σ(k) + σ(σ(k)) - k を考察

　条件を満たす置換 $ \sigma$ が存在すると仮定しよう。また、$ \dfrac{n+2}{ \phi ^{2}} =c$ とおく。
　まず、$k= \sigma ^{-1} (1) , \sigma ^{-2} (1)$ を条件式に代入する。

$$ 1+ \sigma(1) - \sigma ^{-1} (1) \geq c, \quad \sigma ^{-1} (1) + 1 - \sigma ^{-2} (1) \geq c $$

これら二式から、次を得る。

$$ n \geq \sigma (1) \geq \sigma ^{-1} (1) + c-1 \geq \sigma ^{-2} (1) + 2c-2$$

従って、

$$ \sigma ^{-1} (1) \leq n-c+1, \quad \sigma ^{-2} (1) \leq n-2c+2 $$

が成り立つ。また、$\sigma ^{-2} (1)=1$ と仮定すると、$\sigma ^{-1} (1)=\sigma (1)$ であるから、$1 \geq c$ となって矛盾する。よって、$\sigma ^{-2} (1) \geq 2$ であるから、

$$ \sigma(1) \geq 2c $$

が成り立つ。
　任意の正の整数 $m$ に対して、$ \sigma ^{-m}(1)<2c$ が成り立つことを示すことで矛盾を導こう。まず、$c \geq \dfrac{n+2}{3}$ であることから、

$$ \sigma ^{-1}(1) < 2c, \quad \sigma ^{-2} (1) < 2c $$

が成り立つ。
　$m \geq 3$ について、漸化式を立てて考える。すなわち、条件式に $\sigma ^{-m}(1)$ を代入した以下の式

$$ \sigma ^{-(m-1)}(1)+ \sigma ^{-(m-2)}(1)-c \geq \sigma ^{-m}(1) $$

について、

$$ \sigma ^{-1} (1) \leq n-c+1, \quad \sigma ^{-2} (1) \leq n-2c+2 $$

から始めて、次々と不等式を代入していくことで、以下を得る。

$$ \sigma ^{-m}(1) \leq F_{m}n - (F_{m+2}-1)c + F_{m+1} $$

ここで、$F_{m}$ はフィボナッチ数（$F_{1}=F_{2}=1,F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$）である。

　いま、$m \geq 3$ について、$ \dfrac{F_{m+1}+1}{F_{m}} \leq 2, \quad \dfrac{F_{m+2}+1}{F_{m}} \geq \phi ^{2}$ が成り立つ（後ほど証明する）ので、

$$ \frac{F_{m}n+F_{m+1}+1}{F_{m+2}+1} \geq c$$

が成り立つ。よって、

$$ \sigma ^{-m}(1) \leq 2c-1$$

が得られる。
　以上より、任意の正の整数 $m$ について $\sigma ^{-m}(1)<2c$ が成り立ち、これは $\sigma(1) \geq 2c$ に矛盾する。したがって、条件を満たす $\sigma$ は存在しない。（終）

$$ F_{m}+F_{m-1} +1 \leq F_{m}+F_{m}$$
より、
$$ F_{m+1}+1 \leq 2F_{m}$$
となるので、最初の不等式が示された。

　二つ目の不等式については、

$$ 1 \geq -(1- \phi)^{m}= \frac{1}{\sqrt{5}}(1-\phi)^{m}((1-\phi)^{2}-\phi^{2}),$$

$$ \frac{1}{\sqrt{5}} \phi ^{m+2} - \frac{1}{\sqrt{5}}(1-\phi)^{m+2}+1 \geq \frac{1}{\sqrt{5}} \phi ^{m+2} -\frac{1}{\sqrt{5}}(1-\phi)^{m} \phi^2,$$

$$ \frac{\frac{1}{\sqrt{5}}(\phi^{m+2}-(1-\phi)^{m+2})+1}{\frac{1}{\sqrt{5}}(\phi^{m}-(1-\phi)^{m})} \geq \phi^{2}$$

