RahmanによるAskey-Wilson多項式の母関数
$x=\cos\theta$とする. Askey-Wilson多項式は
\begin{align}
p_n(x;a,b,c,d|q)&=a^{-n}(ab,ac,ad;q)_n\Q43{q^{-n},abcdq^{n-1},ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{ab,ac,ad}q
\end{align}
と定義される. その${}_4\phi_3$の部分を
\begin{align}
r_n(x;a,b,c,d):=\Q43{q^{-n},abcdq^{n-1},ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{ab,ac,ad}q
\end{align}
とする. 今回は以下の母関数を示す.
$x=\cos\theta$とするとき,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(abcd/q;q)_n}{(q;q)_n}t^n r_n(x;a,b,c,d|q)\\
&=\frac{(abcdt/q;q)_{\infty}}{(t;q)_{\infty}}\Q65{\sqrt{abcd/q},-\sqrt{abcd/q},\sqrt{abcd},-\sqrt{abcd},ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{ab,ac,ad,abcdt/q,q/t}{q}\\
&\qquad+\frac{(abcd/q,abt,act,adt,ae^{i\theta},ae^{-i\theta};q)_{\infty}}{(ab,ac,ad,ate^{i\theta},ate^{-i\theta},1/t;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\Q65{t\sqrt{abcd/q},-t\sqrt{abcd/q},t\sqrt{abcd},-t\sqrt{abcd},ate^{i\theta},ate^{-i\theta}}{abt,act,adt,abcdt^2/q,tq}{q}
\end{align}
が成り立つ.
$q$積分を
\begin{align}
\int_a^bf(t)\,d_qt:=\sum_{0\leq n}(bq^nf(bq^n)-aq^nf(aq^n))
\end{align}
として,
\begin{align}
w(x;a,b,c,d|q)&:=\left|\frac{(e^{2i\theta};q)_{\infty}}{(ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{i\theta},de^{i\theta};q)_{\infty}}\right|^2\frac 1{\sin\theta}
\end{align}
とおく.
前の記事
で示した$q$積分表示
\begin{align}
p_n(x;a,b,c,d|q)&=\frac{2i(ab,ac,bc;q)_n}{(q,ab,ac,bc,de^{i\theta},de^{-i\theta};q)_{\infty}w(x;a,b,c,d|q)}\\
&\qquad\int_{e^{i\theta}}^{e^{-i\theta}}\frac{(e^{i\theta}uq,e^{-i\theta}uq,abcu;q)_{\infty}}{(au,bu,cu;q)_{\infty}}\frac{(d/u;q)_n}{(abcu;q)_n}u^n\,d_qu
\end{align}
の両辺に
\begin{align}
\frac{(abcd/q;q)_n}{(q;q)_n}\frac{(at)^n}{(ab,ac,ad;q)_n}
\end{align}
を掛けて足し合わせると,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(abcd/q;q)_n}{(q;q)_n}t^nr_n(x;a,b,c,d|q)\\
&=\frac{2i}{(q,ab,ac,bc,de^{i\theta},de^{-i\theta};q)_{\infty}w(x;a,b,c,d|q)}\\
&\qquad\int_{e^{i\theta}}^{e^{-i\theta}}\frac{(e^{i\theta}uq,e^{-i\theta}uq,abcu;q)_{\infty}}{(au,bu,cu;q)_{\infty}}\Q32{abcd/q,bc,d/u}{ad,abcu}{atu}\,d_qu
\end{align}
となる. ここで,
non-terminating Sears-Carlitzの変換公式
より
\begin{align}
&\Q32{abcd/q,bc,d/u}{ad,abcu}{atu}\\
&=\frac{(abcdt/q;q)_{\infty}}{(t;q)_{\infty}}\Q54{\sqrt{abcd/q},-\sqrt{abcd/q},\sqrt{abcd},-\sqrt{abcd},au}{ad,abcu,abcdt/q,q/t}q\\
&\qquad+\frac{(abcd/q,au,adt,abctu;q)_{\infty}}{(ad,abcu,atu,1/t;q)_{\infty}}\Q54{t\sqrt{abcd/q},-t\sqrt{abcd/q},t\sqrt{abcd},-t\sqrt{abcd},atu}{adt,abctu,abcdt^2/q,tq}q
\end{align}
であるから,
