非整数階時間微分を含む非線形拡散方程式の解の存在について

定義より,
\begin{align} & 2\int_{\om}\rightcaputo u(x,t)u(x,t)\ dx - \rightcaputo\|u(t)\|_{L^2(\om)}^2 \\ & = 2\int_{\om}\int_t^Tg_{\alpha}(s-t)u'(x,s)u(x,t)\ dsdx - \int_t^Tg_{\alpha}(s-t)\frac{d}{ds}\int_{\om}|u(x,s)|^2\ dxds \\ & = 2\int_{\om}\int_t^Tg_{\alpha}(s-t)u'(x,s)u(x,t)\ dsdx - 2\int_t^Tg_{\alpha}(s-t)\int_{\om}u'(x,s)u(x,s)\ dxds \\ & = 2\int_t^Tg_{\alpha}(s-t)\int_{\om}u'(x,s)u(x,t)\ dxds - 2\int_t^Tg_{\alpha}(s-t)\int_{\om}u'(x,s)u(x,s)\ dxds \\ & = 2\int_t^Tg_{\alpha}(s-t)\int_{\om}u'(x,s)(u(x,t) - u(x,s))\ dxds \\ & = -\int_t^Tg_{\alpha}(s-t)\frac{d}{ds}\|u(t) - u(s)\|_{L^2(\om)}^2\ ds \\ & = -\biggl[g_{\alpha}(s-t)\|u(t) - u(s)\|_{L^2(\om)}^2\biggl]_{s=t}^{s=T} - \frac{\alpha}{\Gamma(1-\alpha)}\int_t^T(s-t)^{-\alpha-1}\|u(s) - u(t)\|_{L^2(\om)}^2\ ds \end{align}
となる. ここで, 平均値の定理より,
\begin{align} g_{\alpha}(s-t)\|u(t) - u(s)\|_{L^2(\om)}^2 & = \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\int_{\om}(s-t)^{-\alpha}|u(t) - u(s)|^2\ ds \\ & \leqslant \frac{|s-t|^{2-\alpha}}{\Gamma(1-\alpha)}\int_{\om}|u'(x,\xi)|^2\ dx\ \ \ (\exists\xi \in (t,s)) \\ & \to 0\ \ {\rm as}\ \ s \to t \end{align}
が得られる. 以上で定理の証明が完了した. $\square$

$u_n$を,
\begin{equation} u_n \to u,\ \ \dt I_t^{1-\alpha}u_n \to \dt I_{t-}^{1-\alpha}u\ \ {\rm in}\ \ L^2(0,T; L^2(\om)) \end{equation}
かつ$u_n(T) = 0$をみたす滑らかな関数とする. このとき, $\|u_n(T)\|_{L^2(\om)} = 0$であるので,
\begin{align} \int_0^T\int_{\om}\rightcaputo u_n(x,t)u_n(x,t)\ dxdt & \leqslant \int_0^T\rightcaputo\|u_n(t)\|_{L^2(\om)}^2\ dt \\ & = \int_0^T\dt\int_t^Tg_{\alpha}(s - t)\|u_n(s)\|_{L^2(\om)}^2\ dsdt \\ & = \biggl[\int_t^Tg_{\alpha}(s - t)\|u_n(s)\|_{L^2(\om)}^2\ ds\biggl]_{t=0}^{t=T} \\ & = -\int_0^Tg_{\alpha}(s)\|u_n(s)\|_{L^2(\om)}^2\ ds \\ & \leqslant 0 \end{align}
がしたがう. したがって, $n \to \infty$とすれば, 証明が得られる. $\square$

弱形式\eqref{2}は
\begin{equation} -\int_0^T\int_{\om}u(x,t)\rightcaputo\varphi(x,t)\ dxdt + \int_0^TG_{\alpha}(t)\int_{\om}u_0(x)\varphi(x,t)\ dxdt + \int_0^T\int_{\om}\nabla\Phi(u(x,t))\cdot\nabla\varphi(x,t)\ dxdt = 0 \end{equation}
と書き換えられる. ここで, $\|g_{\alpha}\|_{L^1(0,t)} = G_{\alpha}(t)$である. 実際, 積分の順序交換より,
