文献あり

Bass数の導入とCohen-Macaulay加群

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初めに

個人的に勉強したことを整理するために記事を書いています、導来関手やある程度の加群の知識を前提にしています。
今回は次の定理をBass数という概念を見て示すことを目的とします。
この記事で扱ったのは先にある応用に比べればほぼBass数の定義だけなので、興味のある方はぜひ勉強して僕にBass数の有用性を教えてください()

$A$をネーター局所環, $M$を有限生成$A$加群とする, 任意の$\mathfrak{p}\in\mathrm{Ass}A$に対して
$\mathrm{depth}M\leq\mathrm{dim}A/\mathfrak{p}$
が成り立つ.

一応、加群のdepthについてはあとで定義します。

本編

Bass number

$A$をネーター環,$\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}A$とし$M$を$A$加群とする. この時,$M$の$\mathfrak{p}$についての$i$番目のBass数$\mu^i_A(\mathfrak{p},M)$を次で定義する:
$ \mu^i_A(\mathfrak{p},M):=l_{A_\mathfrak{p}}(\mathrm{Ext}^i_{A}(A/\mathfrak{p},M)_\mathfrak{p})$
但し, $l_{A_\mathfrak{p}}(-)$は$A_\mathfrak{p}$加群としての長さを与える加法的関数.

参考にした[3]ではdimを使って定義していますが個人的な嗜好から長さで書いてます(どちらの定義も使われているみたいです).
定義に慣れるために一つ簡単な命題を示そう.
以下, 環$A$に対しその加群$M$のassociated primeを$\mathrm{Ass}_AM=\{\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}A\mid\exists\varphi\in\mathrm{Hom}_A(A/\mathfrak{p},M):\text{inj.}\}$と定義する.

$A$をネーター環,$M$を$A$加群とする, このとき$\mathrm{Ass}_AM=\{\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}A\mid\mu^0_A(\mathfrak{p},M)\neq0\}$である.

$\mathfrak{p}\in\mathrm{Ass}_AM$を取ると定義より次の完全列がとれる.
$0\to A/\mathfrak{p} \to M$
$k(\mathfrak{p})=A_\mathfrak{p}/\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}$と置き,$\mathfrak{p}$で局所化すると
$0\to k(\mathfrak{p}) \to M_\mathfrak{p}$
が完全で$k(\mathfrak{p})\neq0$より, $\mathrm{Hom}_A(A/\mathfrak{p},M)_{\mathfrak{p}}=\mathrm{Hom}_{A_\mathfrak{p}}(k(\mathfrak{p}),M_\mathfrak{p})\neq 0$
ところで$\mathrm{Ext}^0_A(A/\mathfrak{p},M)_{\mathfrak{p}}=\mathrm{Hom}_A(A/\mathfrak{p},M)_{\mathfrak{p}}$だから, 加群の長さが$0$であることと$0$加群であることが同値であることに注意すると$\mathfrak{p}\in \{\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}A\mid\mu^0_A(\mathfrak{p},M)\neq0\}$
逆に$\mathfrak{p}\in \{\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}A\mid\mu^0_A(\mathfrak{p},M)\neq0\}$を取ると,$\mathrm{Hom}_{A_\mathfrak{p}}(k(\mathfrak{p}),M_\mathfrak{p})$にnon-zeroな射$\varphi$があって, $k(\mathfrak{p})$がsimple module だから Schur's lemma より$\varphi$は単射.
よって$\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}\in\mathrm{Ass}_{A_\mathfrak{p}}M_\mathfrak{p}$より, $\mathfrak{p}\in\mathrm{Ass}_AM$.