より、示された。（終）

　手法は定理1と同様であるが、場合分けしてちまちまやっていくことになる。
　条件を満たす$\sigma$が存在すると仮定する。まず、定理1の証明と同様に、$k= \sigma ^{-1} (1) , \sigma ^{-2} (1)$ を条件式に代入することで、以下を得る。
$$ 10 \geq \sigma (1) \geq \sigma ^{-1} (1) + 3 \geq \sigma ^{-2} (1) + 6$$
よって、$\sigma ^{-2}(1) \leq 4$ であり、$\sigma ^{-2}(1) \neq 1,\sigma(1) \geq 8$ も成り立つ（定理1の証明参照）。ここで、場合分けを行う。

（ア）$\sigma ^{-2}(1) = 2$ のとき
　$\sigma ^{-1}(1) \leq 7$ である。やはり定理1の証明と同様に、$\sigma ^{-m}(1)$ の取り得る最大値に注目する。
$\sigma ^{-2}(1)+ \sigma ^{-1}(1)-4 \geq \sigma ^{-3}(1)$ より、$\sigma^{-3}(1) \leq 5$
$\sigma ^{-3}(1)+ \sigma ^{-2}(1)-4 \geq \sigma ^{-4}(1)$ より、$\sigma^{-4}(1) \leq 3$
$\sigma ^{-4}(1)+ \sigma ^{-3}(1)-4 \geq \sigma ^{-5}(1)$ より、$\sigma^{-5}(1) \leq 4$
$\sigma ^{-5}(1)+ \sigma ^{-4}(1)-4 \geq \sigma ^{-6}(1)$ より、$\sigma^{-6}(1) \leq 3$
を得る。しかし、$ \sigma^{-3}(1),\sigma^{-4}(1),\sigma^{-5}(1),\sigma^{-6}(1)$ は、いずれも$3,4,5$のいずれかに等しいが、相異なる（$\sigma(1)$ と等しくならないため）ので、矛盾である。

（イ）$\sigma ^{-2}(1) = 3$ のとき
　$\sigma ^{-1}(1) = 6$ または $\sigma ^{-1}(1) = 7$ である。
　$\sigma ^{-1}(1) = 6$ のとき、順に計算していくと、
$$ \sigma^{-3}(1) \leq 5, \quad \sigma^{-4}(1) \leq 4, \quad \sigma^{-5}(1) \leq 5, \quad \sigma^{-6}(1) \leq 5$$
となる。しかし、$ \sigma^{-3}(1),\sigma^{-4}(1),\sigma^{-5}(1),\sigma^{-6}(1)$ は、いずれも$2,4,5$のいずれかに等しいが、相異なるので、矛盾である。
　$\sigma ^{-1}(1) = 7$ のとき、順に計算していくと、
$$ \sigma^{-3}(1) \leq 6, \quad \sigma^{-4}(1) \leq 5, \quad \sigma^{-5}(1) \leq 6, \quad \sigma^{-6}(1) \leq 6$$
が得られる（$\sigma(1)\geq8,\sigma ^{-1}(1) = 7$ より、$7$に等しくならないことに注意）。また、$\sigma^{-5}(1)$ と $\sigma^{-6}(1)$ の両方が$6$に等しくなることはないので、$\sigma^{-5}(1)+\sigma^{-6}(1) \leq 11$ が成り立つ。したがって、$\sigma^{-7}(1)\leq6$ が得られる。同じ議論を繰り返すことで、$m\geq3$ について $\sigma^{-m}(1)\leq6$ が成り立つが、これは$\sigma(1)\geq8$ に矛盾する。

（ウ）$\sigma ^{-2}(1) = 4$ のとき
　$\sigma ^{-1}(1)=7$ である。これまでと同様に計算していくと、
$$ \sigma^{-3}(1) \leq 6, \quad \sigma^{-4}(1) \leq 6, \quad \sigma^{-5}(1) \leq 6, \quad \cdots$$
が得られる（$7$に等しくならないことや、$\sigma^{-m}(1)$ と $\sigma^{-m-1}(1)$ の両方が$6$に等しくなることはないことを用いている）。したがって、やはり $\sigma(1)\geq8$ に矛盾する。

　以上より、題意は示された。（終）