\begin{align} & -\int_0^T\int_{\om}I^{1-\alpha}[u(x,\cdot)-u_0(x)](t)\varphi_t(x,t)\ dxdt \\ & = -\int_0^T\int_{\om}\int_0^tg_{\alpha}(t-\tau)(u(x,\tau) - u_0(x))\ d\tau\varphi_t(x,t)\ dxdt \\ & = -\int_{\om}\int_0^T\int_0^tg_{\alpha}(t-\tau)u(x,\tau)\ d\tau\varphi_t(x,t)\ dxdt + \int_0^T\int_{\om}u_0(x)G_{\alpha}(t)\varphi_t(x,t)\ dxdt \\ & = -\int_{\om}\int_0^Tu(x,\tau)\int_{\tau}^Tg_{\alpha}(t-\tau)\varphi_t(x,t)\ dtd\tau + \int_0^T\int_{\om}u_0(x)G_{\alpha}(t)\varphi_t(x,t)\ dxdt \\ & = -\int_0^T\int_{\om}u(x,t)\rightcaputo\varphi(x,t)\ dxdt + \int_0^T\int_{\om}u_0(x)G_{\alpha}(t)\varphi_t(x,t)\ dxdt \end{align}
となる. 故に, $u_1, u_2$を$u_{0,1} = u_{0,2}$となる問題\eqref{cpme}の弱解とすると,
\begin{equation}\label{3}\tag{3} -\int_0^T\int_{\om}(u_1(x,t)-u_2(x,t))\rightcaputo\varphi(x,t)\ dxdt + \int_0^T\int_{\om}\nabla(\Phi(u_1(x,t))-\Phi(u_2(x,t)))\cdot\nabla\varphi(x,t)\ dxdt = 0 \end{equation}
である. ここで, $u = u_1 - u_2$, $v = \Phi(u_1) - \Phi(u_2)$とおき, $\varphi = I_{t-}^{\alpha}v_n$とする. ただし, $v_n$は$v_n \to v$ strongly in $L^2(0,T; H_0^1(\om))$をみたす滑らかな関数である. このとき, 式\eqref{3}の左辺第1項は
\begin{multline} -\int_0^T\int_{\om}u(x,t)\rightcaputo\varphi(x,t)\ dxdt = \int_0^T\int_{\om}u(x,t)v_n(x,t)\ dxdt \\ \xrightarrow[n\to\infty]{} \int_0^T\int_{\om}(u_1(x,t) - u_2(x,t))(\Phi(u_1(x,t)) - \Phi(u_2(x,t)))\ dxdt \geqslant 0 \end{multline}
となる. 第2項は補題4より,
\begin{align} \int_0^T\int_{\om}\nabla v(x,t)\cdot\nabla\varphi(x,t)\ dxdt & = \int_0^T\int_{\om}\nabla v(x,t)\cdot I_{t-}^{\alpha}\nabla v_n(x,t)\ dxdt \\ & = -\int_0^T\int_{\om}\rightcaputo\left(I_{t-}^{\alpha}\nabla v_n(x,t)\right)\cdot I_{t-}^{\alpha}\left(\nabla v_n(x,t)\right)\ dxdt + {\e}_n \\ & \geqslant {\e}_n \end{align}
となる. ここで,
\begin{equation} {\e}_n = \int_0^T\int_{\om}\nabla(v(x,t)-v_n(x,t))\cdot I_{t-}^{\alpha}\nabla v_n(x,t)\ dxdt \end{equation}
であり, $\e \to 0$ as $n \to \infty$がしたがう. 実際,
\begin{align} {\e}_n & = \int_0^T\int_{\om}\nabla(v(x,t)-v_n(x,t))\cdot\left(\int_t^Tg_{1-\alpha}(s-t)\nabla v_n(x,s)\ ds\right)dxdt \\ & = \int_0^T\int_{\om}\nabla v_n(x,s)\cdot\left(\int_0^sg_{1-\alpha}(s-t)\nabla(v(x,t)-v_n(x,t))\ dt\right)dxds \\ & = \int_0^T\int_{\om}\nabla v_n(x,t)\cdot I^{\alpha}[\nabla(v(x,t)-v_n(x,t))]\ dxdt \\ & \leqslant \|\nabla v_n\|_{L^2(0,T; L^2(\om))}\|g_{1-\alpha}\|_{L^1(0,T)}\|\nabla(v-v_n)\|_{L^2(0,T; L^2(\om))} \\ & \to 0\ \ {\rm as}\ \ n \to \infty \end{align}