証明途中, 2つほど行間があるので一応触れておくと
$\mathrm{Hom}_A(A/\mathfrak{p},M)_{\mathfrak{p}}=\mathrm{Hom}_{A_\mathfrak{p}}(k(\mathfrak{p}),M_\mathfrak{p})$は$A/\mathfrak{p}$が有限表示で局所化をテンソルとしてみれば
$\xymatrix{ 0\ar[r]& {\mathrm{Hom}_A(A/\mathfrak{p},M)\otimes A_\mathfrak{p}} \ar[d]\ar[r]&{\mathrm{Hom}_A(A,M)\otimes A_\mathfrak{p}}\ar[d]\ar[r]&{\mathrm{Hom}_A(\oplus A,M)\otimes A_\mathfrak{p}}\ar[d] &\colon \text{exact}\\ 0\ar[r]&{\mathrm{Hom}_{A\otimes A_\mathfrak{p}}(A/\mathfrak{p}\otimes A_\mathfrak{p},M\otimes A_\mathfrak{p})} \ar[r]&{\mathrm{Hom}_{A\otimes A_\mathfrak{p}}(A\otimes A_\mathfrak{p},M\otimes A_\mathfrak{p})}\ar[r]&{\mathrm{Hom}_{A\otimes A_\mathfrak{p}}(\oplus A\otimes A_\mathfrak{p},M\otimes A_\mathfrak{p})}& \colon \text{exact} } $
が得られ, $\mathrm{Hom}(\oplus A,M)\cong \oplus A$を考えると右の二つの射が同型なので左の射も同型(証明には平坦A代数であることと有限表示しか使ってない(というかExtとか知ってる人は自明かも)).
$\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}\in\mathrm{Ass}_{A_\mathfrak{p}}M_\mathfrak{p}⇒\mathfrak{p}\in\mathrm{Ass}_AM$に関しては一般に$\mathrm{Ass}(M_S)=\mathrm{Ass}(M)\cap\mathrm{Spec}(A_S)$であることを考えればいい.
この事実は[1]の定理6.2を参照してほしい(証明はそんなに難しくない).

depth

$(A,\mathfrak{m})$をネーター局所環, $M$を有限生成$A$加群とする, この時$M$の($\mathfrak{m}$に対する)深さ$\mathrm{depth}M$を以下で定義する.
$\mathrm{depth}M = \mathrm{min}\{i\mid\mathrm{Ext}^i_A(A/\mathfrak{m},M)\neq 0\}$

明らかに, これはBass数を使えば次のように書ける.
$\mathrm{depth}M = \mathrm{min}\{i\mid\mu^i_A(\mathfrak{m},M)\neq 0\}$

本記事の目的を示すために一般に有用な次の命題を示す.

$A$ネーター環, $M$を有限生成$A$加群とする.
$\mathfrak{p}\subsetneq\mathfrak{q}$を$\mathrm{dim}R_\mathfrak{q}/\mathfrak{p}R_\mathfrak{q}=1$となる$\mathrm{Spec}A$の元とする. この時,$\mu^i(\mathfrak{p},M)\neq0$ならば$\mu^{i+1}(\mathfrak{q},M)\neq0$

