多重調和和の母関数について
私がこの前投稿した記事の内容に進展があったので紹介しようと思います。
https://mathlog.info/articles/4072
それではさっそくいきましょう。
記法
(i)多重ゼータ値のインデックスの向きは左向きです。たとえば、$\zeta(2,1)=\zeta(3)$です。
(ii)特に断りのない限り、許容インデックスを
\begin{eqnarray}
\mathbb{a} &\coloneqq& (a_1,a_2, \cdots, a_m),
\mathbb{b} &\coloneqq& (b_1,b_2, \cdots, b_n)
\end{eqnarray}
と定めます。
(iii)多重調和和を次の通り定義します。
\begin{eqnarray} \zeta_{\leq q}(\mathbb{a}) &\coloneqq& \sum_{0 < k_m < k_{m-1} < \cdots < k_1 \leq q} \frac{1}{ {k_1}^{a_1} \cdots {k_m}^{a_m} }, \\ \zeta_{> q}(\mathbb{a}) &\coloneqq& \sum_{q < k_m < k_{m-1} < \cdots < k_1} \frac{1}{ {k_1}^{a_1} \cdots {k_m}^{a_m} } \end{eqnarray}
(iv)差分作用素を次の通り定義します。
\begin{eqnarray} \Delta_k[f(k)] &\coloneqq& f(k+1)-f(k) \end{eqnarray}
(v)インデックスの調和微分を次の通り定義します。
\begin{eqnarray} D^*(\mathbb{a}) &\coloneqq& -\sum_{1 \leq k \leq m}a_k(a_1, \cdots, a_k+1,\cdots,a_m) \end{eqnarray}
たとえば、$D^*(2,3)=-2(3,3)-3(2,4)$です。
(vi)インデックスのシャッフル微分を次の通り定義します。
\begin{eqnarray} D^\unicode{10722}(\mathbb{a}) &\coloneqq& -\sum_{1 \leq k \leq m}(m+1-k)a_k(a_1, \cdots, a_k+1,\cdots,a_m) \end{eqnarray}
たとえば、$D^\unicode{10722}(2,3)=-4(3,3)-3(2,4)$です。
主定理
それではさっそくですが主定理を紹介します。
\begin{eqnarray} \zeta_{>q}(\mathbb{a}) = \sum_{0 \leq k} \frac{\Delta_k[\zeta_{\leq k+a_1-2}(\mathbb{a}^\dagger)]}{\binom{q+k+a_1-1}{q}} \end{eqnarray}
証明は私だけの結果ではないのでここでは省略させてください。
さて、この定理から導かれる種々の結果を紹介しようと思います。
双対性
\begin{eqnarray} \zeta(\mathbb{a})=\zeta(\mathbb{a^\dagger}) \end{eqnarray}
主定理で$q=0$とすればよい。
Q.E.D.
微分
\begin{eqnarray} \frac{d}{dq}\zeta_{>q}(\mathbb{a})=\zeta_{>q}(D^*(\mathbb{a})) \end{eqnarray}
項別微分を実行して、
\begin{eqnarray} \frac{d}{dq}\zeta_{>q}(\mathbb{a})&=&\sum_{0 \leq k} \frac{d}{dq}\frac{\Delta_k[\zeta_{\leq k+a_1-2}(\mathbb{a}^\dagger)]}{\binom{q+k+a_1-1}{q}} \\ &=&-\sum_{0 \leq k} \frac{\Delta_k[\zeta_{\leq k+a_1-2}(\mathbb{a}^\dagger)]}{\binom{q+k+a_1-1}{q}}(\zeta_{\leq q+k+a_1-1}(1)-\zeta_{\leq q}(1)) \\ &=& \zeta_{\leq q}(1)\zeta_{>q}(\mathbb{a})-\sum_{0 \leq q}\frac{\Delta_k[\zeta_{\leq k+a_1-2}(\mathbb{a}^\dagger)]}{\binom{q+k+a_1-1}{q}}\zeta_{\leq q+k+a_1-1}(1) \end{eqnarray}
多重調和和では調和関係式が成り立つことと $\zeta(1,\mathbb{a^\dagger})-\zeta(1)\zeta(\mathbb{a^\dagger})=\zeta(D^*(\mathbb{a}))$を利用すれば、
\begin{eqnarray}
&=& \zeta(1,\mathbb{a^\dagger})-\zeta(1)\zeta(\mathbb{a^\dagger})+\sum_{1 \leq k \leq m}a_k(\zeta(a_1,\cdots,a_m)-\zeta_{>q}(a_1,\cdots,a_m)) \\
&=& \zeta_{>q}(D^*(\mathbb{a}))
\end{eqnarray}
より所望の結果を得る。
Q.E.D.
積の微分
\begin{eqnarray} D^*(\mathbb{a}*\mathbb{b})=D^*(\mathbb{a})*\mathbb{b}+\mathbb{a}*D^*(\mathbb{b}) \end{eqnarray}
多重調和和は調和関係式を満たしていることから従う。
Q.E.D.
\begin{eqnarray} D^\unicode{10722}(\mathbb{a} \, \unicode{10722} \, \mathbb{b})=D^\unicode{10722}(\mathbb{a}) \, \unicode{10722} \, \mathbb{b}+\mathbb{a} \, \unicode{10722} \, D^\unicode{10722}(\mathbb{b}) \end{eqnarray}
更新予定です。
関数の変換
マクローリン展開可能な関数$f(x)$の$x^n$を$\mathbb{a}*\cdots*\mathbb{a}$($n$回)に取り替えた関数を$f^*(\mathbb{a})$,$x^n$を$\mathbb{a} \, \unicode{10722} \, \cdots \, \unicode{10722} \, \mathbb{a}$($n$回)に取り替えた関数を$f^\unicode{10722}(\mathbb{a})$とする。このとき、$f(x)$の通常の微分を$f'(x)$としたとき
\begin{eqnarray} (f')^*(\mathbb{a})=f^*(D^*(\mathbb{a})), \, \, \, (f')^\unicode{10722}(\mathbb{a})=f^\unicode{10722}(D^\unicode{10722}(\mathbb{a})) \end{eqnarray}
が成立する。
定理4,5から即座に従う。
Q.E.D.
＊この記事は随時更新していきます。
最後まで読んでくださりありがとうございました。
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