と評価できる. 以上より,
\begin{multline} 0 \leqslant \int_0^T\int_{\om}(u_1(x,t) - u_2(x,t))(\Phi(u_1(x,t)) - \Phi(u_2(x,t)))\ dxdt \\ + \int_0^T\int_{\om}\nabla(\Phi(u_1(x,t)) - \Phi(u_2(x,t)))\cdot I_{t-}^{\alpha}\nabla(\Phi(u_1(x,t)) - \Phi(u_2(x,t)))\ dxdt = 0 \end{multline}
であるので, これは$u_1 = u_2$ a.e. in $Q_T$を意味する. $\square$

問題\eqref{cpme}の弱解$u$は任意の$\eta \in L^2(0,T; H_0^1(\om))$に対して
\begin{equation} \int_0^T\int_{\om}\caputo u(x,t)\eta(x,t)\ dxdt + \int_0^T\int_{\om}\nabla\Phi(u(x,t))\cdot\nabla\eta(x,t)\ dxdt = 0 \end{equation}
をみたす. ここで, $\eta = [u-M]_+$とおく. ただし,
\begin{equation} [s]_+ = \begin{cases} s & {\rm if}\ \ s > 0,\\ 0 & {\rm if}\ \ s \leqslant 0 \end{cases} \end{equation}
である. よって,
\begin{equation} \int_0^T\int_{\om}\caputo u(x,t)[u(x,t)-M]_+\ dxdt + \int_0^T\int_{\om}\nabla\Phi(u(x,t))\cdot\nabla[u(x,t) - M]_+\ dxdt = 0 \end{equation}
となるので, 左辺第2項は
\begin{align} \int_0^T\int_{\om}\nabla\Phi(u(x,t))\cdot\nabla[u(x,t) - M]_+\ dxdt & = \int_0^T\int_{\om}\Phi'(u)\nabla u(x,t)\cdot\nabla[u(x,t) - M]_+\ dxdt \\ & = \int_0^T\int_{\om}\Phi'(u)\nabla [u(x,t) - M]_+\cdot\nabla[u(x,t) - M]_+\ dxdt \\ & \geqslant \lambda\int_0^T\|\nabla[u(t) - M]_+\|_{L^2(\om)}^2\ dt \geqslant 0 \end{align}
と非負であることがわかる. 左辺第1項は, $v = [u-M]_+$とおくと, $v_0 = 0$であるので, 補題1より
\begin{align} \int_0^T\int_{\om}\caputo u(x,t)[u(x,t)-M]_+\ dxdt & = \int_0^T\int_{\om}\caputo [u(x,t)-M]_+[u(x,t)-M]_+\ dxdt \\ & = \int_0^T\int_{\om}\dt\biggl(g_{\alpha,n}*v(x,\cdot)\biggl)(t)v(x,t)\ dxdt + {\e}_n \\ & \geqslant \int_0^T\int_{\om}\dt\biggl(g_{\alpha,n}*v^2(x,\cdot)\biggl)(t)\ dxdt + {\e}_n \\ & = \int_0^T\dt\left(g_{\alpha,n}*\left[\int_{\om}v^2(x,\cdot)\ dx\right]\right)(t)\ dt + {\e}_n \end{align}
と評価できる. ここで,
\begin{equation} {\e}_n = \int_0^T\int_{\om}\dt\biggl((g_{\alpha}-g_{\alpha,n})*v(x,\cdot)\biggl)(t)v(x,t)\ dxdt \end{equation}
$\e_n \to 0$ as $n \to \infty$である. 実際, $\dt(g_{\alpha,n}*\cdot)$は$\dt(g_{\alpha}*\cdot)$の吉田近似であるので,
