非整数階時間微分を含む非線形拡散方程式の解の存在について

定義より,
$$\begin{array}{rl}& 2{\int }_{\mathrm{\Omega }}{{}_T^{c}D}_{t-}^{\alpha }u(x,t)u(x,t)dx-{{}_T^{c}D}_{t-}^{\alpha }\parallel u(t){\parallel }_{L^2(\mathrm{\Omega })}^2\\ & =2{\int }_{\mathrm{\Omega }}{\int }_t^T{g}_{\alpha }(s-t)u^{\prime }(x,s)u(x,t)dsdx-{\int }_t^T{g}_{\alpha }(s-t)\frac{d}{ds}{\int }_{\mathrm{\Omega }}|u(x,s){|}^{2}dxds\\ & =2{\int }_{\mathrm{\Omega }}{\int }_t^T{g}_{\alpha }(s-t)u^{\prime }(x,s)u(x,t)dsdx-2{\int }_t^T{g}_{\alpha }(s-t){\int }_{\mathrm{\Omega }}{u}^{\prime }(x,s)u(x,s)dxds\\ & =2{\int }_t^T{g}_{\alpha }(s-t){\int }_{\mathrm{\Omega }}{u}^{\prime }(x,s)u(x,t)dxds-2{\int }_t^T{g}_{\alpha }(s-t){\int }_{\mathrm{\Omega }}{u}^{\prime }(x,s)u(x,s)dxds\\ & =2{\int }_t^T{g}_{\alpha }(s-t){\int }_{\mathrm{\Omega }}{u}^{\prime }(x,s)(u(x,t)-u(x,s))dxds\\ & =-{\int }_t^T{g}_{\alpha }(s-t)\frac{d}{ds}\parallel u(t)-u(s){\parallel }_{L^2(\mathrm{\Omega })}^{2}ds\\ & =-[g_{\alpha }(s-t)\parallel u(t)-u(s){\parallel }_{L^2(\mathrm{\Omega })}^2{]}_{s=t}^{s=T}-\frac{\alpha }{\mathrm{\Gamma }(1-\alpha )}{\int }_t^T(s-t{)}^{-\alpha -1}\parallel u(s)-u(t){\parallel }_{L^2(\mathrm{\Omega })}^{2}ds\end{array}$$
となる. ここで, 平均値の定理より,
$$\begin{array}{rl}{g}_{\alpha }(s-t)\parallel u(t)-u(s){\parallel }_{L^2(\mathrm{\Omega })}^2& =\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1-\alpha )}{\int }_{\mathrm{\Omega }}(s-t{)}^{-\alpha }|u(t)-u(s){|}^{2}ds\\ & ⩽\frac{|s-t{|}^{2-\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(1-\alpha )}{\int }_{\mathrm{\Omega }}|u^{\prime }(x,\xi ){|}^{2}dx(\mathrm{\exists }\xi \in (t,s))\\ & \to 0\mathrm{a}\mathrm{s}s\to t\end{array}$$
が得られる. 以上で定理の証明が完了した. $◻$

$u_n$を,
$$u_n\to u,{\displaystyle \frac{d}{dt}}{I}_t^{1-\alpha }{u}_n\to {\displaystyle \frac{d}{dt}}{I}_{t-}^{1-\alpha }u\mathrm{i}\mathrm{n}{L}^2(0,T;L^2(\mathrm{\Omega }))$$
かつ$u_n(T)=0$をみたす滑らかな関数とする. このとき, $\parallel u_n(T){\parallel }_{L^2(\mathrm{\Omega })}=0$であるので,
$$\begin{array}{rl}{\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}{{}_T^{c}D}_{t-}^{\alpha }{u}_n(x,t)u_n(x,t)dxdt& ⩽{\int }_0^T{{}_T^{c}D}_{t-}^{\alpha }\parallel u_n(t){\parallel }_{L^2(\mathrm{\Omega })}^{2}dt\\ & ={\int }_0^T{\displaystyle \frac{d}{dt}}{\int }_t^T{g}_{\alpha }(s-t)\parallel u_n(s){\parallel }_{L^2(\mathrm{\Omega })}^{2}dsdt\\ & =[{\int }_t^T{g}_{\alpha }(s-t)\parallel u_n(s){\parallel }_{L^2(\mathrm{\Omega })}^{2}ds{]}_{t=0}^{t=T}\\ & =-{\int }_0^T{g}_{\alpha }(s)\parallel u_n(s){\parallel }_{L^2(\mathrm{\Omega })}^{2}ds\\ & ⩽0\end{array}$$
