マイナー順序のフィルターで禁止マイナーを表す

はじめに

これはグラフ理論の記事です。
証明はとばすことがあります。

本題

マイナーを表すためにグラフの縮約について書く。
縮約とは、グラフの辺を一つ選び、選んだ辺を削除して、辺の両端の点をくっつける。
そうして得らてたグラフを$G/e$(グラフ$G$の辺$e$を縮約したという意味)と書く。
次にマイナー順序

これを使って順序を作る、と言ってもそのままで、

マイナー順序は半順序ですが、証明がわからず、ネットでは 推移律について 書かれていましたが、反対称律はわかりませんでした。(反射律は縮約をしないまたは0かいするとすれば自明で良いと思います)

ここで禁止マイナーをフィルターで表すためにフィルターの定義を確認する。

ここで$G$をグラフ全体として、禁止マイナーを$a_1,a_2,,,$として、禁止マイナー全体を$U$とする。$a_1$をマイナーとして含むグラフ全体を$F_{a_1}$とする、これはフィルターである。$a_2,a_3,,,$にも同じことができる。
すると、$F_{a_x}$は$a_x$をマイナーとして含むグラフを全て含み、かつそれしか含まないので(2の性質と$F_{a_x}$の構成方法からくる)、その補集合は$a_x$をマイナーとして含まないグラフの集合となる。
これより、
$A=(\bigcup_{a_i\in U} F_{a_i})^c$
ここで、大事な定理

証明は省きます。ざっくりとした証明やより詳しく見たい人は
駆け足で学ぶグラフマイナーの定理
を参照してください。
これらから、$X$のグラフをマイナーとして含まないグラフの集合$A$がマイナーで閉じていたら
$n\in \mathbb{N}$
$A=(\bigcup_{i =1}^n F_{a_i})^c$
になる。

おわりに

禁止マイナーとそれで特徴付けられたグラフのフィルターを使った表し方について書きました。
間違いがあったら教えてください。