\begin{equation} {\e}_n \leqslant \left\|\dt\biggl((g_{\alpha}-g_{\alpha,n})*v\biggl)\right\|_{L^2(0,T; L^2(\om))}\|v\|_{L^2(0,T; L^2(\om))}\ \ \to\ \ 0\ \ {\rm as}\ \ n \to \infty \end{equation}
となる. 故に,
\begin{equation} \left(g_{\alpha,n}*\left[\int_{\om}v^2(x,\cdot)\ dx\right]\right)(T) + {\e}_n \leqslant 0 \end{equation}
である. ただし,
\begin{equation} \left(g_{\alpha,n}*\left[\int_{\om}v^2(x,\cdot)\ dx\right]\right)(0) = 0 \end{equation}
という事実を用いた. 実際, $g_{\alpha,n} \in W^{1,1}(0,T) \subset L^\infty(0,T)$であるので,
\begin{equation} \left(g_{\alpha,n}*\left[\int_{\om}v^2(x,\cdot)\ dx\right]\right)(t) \leqslant \sup_{s\in(0,t)}|g_{\alpha,n}(s)|\int_0^t\int_{\om}|v^2(x,s)|\ dxds \to 0\ \ {\rm as}\ \ t \to 0 \end{equation}
となる. よって, $n \to \infty$とすれば,
\begin{equation} I^{1-\alpha}\|v(t)\|_{L^2(\om)}^2 = \int_0^tg_{\alpha}(t-s)\|[u(t)-M]_+\|_{L^2(\om)}^2\ ds \leqslant 0 \end{equation}
が得られる. これは, $[u(x,t) - M]_+ = 0$ a.e. in $Q_T$を意味するので,
\begin{equation} u(x,t) \leqslant M\ \ {\rm a.e.\ in}\ \ Q_T \end{equation}
である. 同様にして,
\begin{equation} m \leqslant u(x,t)\ \ {\rm a.e.\ in}\ \ Q_T \end{equation}
が得られる. 以上で証明が完了した. $\square$

\begin{equation} u_{0,n} = \begin{cases} n & {\rm if}\ \ u_0 > n,\\ 0 & {\rm if}\ \ 0 \leqslant u_0 \leqslant n, \end{cases} \end{equation}
$M = \sup(u_{0,n})$とする. さらに, 拡散係数の退化性(または特異性)を回避するため,
\begin{equation} \Phi_n(r) = \Phi(r) + \frac{1}{n}r\ \ {\rm if}\ \ r \in [0,M] \end{equation}
と定めると,
\begin{equation} \Phi_n'(r) = \Phi'(r) + \frac{1}{n} \end{equation}
である. ここで, 次の近似問題
\begin{equation}\label{pn}\tag{$P_n$} \begin{cases} \caputo u_n = \Delta\Phi_n(u_n) & {\rm in}\ \ Q_T,\\ u_n = 0 & {\rm on}\ \ \Sigma_T,\\ u_n = u_{0,n} & {\rm on}\ \ \om\times\{t=0\} \end{cases} \end{equation}
を考える. このとき, 前章の議論から問題\eqref{pn}は任意の$\eta \in L^2(0,T; H_0^1(\om))$に対して
\begin{equation} \int_{Q_T}\caputo u_n(x,t)\eta(x,t)\ dxdt + \int_{Q_T}\nabla\Phi_n(u_n(x,t))\cdot\nabla\eta(x,t)\ dxdt = 0 \end{equation}
をみたす$u_n \in L^\infty(Q_T) \cap L^2(0,T; H_0^1(\om))$が一意に存在する. さらに, 最大値原理より,
\begin{equation} 0 \leqslant u_n \leqslant M\ \ {\rm a.e.\ in}\ \ Q_T \end{equation}
である. 再度最大値原理を用いると, $u_{0,n} \leqslant u_{0,n+1}$ a.e. in $\om$であるので,
