オイラー線に関するちょっとした話

$\triangle ABC$の重心を$G$，垂心を$H$とする．$xy$平面上で$A(0,a),B(-b,0),C(c,0)(a>0,bc\neq0,b\neq c)$とおくと，$G\Big(\dfrac{-b+c}{3},\dfrac{a}{3}\Big)$である．また，$AC$の傾きは$-\dfrac{a}{c}$より，$BH:y=\dfrac{c}{a}(x+b)$となる．$BH$と$y$軸の交点が$H$なので，$H\Big(0,\dfrac{bc}{a}\Big)$である．$GH\parallel BC\Rightarrow \dfrac{a}{3}=\dfrac{bc}{a}$なので，$\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{a}{c}=3$であり，これは$\tan{B}\tan{C}=3$と同値である．