がしたがう. したがって, $n\to \mathrm{\infty }$とすれば, 証明が得られる. $◻$

弱形式$\text{(2)}$は
$$-{\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}u(x,t){{}_T^{c}D}_{t-}^{\alpha }\phi (x,t)dxdt+{\int }_0^T{G}_{\alpha }(t){\int }_{\mathrm{\Omega }}{u}_0(x)\phi (x,t)dxdt+{\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(u(x,t))\cdot \mathrm{\nabla }\phi (x,t)dxdt=0$$
と書き換えられる. ここで, $\parallel g_{\alpha }{\parallel }_{L^1(0,t)}=G_{\alpha }(t)$である. 実際, 積分の順序交換より,
$$\begin{array}{rl}& -{\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}{I}^{1-\alpha }[u(x,\cdot )-u_0(x)](t){\phi }_t(x,t)dxdt\\ & =-{\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}{\int }_0^t{g}_{\alpha }(t-\tau )(u(x,\tau )-u_0(x))d\tau {\phi }_t(x,t)dxdt\\ & =-{\int }_{\mathrm{\Omega }}{\int }_0^T{\int }_0^t{g}_{\alpha }(t-\tau )u(x,\tau )d\tau {\phi }_t(x,t)dxdt+{\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}{u}_0(x)G_{\alpha }(t){\phi }_t(x,t)dxdt\\ & =-{\int }_{\mathrm{\Omega }}{\int }_0^{T}u(x,\tau ){\int }_{\tau }^T{g}_{\alpha }(t-\tau ){\phi }_t(x,t)dtd\tau +{\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}{u}_0(x)G_{\alpha }(t){\phi }_t(x,t)dxdt\\ & =-{\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}u(x,t){{}_T^{c}D}_{t-}^{\alpha }\phi (x,t)dxdt+{\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}{u}_0(x)G_{\alpha }(t){\phi }_t(x,t)dxdt\end{array}$$
となる. 故に, $u_1,u_2$を$u_{0,1}=u_{0,2}$となる問題$\text{(CPME)}$の弱解とすると,
$$\begin{array}{}\text{(3)}& -{\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}(u_1(x,t)-u_2(x,t)){{}_T^{c}D}_{t-}^{\alpha }\phi (x,t)dxdt+{\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{\nabla }(\mathrm{\Phi }(u_1(x,t))-\mathrm{\Phi }(u_2(x,t)))\cdot \mathrm{\nabla }\phi (x,t)dxdt=0\end{array}$$
である. ここで, $u=u_1-u_2$, $v=\mathrm{\Phi }(u_1)-\mathrm{\Phi }(u_2)$とおき, $\phi =I_{t-}^{\alpha }{v}_n$とする. ただし, $v_n$は$v_n\to v$ strongly in $L^2(0,T;H_0^1(\mathrm{\Omega }))$をみたす滑らかな関数である. このとき, 式$\text{(3)}$の左辺第1項は
$$\begin{array}{c}-{\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}u(x,t){{}_T^{c}D}_{t-}^{\alpha }\phi (x,t)dxdt={\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}u(x,t)v_n(x,t)dxdt\hfill \\ \hfill \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}{\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}(u_1(x,t)-u_2(x,t))(\mathrm{\Phi }(u_1(x,t))-\mathrm{\Phi }(u_2(x,t)))dxdt⩾0\end{array}$$