\begin{equation} u_n \leqslant u_{n+1}\ \ {\rm a.e.\ in}\ \ Q_T \end{equation}
がしたがう. これは,
\begin{equation} \Phi(u_n) \leqslant \Phi(u_{n+1}),\ \ \Psi(u_n) \leqslant \Psi(u_{n+1})\ \ {\rm a.e.\ in}\ \ Q_T \end{equation}
を意味する. ここで, $\eta = \Phi_n(u_n)$とおくと,
\begin{equation} \int_0^T\int_{\om}\Phi_n(u_n)\caputo u_n(x,t)\ dxdt + \int_0^T\int_{\om}\left|\nabla\Phi_n(u_n(x,t))\right|^2\ dxdt = 0 \end{equation}
となる. さらに,
\begin{equation} \Psi_n(r) = \int_0^r\Phi_n(s)\ ds \end{equation}
と定義すれば, $\Psi_n' = \Phi_n$, $\Psi_n'' = \Phi_n' = \Phi' + \dfrac{1}{n} \geqslant 0$であるので, $\Psi$が凸関数であることがわかる. よって, Lemma 1を適用すれば,
\begin{align} \int_0^T\int_{\om}\Phi_n(u_n)\caputo u_n(x,t)\ dxdt & \geqslant \int_0^T\int_{\om}\dt\biggl(g_{\alpha,m}*[\Psi_n(u_n(x,\cdot))-\Psi_n(u_{0,n}(x))]\biggl)(t)\ dxdt + {\e}_m \\ & = \biggl(g_{\alpha,m}*\left[\int_{\om}\Psi_n(u_n(x,\cdot))\ dx-\int_{\om}\Psi_n(u_{0,n}(x))\ dx\right]\biggl)(T) + {\e}_m \end{align}
となる. ここで,
\begin{equation} {\e}_m = \int_0^T\int_{\om}\Phi_n(u_n)\dt\biggl((g_{\alpha}-g_{\alpha,m})*[u_n(x,\cdot)-u_{0,n}(x)]\biggl)(t)\ dxdt \to 0\ \ {\rm as}\ \ m \to \infty \end{equation}
である. したがって, $m\to\infty$とすれば,
\begin{equation} \biggl(g_{\alpha}*\left[\int_{\om}\Psi_n(u_n(x,\cdot))\ dx\right]\biggl)(T) + \int_0^T\int_{\om}\left|\nabla\Phi_n(u_n(x,t))\right|^2\ dxdt \leqslant G_{\alpha}(T)\int_0^T\int_{\om}\Psi_n(u_{0,n}(x))\ dx \end{equation}
が得られる. $g_{\alpha}$の単調性と, $\Psi_n(u_n) = \Psi(u_n) + \dfrac{1}{2n}u_n^2 \geqslant \Psi(u_n)$であることを用いると,
\begin{equation}\label{5}\tag{5} g_{\alpha}(T)\int_0^T\int_{\om}\Psi(u_n(x,t))\ dxdt + \int_0^T\int_{\om}\left|\nabla \Phi(u_n)\right|^2\ dxdt \leqslant G_{\alpha}(T)\int_{\om}\Psi(u_{0,n}(x))\ dx + \int_{\om}u_{0,n}^2(x)\ dx \end{equation}
となる. また, ここで$|\nabla\Phi_n(u_n)|^2 \geqslant |\nabla\Phi(u_n)|^2$であることを用いた. 実際,
\begin{equation} \nabla\Phi_n(u_n) = \left(\Phi'(u_n)+\dfrac{1}{n}\right)\nabla u_n \end{equation}
であるので,
\begin{equation} |\nabla\Phi_n(u_n)|^2 = \left|\Phi'(u_n)+\dfrac{1}{n}\right|^2|\nabla u_n|^2 \geqslant |\Phi'(u_n)|^2|\nabla u_n|^2 = |\nabla\Phi(u_n)|^2 \end{equation}
を得る. 以上より, 式\eqref{5}の左辺は$n$に関して一様有界であることがわかる.