$M$と$\mathfrak{p},\mathfrak{q}\in \mathrm{Spec}A$を上のように取り, $\mathrm{Ext}^i_{A}(A/\mathfrak{p},M)_\mathfrak{p}\neq 0$と仮定する(つまり$\mu^i(\mathfrak{p},M)\neq0$).
この時, $\mathrm{Ext}^{i+1}_{A}(A/\mathfrak{q},M)_\mathfrak{q}\neq 0$を示せばよい.
証明の準備をする
$\mathfrak{p}A_\mathfrak{q}\subsetneq\mathfrak{q}A_\mathfrak{q}$より, $x\in\mathfrak{q}A_\mathfrak{q}\setminus\mathfrak{p}A_\mathfrak{q}$がとれて,$\mathfrak{p}A_\mathfrak{q}$が素イデアルであるので次が完全である.
$0\to A_\mathfrak{q}/\mathfrak{p}A_\mathfrak{q} \stackrel{x}{\to} A_\mathfrak{q}/\mathfrak{p}A_\mathfrak{q}\to A_\mathfrak{q}/(\mathfrak{p}A_\mathfrak{q}+xA_\mathfrak{q})\to 0$
よって次も完全
$\mathrm{Ext}^i(A_\mathfrak{q}/\mathfrak{p}A_\mathfrak{q},M_{\mathfrak{p}})\stackrel{x}{\to}\mathrm{Ext}^i(A_\mathfrak{q}/\mathfrak{p}A_\mathfrak{q},M_{\mathfrak{p}})\to\mathrm{Ext}^{i+1}(A_\mathfrak{q}/(\mathfrak{p}A_\mathfrak{q}+xA_\mathfrak{q}),M_{\mathfrak{p}})$
ここで, $\mathrm{Ext}^{i+1}(k(\mathfrak{p}),M_{\mathfrak{p}})=0$と仮定すると$R_\mathfrak{q}/(\mathfrak{p}A_\mathfrak{q}+xA_\mathfrak{q})$の長さは有限なので$k(\mathfrak{p})$の有限回拡大で得られる, よって$\mathrm{Ext}^{i+1}(A_\mathfrak{q}/(\mathfrak{p}A_\mathfrak{q}+xA_\mathfrak{q}),M)=0$であるので
$\mathrm{Ext}^i(A_\mathfrak{q}/\mathfrak{p}A_\mathfrak{q},M_{\mathfrak{p}})\stackrel{x}{\to}\mathrm{Ext}^i(A_\mathfrak{q}/\mathfrak{p}A_\mathfrak{q},M_{\mathfrak{p}})\to0$
が得られ$x\mathrm{Ext}^i(A_\mathfrak{q}/\mathfrak{p}A_\mathfrak{q},M_{\mathfrak{p}})=\mathrm{Ext}^i(A_\mathfrak{q}/\mathfrak{p}A_\mathfrak{q},M_{\mathfrak{p}})$, 中山の補題より$0=\mathrm{Ext}^i(A_\mathfrak{q}/\mathfrak{p}A_\mathfrak{q},M_{\mathfrak{p}})=\mathrm{Ext}^i(A_\mathfrak{q}/\mathfrak{p}A_\mathfrak{q},M_{\mathfrak{p}})_{\mathfrak{p}A_\mathfrak{q}}= \mathrm{Ext}^i(A/\mathfrak{p},M)_\mathfrak{q}$で矛盾.

再掲

$A$をネーター局所環, $M$を有限生成$A$加群とする, 任意の$\mathfrak{p}\in\mathrm{Ass}A$に対して
$\mathrm{depth}M\leq\mathrm{dim}A/\mathfrak{p}$
が成り立つ.

$\mathfrak{p}\in\mathrm{Ass}A$を取り$\mathrm{dim}A/\mathfrak{p}=d$とする.
命題2で見たように$\mu^0(\mathfrak{p},M)\neq0$であり, 次のクルル次元を与える列がとれる
$\mathfrak{p}=\mathfrak{p}_0\subset\dots\subset\mathfrak{p}_d=\mathfrak{m}$
よって命題3より, $\mu^1(\mathfrak{p}_1,M)\neq0$であり帰納的に$\mu^d(\mathfrak{p}_d,M)\neq0$
$\mathrm{depth}M = \mathrm{min}\{i\mid\mu^i(\mathfrak{m},M)\neq 0\}$であったのを思い出すと$\mathrm{depth}M\leq d$.

この証明はdepthという概念をkrull次元を見ながら回せているので直感的に分かりやすい気がする.
本質的には[1]にあるのと同じ.
他にもアナイアレーターを見る方法もある.
一応系を載せておく.

$A$をネーター局所環で$M$を有限生成$A$加群とする, この時
$\mathrm{depth}M\leq \mathrm{dim}M$

最後に定義だけ.

