偶然見つけた面白い近似
はじめに
どうも、色々やる数学徒です。
最近僕がTwitterで騒いでいる多重積をご存知でしょうか？
今回はそんな多重積を研究しているときに偶然発見した近似を紹介したいと思います。
目次
1.多重積の定義
2.具体値
3.定理
4.予想
5.表示1
6.表示2
7.面白い近似
8.まとめ
$\displaystyle Z_{\Gamma_1,…,\Gamma_r}[f]:=\prod_{\gamma_1\in\Gamma_1,…,\gamma\in\Gamma_r}f(\gamma_1,…,\gamma_r)$
これが僕が定義した多重積というものなのですが、正直有限個の集合で多変数複素関数の積をとったとしても大きく形が変わったりはしなさそうです。しかし、特殊な空間や無限個の要素からなる集合ではどうでしょうか？
いきなり多変数複素関数で行う前にRiemannゼータ関数ではどうなるのかということで今回は$Z_{\Gamma}[\zeta]$の特殊値を見ていこうと思います。
$\displaystyle Z_{\mathbb N\backslash \{1\}}[\zeta]=2.2948565916…$
$Z_{2\mathbb N}[\zeta]=1.8210174514…$
$Z_{2\mathbb N+1}[\zeta]=1.2602057107…$
$Z_{3\mathbb N}[\zeta]=1.2257…$
$Z_{3\mathbb N+1}[\zeta]=1.0926…$
$Z_{3\mathbb N+2}[\zeta]=1.04174$
$Z_{4\mathbb N}[\zeta]=1.08702…$
$Z_{4\mathbb N+1}[\zeta]=1.03915…$
$Z_{4\mathbb N+2}[\zeta]=1.018142…$
$Z_{4\mathbb N+3}[\zeta]=1.00888…$
$Z_{5\mathbb N}[\zeta]=1.03799…$
$Z_{5\mathbb N+1}[\zeta]=1.01786…$
$Z_{5\mathbb N+2}[\zeta]=1.00861…$
$Z_{5\mathbb N+3}[\zeta]=1.0042…$
$Z_{5\mathbb N+4}[\zeta]=1.00207…$
近似値はWolfram Alphaで計算
$\displaystyle Z_{a\mathbb N}[\zeta]^{-1}=\prod_{p}p^{\frac{a}{24}}\eta\left(\frac{ai\log p}{2\pi}\right),\Re (a)>1$
オイラー積表示よりほぼ自明である
$Z_\Gamma[\zeta]$は$\Gamma⊂\mathbb Q^+$のとき無理数である
以下では$2\mathbb N$のときについて考えている
$\displaystyle Z_{2\mathbb N}[\zeta]^{-1}=\prod_{p}p^{\frac{1}{12}}\eta\left(\frac{i\log p}{\pi}\right)$
実際に確認したい人は こちら をご覧ください。
$\displaystyle Z_{2\mathbb N}[\zeta]\approx\exp\left(1-\frac{9\mathcal{P}_c(simple\,cubic\,site)}{7}\right)$
ここで$\mathcal{P}_c(simple\,cubic\,site)$は単純立方格子のサイトパーコレーション閾値
$\displaystyle Z_{4\mathbb N}[\zeta]\approx\exp\left(\frac{1}{10}\sqrt{\mathcal P_c(honeycomb \;site)}\right)$
ここで$\mathcal P_c(honeycomb \;site)$は蜂の巣格子のサイトパーコレーション閾値
僕も近似値を計算しているときたまたま「値が似ているなあ」と感じただけなので、なぜゼータの計算でパーコレーションが登場したかはよく分かっていません。(1次元の対称単純ランダムウォークが再起的であることを示すときもゼータが登場するのでそこに意味があるかもしれませんし、ただの偶然かもしれないですね)
まとめ
個人的に今回のことでやはりゼータは奥が深いと再認識することができました。いつかどろ色数予想を証明してみたいです。(無理数度と超幾何級数を用いればいけるかもしれません)
最後の近似が面白いと感じた方は$\zeta(3)$とカシミール効果、原子核のエネルギーの行列理論と非自明零点の間隔などを見てみてもいいと思います。(
カシミール効果
、
モンゴメリー・オドリズコ予想
)
12~3月に様々な関数の多重積における各種結果のまとめを投稿します。