次に, $\caputo u_n$の評価を行う. 弱形式
\begin{equation} \int_{\om}\caputo u_n(x,t)\varphi(x)\ dx + \int_{\om}\nabla\Phi(u_n(x,t))\cdot\nabla\varphi(x)\ dx = 0 \end{equation}
において, $\varphi$を$\|\varphi\|_{H_0^1(\om)} = 1$となるものと仮定すれば,
\begin{equation}\label{6}\tag{6} \left|\int_{\om}\caputo u_n(x,t)w(x)\ dx\right| \leqslant \|\nabla\Phi_n(u_n(t))\|_{L^2(\om)}\|\nabla w\|_{L^2(\om)} \end{equation}
となる. ここで,
\begin{equation} \left\|\dt I^{1-\alpha}[u_n-u_0](t)\right\|_{H^{-1}(\om)} = \sup_{\|w\|_{H_0^1(\om)}=1}\left|\int_{\om}\caputo u_n(x,t)w(x)\ dx\right| \end{equation}
である. よって, 式\eqref{6}の右辺は$n$に関して$L^2(0,T)$の意味で一様有界である. 以上の議論より,
\begin{equation} \Phi(u_{n_k}) \to \Phi(u)\ \ {\rm weakly\ in}\ \ L^2(0,T; H_0^1(\om))\ \ {\rm as}\ \ k \to \infty, \end{equation}
\begin{equation} I^{1-\alpha}[u_{n_k}-u_0] \to I^{1-\alpha}[u-u_0]\ \ {\rm weakly\ in}\ \ H^1(0,T; H^{-1}(\om))\ \ {\rm as}\ \ k \to \infty \end{equation}
となる$u$と$\{u_{n_k}\}$が存在する. さらに, $\{\Psi(u_n)\}$は$L^1(0,T; L^1(\om))$上の$n$に関して一様有界な単調増加列であるので,
\begin{equation} \Psi(u_{n_k}) \to \Psi(u)\ \ {\rm strongly\ in}\ \ L^1(0,T; L^1(\om))\ \ {\rm as}\ \ k \to \infty \end{equation}
となる$\{u_{n_k}\}$が存在する. 最後に, 得られた$u$が定義1の等式をみたすことを確かめる. 各項
\begin{align} & \left|\int_0^T\int_{\om}I^{1-\alpha}[u(x,\cdot) - u_0(x)](t)\varphi_t(x,t)\ dxdt - \int_0^T\int_{\om}I^{1-\alpha}[u_{n_k}(x,\cdot) - u_{0,n_k}(x)](t)\varphi_t(x,t)\ dxdt\right| \\ & = \left|\int_0^T\int_{\om}\left(I^{1-\alpha}[u(x,\cdot) - u_0(x)](t) - I^{1-\alpha}[u_{n_k}(x,\cdot) - u_{0,n_k}(x)](t)\right)\varphi_t(x,t)\ dxdt\right| \\ & \leqslant \|(u-u_0)-(u_{n_k}-u_{0,n_k})\|_{L^2(0,T; L^2(\om))}\|g_{\alpha}\|_{L^1(0,T)}\|\varphi_t\|_{L^2(0,T; L^2(\om))} \\ & \to 0\ \ {\rm as}\ \ k \to \infty, \end{align}