Cohen-Macaulay加群

$A$をネーター局所環で$M$を有限生成$A$加群とする, この時
$\mathrm{depth}M\geq \mathrm{dim}M$つまり$\mathrm{depth}M= \mathrm{dim}M$
となる$M$をCohen-Macaulay加群という.

$A$を$A$加群としてみたときCohen-Macaulay加群であるときCohen-Macaulay環という.

追記

本編ではbass数のありがたみが薄い気がするので追記
(Extのzero or non-zeroだけでよくね？となるため)
とても面白い結果があるので, 一応これに触れておこう.

$A$をネーター環, $M$を有限生成$A$加群とする.
$I^i(M)$を$M$の極小移入分解とすると次が成り立つ.
$$I^i(M)=\bigoplus_{\mathfrak{p}\in\mathrm{Spec}A}I^0(R/\mathfrak{p})^{\oplus\mu^i(\mathfrak{p},M)}$$

これによりbass数を決定すると minimal inj. resolusion の構造が分かる, 逆もまた然り.
この定理に関しては有志がまとめてくださったPDFを紹介しておきます (丸投げすいません)

CM環とタイトルにあるのに定義だけを書くのみで終わるのはひどいのでこれも紹介する.
$A$加群$M$の台$\mathrm{Supp}M$を次で定義する
$\mathrm{Supp}M:=\{\mathfrak{p}\in\mathrm{Spec}A\mid M_\mathfrak{p} \neq0\}$
次がbass数を見れば示せる.

$A$をネーター局所環, $M$を有限生成$A$加群とする. 任意の$\mathfrak{p}\in\mathrm{Supp}M$に対して
$$\mathrm{depth}_RM\leq\mathrm{depth}_{R_\mathfrak{p}}M_\mathfrak{p} + \mathrm{dim}A/\mathfrak{p}\leq\mathrm{dim}_{R_\mathfrak{p}}M_\mathfrak{p} + \mathrm{dim}A/\mathfrak{p}\leq\mathrm{dim}M$$
が成り立つ.

これについてはやる気があったら証明を付す(流れは$\mathfrak{p}\in\mathrm{Ass}M$とほぼ同じで局所化を考え, うまくbass数で持ち上げる).
この定理からCMが局所化で保存されることが分かる.
『$M$がCM(Cohen-Macaulay加群)⇒その局所化$M_\mathfrak{p}$もCM』
(CMなら真ん中の不等式が真に等しくなるので)
((上部のCMで観測できたので正則局所環が正則環となる経験則みたいな感じでいいですね(お気持ち)))
強鎖状環であることも見れる.

CMに慣れるためもう一つ命題を挙げる(本記事の目的の定理より正しいことが分かる).

$A$をネーター局所環, $M$を有限生成$A$加群とする. この時明らかに次の包含関係がある.
$\mathrm{Ass}M\supset\{\mathfrak{p}\in\mathrm{Ass}M\mid\mathfrak{p}\colon \mathrm{Ass}M\text{の包含に対する極小元}\}\supset\{\mathfrak{p}\in\mathrm{Ass}M\mid\mathfrak{p}\colon (\mathrm{Ass}M\text{の包含に対する極小元})\land(\mathrm{dim}R/\mathfrak{p}=\mathrm{dim}M)\}$
$M$がCMであるとき上の包含関係は真に等しい.

一応加群に付随する素イデアル集合に関して:
$\mathrm{Supp}M$について次が成り立つ
$\mathrm{Ass}M\subset\mathrm{Supp}M$
何故なら$\mathfrak{p}\in\mathrm{Ass}M$を取ると
$0\to A/\mathfrak{p} \to M$が完全で
命題でも見たように$0\to k(\mathfrak{p}) \to M_\mathfrak{p}$が完全
よって$M_\mathfrak{p} \neq0$
呼び方の問題だが$\mathrm{Ass}$の極小元でない元をembedded primeといい, 極小元をisolated primeという.
CMであれば上で見たようにembedded primeがなく$\mathrm{Ass}$の元はすべてisolated primeである.
ここら辺は加群の準素分解と深く関わりがある.
あとは$\mathrm{Ass}$と$\mathrm{Supp}$は極小元を共有するのでisolated primeは$\mathrm{Supp}$の極小元とみてもよい.