となる. 第2項は補題4より,
$$\begin{array}{rl}{\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{\nabla }v(x,t)\cdot \mathrm{\nabla }\phi (x,t)dxdt& ={\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{\nabla }v(x,t)\cdot I_{t-}^{\alpha }\mathrm{\nabla }{v}_n(x,t)dxdt\\ & =-{\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}{{}_T^{c}D}_{t-}^{\alpha }(I_{t-}^{\alpha }\mathrm{\nabla }{v}_n(x,t))\cdot I_{t-}^{\alpha }(\mathrm{\nabla }{v}_n(x,t))dxdt+{\epsilon }_n\\ & ⩾{\epsilon }_n\end{array}$$
となる. ここで,
$${\epsilon }_n={\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{\nabla }(v(x,t)-v_n(x,t))\cdot I_{t-}^{\alpha }\mathrm{\nabla }{v}_n(x,t)dxdt$$
であり, $\epsilon \to 0$ as $n\to \mathrm{\infty }$がしたがう. 実際,
$$\begin{array}{rl}{\epsilon }_n& ={\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{\nabla }(v(x,t)-v_n(x,t))\cdot ({\int }_t^T{g}_{1-\alpha }(s-t)\mathrm{\nabla }{v}_n(x,s)ds)dxdt\\ & ={\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{\nabla }{v}_n(x,s)\cdot ({\int }_0^s{g}_{1-\alpha }(s-t)\mathrm{\nabla }(v(x,t)-v_n(x,t))dt)dxds\\ & ={\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{\nabla }{v}_n(x,t)\cdot I^{\alpha }[\mathrm{\nabla }(v(x,t)-v_n(x,t))]dxdt\\ & ⩽\parallel \mathrm{\nabla }{v}_n{\parallel }_{L^2(0,T;L^2(\mathrm{\Omega }))}\parallel g_{1-\alpha }{\parallel }_{L^1(0,T)}\parallel \mathrm{\nabla }(v-v_n){\parallel }_{L^2(0,T;L^2(\mathrm{\Omega }))}\\ & \to 0\mathrm{a}\mathrm{s}n\to \mathrm{\infty }\end{array}$$
と評価できる. 以上より,
$$\begin{array}{c}0⩽{\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}(u_1(x,t)-u_2(x,t))(\mathrm{\Phi }(u_1(x,t))-\mathrm{\Phi }(u_2(x,t)))dxdt\hfill \\ \hfill +{\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{\nabla }(\mathrm{\Phi }(u_1(x,t))-\mathrm{\Phi }(u_2(x,t)))\cdot I_{t-}^{\alpha }\mathrm{\nabla }(\mathrm{\Phi }(u_1(x,t))-\mathrm{\Phi }(u_2(x,t)))dxdt=0\end{array}$$
であるので, これは$u_1=u_2$ a.e. in $Q_T$を意味する. $◻$

問題$\text{(CPME)}$の弱解$u$は任意の$\eta \in L^2(0,T;H_0^1(\mathrm{\Omega }))$に対して
$${\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}{}_0^c{D}_t^{\alpha }u(x,t)\eta (x,t)dxdt+{\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(u(x,t))\cdot \mathrm{\nabla }\eta (x,t)dxdt=0$$
をみたす. ここで, $\eta =[u-M{]}_{+}$とおく. ただし,
$$[s{]}_{+}=\{\begin{array}{ll}s& \mathrm{i}\mathrm{f}s>0,\\ 0& \mathrm{i}\mathrm{f}s⩽0\end{array}$$
