アルティン定数の無限和の等式(未解決)
はじめに
これは、アルティン定数の定義式を見た時にオイラー積みたいと思い作ったものですが、収束するかなどの重要な性質についての証明をしてません。(というか、知識不足でできません。)ので、未解決と記載しました。
本題
$A=\prod_{素数=p}^{∞}(1- \frac{1}{p(p-1)})$
これは、逆数を取るとオイラー積に似た形になる。
なので一旦逆数の形で議論する。
$\prod_{素数=p}^{∞}(\frac{1}{1- \frac{1}{p(p-1)}})$
等比級数の和の公式から、
$\prod_{素数=p}^{∞}\sum_{n=0}^{∞}\frac{1}{(p(p-1))^n}$
となり、オイラー積(というかディリクレ級数)とかの性質から展開して、無限和にするとき($\frac{1}{f(x)}$の形になる)、f(x)は完全乗法性をもたなければならない。
で、完全乗法性を持つ関数は素数のときの値がわかれば自然数全体での値を求めることができる。
これは、完全乗法性と素因数分解の一意性から、
その関数が関数乗法性を持つとは(ここでは自然数の範囲)、
$任意のa.b\in\mathbb{N}$に対してf(ab)=f(a)×f(b)
が成り立つことをいう。
$n=p_1×p_2×p_3...$
↓
$f(n)=f(p_1)×f(p_2)×f(p_3)$
という操作ができるからです。
なので、f(x)の素数のときの一般的な作り方がわかればいいけど、それはもうわかっていて、f(p)=p(p-1)です。
これより、f(x)の十分な条件がわかり、この逆数をとるためにメビウス関数をかければ、
$\prod_{素数=p}^{∞}(1- \frac{1}{p(p-1)})=\sum_{a=1}^{∞} \frac{η(a)}{f(a)}$
η(x)はメビウス関数
f(x)は完全乗法性があり、f(p)=p(p-1)
となります。
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