追記2(Gorenstein環)

Bass数の有用性を書き足りてない感じがあるので追記する. 特に命題3の応用を紹介する.
先ずは基本的な命題から

$A$をネーター環, $M$を$A$加群とする. この時以下は同値である.
$$\mathrm{inj.dim}M\le n\Leftrightarrow \forall \mathfrak{p}\in\mathrm{Spec}A,\mathrm{Ext}^{n+1}(A/\mathfrak{p},M)=0$$

⇒は明らかであるので逆を示す.
任意に$A$のイデアル$I$を取る, $A/I$に対してprime filtrationを考える. 即ち
$A/I=N_r\supset N_{r-1}\supset\dots\supset N_0=0 ,\ (\forall i ,\ \exists\mathfrak{p}\in\mathrm{Spec}A,N_i/N_{i-1}\cong A/\mathfrak{p})$
となるのである.$A/I$は$A/\mathfrak{p}$の拡大で得られ, $\mathrm{Ext}^{n+1}(A/\mathfrak{p},M)=0$なので$\mathrm{Ext}^{n+1}(A/I,M)=0$
従ってBaerの補題とかを考えると, $\mathrm{inj.dim}M\le n$

勿論この条件はBass数を使えば$\forall \mathfrak{p}\in\mathrm{Spec}A,\mu^{n+1}(\mathfrak{p},M)=0$と書き直せる.
では次の定理を命題3の特に対偶を用いて示す.

$A$をネーター局所環, $M$を有限生成$A$加群とする. この時次が成り立つ
$\mathrm{inj.dim}M =\mathrm{sup}\{i\mid\mu^i(\mathfrak{m},M)\neq0\}$

$n:=\mathrm{sup}\{i\mid\mu^i(\mathfrak{m},M)\neq0\}$としておく. 明らかに$n\le\mathrm{inj.dim}M$である.
任意の$\mathfrak{p}\in\mathrm{Spec}A$に対して, $\mathrm{coht}\mathfrak{p}=d$とすると次の系列がとれる.
$\mathfrak{p}=\mathfrak{p}_0\subset\dots\subset\mathfrak{p}_d=\mathfrak{m}$
ではBass数で下っていこう
$\mu^{n+d+1}(\mathfrak{m},M)=0$なので命題3を考えると$\mu^{n+d}(\mathfrak{p}_{d-1},M)=0$, 帰納的に$\mu^{n+1}(\mathfrak{p},M)=0$. したがって命題8より, $n\ge\mathrm{inj.dim}M$.

最後にGorenstein環の定義を与える.
そのために環のtypeという概念を定義しておく.

type

$A$をネーター局所環, $M$を有限生成$A$加群とする. この時, $M$のtype $r(M)$を次のように定義する.
$r(M):=\mu^{\mathrm{depth}M}(\mathfrak{m},M)$

Gorenstein環

$A$をネーター局所環とする, この時$A$がGorenstein環であるとはtype1なCohen-Macaulay環であることを言う. explicitに書くと
$A:$Gorenstein環 $:\Leftrightarrow[r(A)=1]\land[\mathrm{depth}A=\mathrm{dim}A]$

appendix

本編とはほぼ関係ない, 適当にtex打ちしてた近い話を張り付けているだけの節.

essential epimorphism

$\mathrm{Mod}A$を$A$加群の圏とする. この時, 全射$\varphi\in\mathrm{Hom}_{\mathrm{Mod}A}(A,B)$がessential epimorphismであるとは任意の$\psi\in\mathrm{Hom}_{\mathrm{Mod}A}(X,A)$に対して$\varphi\psi$が全射ならば$\psi$もそうなることを言う.