である. よって,
$${\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}{}_0^c{D}_t^{\alpha }u(x,t)[u(x,t)-M{]}_{+}dxdt+{\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(u(x,t))\cdot \mathrm{\nabla }[u(x,t)-M{]}_{+}dxdt=0$$
となるので, 左辺第2項は
$$\begin{array}{rl}{\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(u(x,t))\cdot \mathrm{\nabla }[u(x,t)-M{]}_{+}dxdt& ={\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}{\mathrm{\Phi }}^{\prime }(u)\mathrm{\nabla }u(x,t)\cdot \mathrm{\nabla }[u(x,t)-M{]}_{+}dxdt\\ & ={\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}{\mathrm{\Phi }}^{\prime }(u)\mathrm{\nabla }[u(x,t)-M{]}_{+}\cdot \mathrm{\nabla }[u(x,t)-M{]}_{+}dxdt\\ & ⩾\lambda {\int }_0^T\parallel \mathrm{\nabla }[u(t)-M{]}_{+}{\parallel }_{L^2(\mathrm{\Omega })}^{2}dt⩾0\end{array}$$
と非負であることがわかる. 左辺第1項は, $v=[u-M{]}_{+}$とおくと, $v_0=0$であるので, 補題1より
$$\begin{array}{rl}{\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}{}_0^c{D}_t^{\alpha }u(x,t)[u(x,t)-M{]}_{+}dxdt& ={\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}{}_0^c{D}_t^{\alpha }[u(x,t)-M{]}_{+}[u(x,t)-M{]}_{+}dxdt\\ & ={\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}{\displaystyle \frac{d}{dt}}(g_{\alpha ,n}\ast v(x,\cdot ))(t)v(x,t)dxdt+{\epsilon }_n\\ & ⩾{\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}{\displaystyle \frac{d}{dt}}(g_{\alpha ,n}\ast v^2(x,\cdot ))(t)dxdt+{\epsilon }_n\\ & ={\int }_0^T{\displaystyle \frac{d}{dt}}(g_{\alpha ,n}\ast [{\int }_{\mathrm{\Omega }}{v}^2(x,\cdot )dx])(t)dt+{\epsilon }_n\end{array}$$
と評価できる. ここで,
$${\epsilon }_n={\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}{\displaystyle \frac{d}{dt}}((g_{\alpha }-g_{\alpha ,n})\ast v(x,\cdot ))(t)v(x,t)dxdt$$
${\epsilon }_n\to 0$ as $n\to \mathrm{\infty }$である. 実際, ${\displaystyle \frac{d}{dt}}(g_{\alpha ,n}\ast \cdot )$は${\displaystyle \frac{d}{dt}}(g_{\alpha }\ast \cdot )$の吉田近似であるので,
$${\epsilon }_n⩽{\Vert {\displaystyle \frac{d}{dt}}((g_{\alpha }-g_{\alpha ,n})\ast v)\Vert }_{L^2(0,T;L^2(\mathrm{\Omega }))}\parallel v{\parallel }_{L^2(0,T;L^2(\mathrm{\Omega }))}\to 0\mathrm{a}\mathrm{s}n\to \mathrm{\infty }$$
となる. 故に,
$$(g_{\alpha ,n}\ast [{\int }_{\mathrm{\Omega }}{v}^2(x,\cdot )dx])(T)+{\epsilon }_n⩽0$$
である. ただし,
$$(g_{\alpha ,n}\ast [{\int }_{\mathrm{\Omega }}{v}^2(x,\cdot )dx])(0)=0$$
という事実を用いた. 実際, $g_{\alpha ,n}\in W^{1,1}(0,T)\subset L^{\mathrm{\infty }}(0,T)$であるので,