\begin{align} & \left|\int_0^T\int_{\om}\nabla \Phi(u(x,t))\cdot\nabla\varphi(x,t)\ dxdt - \int_0^T\int_{\om}\nabla \Phi(u_{n_k}(x,t))\cdot\nabla\varphi(x,t)\ dxdt\right| \\ & = \left|\int_0^T\int_{\om}\nabla(\Phi(u(x,t)) - \Phi(u_{n_k}(x,t)))\cdot\nabla\varphi(x,t)\ dxdt\right| \to 0\ \ {\rm as}\ \ k \to \infty \end{align}
となる. 弱解の一意性と$H^{-1}$連続性は前章の議論から得られる. 以上で証明が完了した.$\square$

$u_n^{p-1}$をテスト関数とすると,
\begin{equation} \int_0^t\int_{\om}u_n^{p-1}(x,s)\caputo u_n(x,s)\ dxds + \int_0^t\int_{\om}\nabla\Phi_n(u_n(x,s))\cdot\nabla u_n^{p-1}(x,s)\ dxds = 0 \end{equation}
となるので, Classical Chain-ruleより
\begin{equation} \int_0^t\int_{\om}\nabla\Phi_n(u_n(x,s))\cdot\nabla u_n^{p-1}(x,s)\ dxds = (p-1)\int_0^t\int_{\om}\Phi_n'(u_n(x,s))u_n^{p-2}(x,t)|\nabla u_n(x,t)|^2\ dxds \geqslant 0 \end{equation}
がわかる. さらに, Lemma 1を用いると,
\begin{align} \int_0^t\int_{\om}u_n^{p-1}(x,s)\caputo u_n(x,s)\ dxds & \geqslant \frac{1}{p}\int_0^t\int_{\om}\ds\biggl(g_{\alpha,m}*[u_n^p(x,\cdot) - u_{0,n}^p(x)]\biggl)(s)\ dxds + {\e}_m \\ & = \frac{1}{p}\biggl(g_{\alpha,m}*\left[\int_{\om}u_n^p(x,\cdot)\ dx - \int_{\om}u_{0,n}^p(x)\ dx\right]\biggl)(t) + {\e}_m, \end{align}
が得られる. ここで,
\begin{equation} {\e}_m = \int_0^t\int_{\om}u_n^{p-1}(x,s)\ds\biggl((g_{\alpha}-g_{\alpha,m})*[u_n(x,\cdot)-u_{0,n}(x)]\biggl)(s)\ dxds \to 0\ \ {\rm as}\ \ m \to \infty \end{equation}
であるので, $m \to \infty$とすれば
\begin{equation} I^{1-\alpha}\|u_n(t)\|_{L^p(\om)}^p \leqslant G_{\alpha}(t)\|u_{0,n}\|_{L^p(\om)}^p \end{equation}
を得る. $g_{1-\alpha}$との合成積を取れば,
\begin{equation} \|u_n\|_{L^p(0,T; L^p(\om)} \leqslant T^{\frac{1}{p}}\|u_{0,n}\|_{L^p(\om)}. \end{equation}
が得られる. 故に, $\{u_n\}$は$L^p(0,T; L^p(\om))$内の上に有界な単調増加列であるので,
\begin{equation} u_{n_k} \to u\ \ {\rm strongly\ in}\ \ L^p(0,T; L^p(\om))\ \ {\rm as}\ \ k \to \infty \end{equation}
となる$\{u_{n_k}\}$と$u \in L^p(0,T; L^p(\om))$が存在する.$\square$