双対的にessential monomorphismも定義する.

superfluous submodule

$M\in\mathrm{Mod}A$とその部分加群$N\subset M$が次を満たすとき$N$を$M$のsuperfluous submoduleという.すなわち
任意の部分$M$加群$L$に対して$N+L=M\Rightarrow L=M$

上の概念を用いて射影被覆(projective cover)を定義することもあるが, この記事では射によりそれを与える.

projctive cover

$M\in\mathrm{Mod}A$に対して射影加群$P\in\mathrm{Mod}A$とessential epimorphism$\varepsilon\in\mathrm{Hom}_{\mathrm{Mod}A}(P,M)$が存在するとき$(P,\varepsilon)$を$M$のprojctive coverという.

双対的に移入包絡(injective hull)も定義しておく.
同値な特徴づけになっていることの命題を一応与えておく.

$M\in\mathrm{Mod}A$に対して射影加群$P\in\mathrm{Mod}A$と全射$\varepsilon\in\mathrm{Hom}_{\mathrm{Mod}A}(P,M)$が存在して$\mathrm{Ker}\varepsilon$が$P$のsuperfluous submoduleとなるとき, またその時に限りprojective coverである

今回の射による特徴付けによる利点の気持ちを言おう. 実はessensial epimorphismはright minimal morphismという対象と関係があり, 一般にprojctive coverはright minimal morphismである. 特に左アルティン環上の有限生成加群$M$に対して$P\to M$がprojctive coverであることとright minimal morphismになることは同値であり, right minimal morphismの存在を言うことでprojctive coverの存在が言える.
その証明はしないが気になる方は『representation theolem of artin algebra』などを参照するといい.

minimal projective resolusion

$M\in\mathrm{Mod}A$の射影分解による複体を$(P_*,d_*)$とする. 各$P_i\to \mathrm{Ker}d_{i-1}$がprj. cover(射影被覆)であるとき
(但し$i=0$の時は$\varepsilon\colon P_0\to M$, $i=1$は$P_1\to\mathrm{Ker}\varepsilon$を考える)
これを極小射影分解(minimal projective resolusion)という.

例のごとく双対的に極小移入分解も定義しておく. 重要なことは極小移入分解は任意の環で存在するということである. これは可換性すら必要ない.

$\Lambda$を環として$S$を単純左$\Lambda$加群とする. この時, 任意の左$\Lambda$加群$M$とその極小移入分解$E^i(M)$に対し次が同型である.
$$\mathrm{Ext}^i(S,M)\cong \mathrm{Hom}(S,E^i(M))\ (\forall i \geq 0)$$

極小移入分解を区切り
$0\to M^i\stackrel{i_i}{\to}E^i(M)\stackrel{\pi_i}{\to} M^{i+1}\to 0\colon\text{exact}$
を考える. 任意にnon-zeroな射$\varphi\colon S\to E^i(M)$を取るとシューアの補題より$\varphi\colon\text{inj.}$($S$がsimpleだからkernelを考えればよい)したがって, $\mathrm{Im}\varphi$は$E^i(M)$の単純部分加群であり$M^i$が$E^i(M)$の本質的部分加群であったことを思い出すと$\mathrm{Im}\varphi\cap M^i\neq0$, 故に$\mathrm{Im}\varphi\subset M^i$であり$\pi\varphi=0$と分かる.
以上の議論より$\pi_i\circ-\colon\mathrm{Hom}(S,E^i(M))\to\mathrm{Hom}(S,M^{i+1})$はzero-morphism, よって$i_{i+1}\pi_i\circ-\colon\mathrm{Hom}(S,E^i(M))\to\mathrm{Hom}(S,E^{i+1}(M))$もそうである.
$\mathrm{Hom}(S,E^{i-1}(M))\to\mathrm{Hom}(S,E^i(M))\to\mathrm{Hom}(S,E^{i+1}(M))$を見るとそれぞれの射がzeroなので$\mathrm{Ext}^i(S,M)\cong \mathrm{Hom}(S,E^i(M))$が分かる.