$$(g_{\alpha ,n}\ast [{\int }_{\mathrm{\Omega }}{v}^2(x,\cdot )dx])(t)⩽\underset{s\in (0,t)}{sup}|g_{\alpha ,n}(s)|{\int }_0^t{\int }_{\mathrm{\Omega }}|v^2(x,s)|dxds\to 0\mathrm{a}\mathrm{s}t\to 0$$
となる. よって, $n\to \mathrm{\infty }$とすれば,
$$I^{1-\alpha }\parallel v(t){\parallel }_{L^2(\mathrm{\Omega })}^2={\int }_0^t{g}_{\alpha }(t-s)\parallel [u(t)-M{]}_{+}{\parallel }_{L^2(\mathrm{\Omega })}^{2}ds⩽0$$
が得られる. これは, $[u(x,t)-M{]}_{+}=0$ a.e. in $Q_T$を意味するので,
$$u(x,t)⩽M\mathrm{a}.\mathrm{e}.\mathrm{i}\mathrm{n}{Q}_T$$
である. 同様にして,
$$m⩽u(x,t)\mathrm{a}.\mathrm{e}.\mathrm{i}\mathrm{n}{Q}_T$$
が得られる. 以上で証明が完了した. $◻$

$$u_{0,n}=\{\begin{array}{ll}n& \mathrm{i}\mathrm{f}{u}_0>n,\\ 0& \mathrm{i}\mathrm{f}0⩽u_0⩽n,\end{array}$$
$M=sup(u_{0,n})$とする. さらに, 拡散係数の退化性(または特異性)を回避するため,
$${\mathrm{\Phi }}_n(r)=\mathrm{\Phi }(r)+\frac{1}{n}r\mathrm{i}\mathrm{f}r\in [0,M]$$
と定めると,
$${\mathrm{\Phi }}_n^{\prime }(r)={\mathrm{\Phi }}^{\prime }(r)+\frac{1}{n}$$
である. ここで, 次の近似問題
$$\begin{array}{}\text{(}{P}_n\text{)}& \{\begin{array}{ll}{}_0^c{D}_t^{\alpha }{u}_n=\mathrm{\Delta }{\mathrm{\Phi }}_n(u_n)& \mathrm{i}\mathrm{n}{Q}_T,\\ u_n=0& \mathrm{o}\mathrm{n}{\mathrm{\Sigma }}_T,\\ u_n=u_{0,n}& \mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{\Omega }\times \{t=0\}\end{array}\end{array}$$
を考える. このとき, 前章の議論から問題$\text{(}{P}_n\text{)}$は任意の$\eta \in L^2(0,T;H_0^1(\mathrm{\Omega }))$に対して
$${\int }_{Q_T}{}_0^c{D}_t^{\alpha }{u}_n(x,t)\eta (x,t)dxdt+{\int }_{Q_T}\mathrm{\nabla }{\mathrm{\Phi }}_n(u_n(x,t))\cdot \mathrm{\nabla }\eta (x,t)dxdt=0$$
をみたす$u_n\in L^{\mathrm{\infty }}(Q_T)\cap L^2(0,T;H_0^1(\mathrm{\Omega }))$が一意に存在する. さらに, 最大値原理より,
$$0⩽u_n⩽M\mathrm{a}.\mathrm{e}.\mathrm{i}\mathrm{n}{Q}_T$$
である. 再度最大値原理を用いると, $u_{0,n}⩽u_{0,n+1}$ a.e. in $\mathrm{\Omega }$であるので,
$$u_n⩽u_{n+1}\mathrm{a}.\mathrm{e}.\mathrm{i}\mathrm{n}{Q}_T$$
がしたがう. これは,
$$\mathrm{\Phi }(u_n)⩽\mathrm{\Phi }(u_{n+1}),\mathrm{\Psi }(u_n)⩽\mathrm{\Psi }(u_{n+1})\mathrm{a}.\mathrm{e}.\mathrm{i}\mathrm{n}{Q}_T$$
を意味する. ここで, $\eta ={\mathrm{\Phi }}_n(u_n)$とおくと,
$${\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}{\mathrm{\Phi }}_n(u_n){}_0^c{D}_t^{\alpha }{u}_n(x,t)dxdt+{\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}{|\mathrm{\nabla }{\mathrm{\Phi }}_n(u_n(x,t))|}^{2}dxdt=0$$
となる. さらに,
$${\mathrm{\Psi }}_n(r)={\int }_0^r{\mathrm{\Phi }}_n(s)ds$$
