\phi$はユニタリ変換なので、$W$の正規直交基底である。さらに、$Av_i=T(v_i)=\phi (Bv_i')=\phi (\lambda_iv_i')=\lambda_i\phi (v_i')=\lambda_iv_i$を満たす。

したがって、$W=v^{\perp}$なので、$v_1,\cdots,v_{n-1},v$が求めるべき正規直交基底を与える。（証明終）