因みに極小射影分解が存在するときはこの双対も成り立つ.
系を挙げておく.

命題1

$\Lambda$を環として$S$を半単純左$\Lambda$加群とする. この時, 任意の左$\Lambda$加群$M$とその極小移入分解$E^i(M)$に対し次が同型である.
$$\mathrm{Ext}^i(S,M)\cong \mathrm{Hom}(S,E^i(M))\ (\forall i \geq 0)$$

$S=\bigoplus S_j\ (S_i\colon\text{simple})$とすると, $\mathrm{Ext}^i(S,M)\cong\bigoplus_j\mathrm{Ext}^i(S_j,M)$であるので$S$が単純であることに帰着できる.

極小移入分解は任意の環に対して存在するが, 双対的な概念である極小射影分解に対しては必ずしも存在しない. 特別な場合として局所ネーター環でそれが存在することを示す.

$A$をネーター局所環, $M$有限生成$A$加群とするとこれに対する極小射影分解が存在する. この分解の複体を$(P^*(M),d_*)$と書いたとき, $P^i(M)$は自由でもあり$d_i(P^i(M))\subset\mathfrak{m}P_{i-1}$を満たし, $P_0\otimes A/\mathfrak{m}=M\otimes A/\mathfrak{m}=M/\mathfrak{m}M$.

構成する. $M\otimes A/\mathfrak{m}$の$k$ベクトル空間としての生成系$\{e_i\}$とそれに対する代表元$m_i\in M$をfixする. この時次の射は全射である
$\varepsilon\colon P_o:=\bigoplus Ae_i\to M;e_i\to m_i$
何故なら作り方により$M=\mathrm{Im}\varepsilon+\mathfrak{m}M$であり, いつものように中山の補題を用いればよい.
またこれはessential epimorphismになっている. 実際, $\mathrm{Ker}\varepsilon\subset\mathfrak{m}P_0$であるので$\mathrm{Ker}\varepsilon+L=P_0\Rightarrow \mathfrak{m}P_0+L=P_0$でまた中山の補題から従う. すなわちこれは射影被覆に他ならず$P_0$は有限生成加群なのでネーター性より$\mathrm{Ker}\varepsilon$もそう, よって上の議論を同様に繰り返すことにより極小射影分解が得られる.

$A$をネーター局所環, $M$を有限生成$A$加群とする.
この時以下が同値である.

$M$は自由加群.
$M$は射影加群
$M$は平坦加群
$\mathrm{Tor}_1(A/\mathfrak{m},M)=0$

$1\Rightarrow 2\Rightarrow 3\Rightarrow 4$は明らかであるので$4\Rightarrow 1$を示す.
$M$のproj. cover(特に自由加群による)に対して次の完全列を考える
$0\to K\to P_0\to M\to0 $
Torで伸ばして
$\dots\to\mathrm{Tor}_1(A/\mathfrak{m},M)\to K\otimes A/\mathfrak{m}\to P_0\otimes A/\mathfrak{m}\to M\otimes A/\mathfrak{m}\to0$
ここで$P_0\otimes A/\mathfrak{m}= M\otimes A/\mathfrak{m}$であり,$ K\otimes A/\mathfrak{m}=K/\mathfrak{m}K=0$で中山の補題を考えると, $K=0$
完全性を用いて$P_0\cong M$で$M$は自由加群.