と定義すれば, ${\mathrm{\Psi }}_n^{\prime }={\mathrm{\Phi }}_n$, ${\mathrm{\Psi }}_n^{″}={\mathrm{\Phi }}_n^{\prime }={\mathrm{\Phi }}^{\prime }+{\displaystyle \frac{1}{n}}⩾0$であるので, $\mathrm{\Psi }$が凸関数であることがわかる. よって, Lemma 1を適用すれば,
$$\begin{array}{rl}{\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}{\mathrm{\Phi }}_n(u_n){}_0^c{D}_t^{\alpha }{u}_n(x,t)dxdt& ⩾{\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}{\displaystyle \frac{d}{dt}}(g_{\alpha ,m}\ast [{\mathrm{\Psi }}_n(u_n(x,\cdot ))-{\mathrm{\Psi }}_n(u_{0,n}(x))])(t)dxdt+{\epsilon }_m\\ & =(g_{\alpha ,m}\ast [{\int }_{\mathrm{\Omega }}{\mathrm{\Psi }}_n(u_n(x,\cdot ))dx-{\int }_{\mathrm{\Omega }}{\mathrm{\Psi }}_n(u_{0,n}(x))dx])(T)+{\epsilon }_m\end{array}$$
となる. ここで,
$${\epsilon }_m={\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}{\mathrm{\Phi }}_n(u_n){\displaystyle \frac{d}{dt}}((g_{\alpha }-g_{\alpha ,m})\ast [u_n(x,\cdot )-u_{0,n}(x)])(t)dxdt\to 0\mathrm{a}\mathrm{s}m\to \mathrm{\infty }$$
である. したがって, $m\to \mathrm{\infty }$とすれば,
$$(g_{\alpha }\ast [{\int }_{\mathrm{\Omega }}{\mathrm{\Psi }}_n(u_n(x,\cdot ))dx])(T)+{\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}{|\mathrm{\nabla }{\mathrm{\Phi }}_n(u_n(x,t))|}^{2}dxdt⩽G_{\alpha }(T){\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}{\mathrm{\Psi }}_n(u_{0,n}(x))dx$$
が得られる. $g_{\alpha }$の単調性と, ${\mathrm{\Psi }}_n(u_n)=\mathrm{\Psi }(u_n)+{\displaystyle \frac{1}{2n}}{u}_n^2⩾\mathrm{\Psi }(u_n)$であることを用いると,
$$\begin{array}{}\text{(5)}& g_{\alpha }(T){\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{\Psi }(u_n(x,t))dxdt+{\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}{|\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(u_n)|}^{2}dxdt⩽G_{\alpha }(T){\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{\Psi }(u_{0,n}(x))dx+{\int }_{\mathrm{\Omega }}{u}_{0,n}^2(x)dx\end{array}$$
となる. また, ここで$|\mathrm{\nabla }{\mathrm{\Phi }}_n(u_n){|}^2⩾|\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(u_n){|}^2$であることを用いた. 実際,
$$\mathrm{\nabla }{\mathrm{\Phi }}_n(u_n)=({\mathrm{\Phi }}^{\prime }(u_n)+{\displaystyle \frac{1}{n}})\mathrm{\nabla }{u}_n$$
であるので,
$$|\mathrm{\nabla }{\mathrm{\Phi }}_n(u_n){|}^2={|{\mathrm{\Phi }}^{\prime }(u_n)+{\displaystyle \frac{1}{n}}|}^2|\mathrm{\nabla }{u}_n{|}^2⩾|{\mathrm{\Phi }}^{\prime }(u_n){|}^2|\mathrm{\nabla }{u}_n{|}^2=|\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(u_n){|}^2$$
を得る. 以上より, 式$\text{(5)}$の左辺は$n$に関して一様有界であることがわかる.
次に, ${}_0^c{D}_t^{\alpha }{u}_n$の評価を行う. 弱形式
$${\int }_{\mathrm{\Omega }}{}_0^c{D}_t^{\alpha }{u}_n(x,t)\phi (x)dx+{\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(u_n(x,t))\cdot \mathrm{\nabla }\phi (x)dx=0$$
において, $\phi$を$\parallel \phi {\parallel }_{H_0^1(\mathrm{\Omega })}=1$となるものと仮定すれば,
$$\begin{array}{}\text{(6)}& |{\int }_{\mathrm{\Omega }}{}_0^c{D}_t^{\alpha }{u}_n(x,t)w(x)dx|⩽\parallel \mathrm{\nabla }{\mathrm{\Phi }}_n(u_n(t)){\parallel }_{L^2(\mathrm{\Omega })}\parallel \mathrm{\nabla }w{\parallel }_{L^2(\mathrm{\Omega })}\end{array}$$
となる. ここで,
$${\Vert {\displaystyle \frac{d}{dt}}{I}^{1-\alpha }[u_n-u_0](t)\Vert }_{H^{-1}(\mathrm{\Omega })}=\underset{\parallel w{\parallel }_{H_0^1(\mathrm{\Omega })}=1}{sup}|{\int }_{\mathrm{\Omega }}{}_0^c{D}_t^{\alpha }{u}_n(x,t)w(x)dx|$$
である. よって, 式$\text{(6)}$の右辺は$n$に関して$L^2(0,T)$の意味で一様有界である. 以上の議論より,
$$\mathrm{\Phi }(u_{n_k})\to \mathrm{\Phi }(u)\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{l}\mathrm{y}\mathrm{i}\mathrm{n}{L}^2(0,T;H_0^1(\mathrm{\Omega }))\mathrm{a}\mathrm{s}k\to \mathrm{\infty },$$
$$I^{1-\alpha }[u_{n_k}-u_0]\to I^{1-\alpha }[u-u_0]\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{l}\mathrm{y}\mathrm{i}\mathrm{n}{H}^1(0,T;H^{-1}(\mathrm{\Omega }))\mathrm{a}\mathrm{s}k\to \mathrm{\infty }$$
となる$u$と$\{u_{n_k}\}$が存在する. さらに, $\{\mathrm{\Psi }(u_n)\}$は$L^1(0,T;L^1(\mathrm{\Omega }))$上の$n$に関して一様有界な単調増加列であるので,
$$\mathrm{\Psi }(u_{n_k})\to \mathrm{\Psi }(u)\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{y}\mathrm{i}\mathrm{n}{L}^1(0,T;L^1(\mathrm{\Omega }))\mathrm{a}\mathrm{s}k\to \mathrm{\infty }$$
となる$\{u_{n_k}\}$が存在する. 最後に, 得られた$u$が定義1の等式をみたすことを確かめる. 各項
$$\begin{array}{rl}& |{\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}{I}^{1-\alpha }[u(x,\cdot )-u_0(x)](t){\phi }_t(x,t)dxdt-{\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}{I}^{1-\alpha }[u_{n_k}(x,\cdot )-u_{0,n_k}(x)](t){\phi }_t(x,t)dxdt|\\ & =|{\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}(I^{1-\alpha }[u(x,\cdot )-u_0(x)](t)-I^{1-\alpha }[u_{n_k}(x,\cdot )-u_{0,n_k}(x)](t)){\phi }_t(x,t)dxdt|\\ & ⩽\parallel (u-u_0)-(u_{n_k}-u_{0,n_k}){\parallel }_{L^2(0,T;L^2(\mathrm{\Omega }))}\parallel g_{\alpha }{\parallel }_{L^1(0,T)}\parallel {\phi }_t{\parallel }_{L^2(0,T;L^2(\mathrm{\Omega }))}\\ & \to 0\mathrm{a}\mathrm{s}k\to \mathrm{\infty },\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}& |{\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(u(x,t))\cdot \mathrm{\nabla }\phi (x,t)dxdt-{\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(u_{n_k}(x,t))\cdot \mathrm{\nabla }\phi (x,t)dxdt|\\ & =|{\int }_0^T{\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{\nabla }(\mathrm{\Phi }(u(x,t))-\mathrm{\Phi }(u_{n_k}(x,t)))\cdot \mathrm{\nabla }\phi (x,t)dxdt|\to 0\mathrm{a}\mathrm{s}k\to \mathrm{\infty }\end{array}$$
となる. 弱解の一意性と$H^{-1}$連続性は前章の議論から得られる. 以上で証明が完了した.$◻$