Auslander–Buchsbaum formula

$A$をネーター局所環, $M$を射影次元有限な有限生成$A$加群とする.
この時次が成り立つ
$$\mathrm{pd}M + \mathrm{depth}M=\mathrm{depth}A$$

$d=\mathrm{depth}A$とし,$r=\mathrm{pd}M$に対するinductionにより示す.
$r=0$の時, $M$は射影加群であり定理5より$A$がネーター局所環であることから自由加群である(実はネーター性はいらない). 従って, $\mathrm{depth}M=\mathrm{depth}A$.
$r=1$の時, 極小自由分解を考えれば
$0\to P_1\stackrel{d_1}{\to} P_0\to M\to0$があり, Extの長完全列
$0\to\mathrm{Ext}^{d-1}(A/\mathfrak{m},M)\to\mathrm{Ext}^{d}(A/\mathfrak{m},P_1)\to\mathrm{Ext}^{d}(A/\mathfrak{m},P_0)\to\dots$がある.
極小自由分解の性質より, $\mathrm{Im}d_1\subset\mathfrak{m}P_0$
ここで任意に$f\colon A/\mathfrak{m}\to P_1$を取ると,$A\stackrel{\pi}{\twoheadrightarrow }A/\mathfrak{m}\to P_1\to P_0$がzero-morphismと分かる. 実際$a\in A$に対して$e_1f\pi(a)=a\cdot e_1f\pi(1)=a\cdot e_1(f(1)+\mathfrak{m}f(1))=a\cdot (r x+\mathfrak{m}rx)=\mathfrak{m}x=e_1f(\bar{0})=0\ (r\in\mathfrak{m}, e_1f(1):=rx\in\mathfrak{m}P_0)$. よって右キャンセルして, $A/\mathfrak{m}\to P_1\to P_0$もzero-morphism.
故に$\mathrm{Hom}(A/\mathfrak{m},P_1)\to\mathrm{Hom}(A/\mathfrak{m},P_0)$がzero-morphismであるとわかった.
つまりそこから誘導される完全列の$\mathrm{Ext}^{d}(A/\mathfrak{m},P_1)\to\mathrm{Ext}^{d}(A/\mathfrak{m},P_0)$もまたzero-morphismなので$(!)$, $\mathrm{Ext}^{d-1}(A/\mathfrak{m},M)\cong\mathrm{Ext}^{d}(A/\mathfrak{m},P_1)\cong\bigoplus_j\mathrm{Ext}^{d}(A/\mathfrak{m},A_j)\ (A_j\cong A)$
従って, $\mathrm{depth}M = d-1$.
$r\ge 2$として$r-1$まで成り立つと仮定する. $M$のproj. coverを取って次の系列を考える.
$ 0\to K\to A^{\oplus n} \to M\to0$ここで,$\mathrm{pd}K=r-1$であり, 仮定より$\mathrm{depth}K=d-r+1$. Ext長完全列をみると
$\dots\to\mathrm{Ext}^i(A/\mathfrak{m},A^{\oplus n})\to\mathrm{Ext}^i(A/\mathfrak{m},M)\to\mathrm{Ext}^{i+1}(A/\mathfrak{m},K)\to\mathrm{Ext}^{i+1}(A/\mathfrak{m},A^{\oplus n})\to\dots$
となっていて, $i< d-r$ならば$i+1< d-r+1\le d$なので
$0\to\mathrm{Ext}^i(A/\mathfrak{m},M)\to\mathrm{Ext}^{i+1}(A/\mathfrak{m},K)\to0$
で$\mathrm{Ext}^i(A/\mathfrak{m},M)\cong\mathrm{Ext}^{i+1}(A/\mathfrak{m},K)=0\ (\because i+1<\mathrm{depth}K=d-r+1)$
$i=d-r$ならば
$0\to\mathrm{Ext}^{d-r}(A/\mathfrak{m},M)\to\mathrm{Ext}^{d-r+1}(A/\mathfrak{m},K)\to\mathrm{Ext}^{d-r+1}(A/\mathfrak{m},A^{\oplus n})\to$
であり, $d-r+1< d$となり$\mathrm{Ext}^{d-r}(A/\mathfrak{m},M)\cong\mathrm{Ext}^{d-r+1}(A/\mathfrak{m},K)\neq 0$
従って$\mathrm{depthM}=d-r$.