\begin{align}
&\int_{e^{i\theta}}^{e^{-i\theta}}\frac{(e^{i\theta}uq,e^{-i\theta}uq,abcu;q)_{\infty}}{(au,bu,cu;q)_{\infty}}\Q32{abcd/q,bc,d/u}{ad,abcu}{atu}\,d_qu\\
&=\frac{(abcdt/q;q)_{\infty}}{(t;q)_{\infty}}\int_{e^{i\theta}}^{e^{-i\theta}}\frac{(e^{i\theta}uq,e^{-i\theta}uq,abcu;q)_{\infty}}{(au,bu,cu;q)_{\infty}}\Q54{\sqrt{abcd/q},-\sqrt{abcd/q},\sqrt{abcd},-\sqrt{abcd},au}{ad,abcu,abcdt/q,q/t}q\,d_qu\\
&\qquad+\frac{(abcd/q,adt;q)_{\infty}}{(ad,1/t;q)_{\infty}}\int_{e^{i\theta}}^{e^{-i\theta}}\frac{(e^{i\theta}uq,e^{-i\theta}uq,abctu;q)_{\infty}}{(bu,cu,atu;q)_{\infty}}\\
&\qquad\qquad\cdot\Q54{t\sqrt{abcd/q},-t\sqrt{abcd/q},t\sqrt{abcd},-t\sqrt{abcd},atu}{adt,abctu,abcdt^2/q,tq}q\,d_qu
\end{align}
ここで, 第1項は
\begin{align}
&\int_{e^{i\theta}}^{e^{-i\theta}}\frac{(e^{i\theta}uq,e^{-i\theta}uq,abcu;q)_{\infty}}{(au,bu,cu;q)_{\infty}}\Q54{\sqrt{abcd/q},-\sqrt{abcd/q},\sqrt{abcd},-\sqrt{abcd},au}{ad,abcu,abcdt/q,q/t}q\,d_qu\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(\sqrt{abcd/q},-\sqrt{abcd/q},\sqrt{abcd},-\sqrt{abcd};q)_n}{(q,ad,abcdt/q,q/t;q)_n}q^n\int_{e^{i\theta}}^{e^{-i\theta}}\frac{(e^{i\theta}uq,e^{-i\theta}uq,abcuq^n;q)_{\infty}}{(auq^n,bu,cu;q)_{\infty}}\,d_qu
\end{align}
ここで,
Al-Salam-Verma積分
より,
\begin{align}
&\int_{e^{i\theta}}^{e^{-i\theta}}\frac{(e^{i\theta}uq,e^{-i\theta}uq,abcuq^n;q)_{\infty}}{(auq^n,bu,cu;q)_{\infty}}\,d_qu\\
&=e^{-i\theta}\frac{(e^{2i\theta},e^{-2i\theta}q,abq^n,acq^n,bc,q;q)_{\infty}}{(ae^{i\theta}q^n,ae^{-i\theta}q^n,be^{i\theta},be^{-i\theta},ce^{i\theta},ce^{-i\theta};q)_{\infty}}\\
&=\frac 1{2i\sin\theta}\frac{(e^{2i\theta},e^{-2i\theta},ab,ac,bc,q;q)_{\infty}}{(ae^{i\theta},ae^{-i\theta},be^{i\theta},be^{-i\theta},ce^{i\theta},ce^{-i\theta};q)_{\infty}}\frac{(ae^{i\theta},ae^{-i\theta};q)_n}{(ab,ac;q)_n}\\
&=\frac 1{2i}(q,ab,ac,bc,de^{i\theta},de^{-i\theta};q)_{\infty}w(x;a,b,c,d|q)\frac{(ae^{i\theta},ae^{-i\theta};q)_n}{(ab,ac;q)_n}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
&\int_{e^{i\theta}}^{e^{-i\theta}}\frac{(e^{i\theta}uq,e^{-i\theta}uq,abcu;q)_{\infty}}{(au,bu,cu;q)_{\infty}}\Q54{\sqrt{abcd/q},-\sqrt{abcd/q},\sqrt{abcd},-\sqrt{abcd},au}{ad,abcu,abcdt/q,q/t}q\,d_qu\\
&=\frac 1{2i}(q,ab,ac,bc,de^{i\theta},de^{-i\theta};q)_{\infty}w(x;a,b,c,d|q)\\
&\qquad\cdot\Q65{\sqrt{abcd/q},-\sqrt{abcd/q},\sqrt{abcd},-\sqrt{abcd},ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{ab,ac,ad,abcdt/q,q/t}{q}
\end{align}
を得る. また, 先ほどの第2項も同様にAl-Salam-Verma積分より,
\begin{align}
&\int_{e^{i\theta}}^{e^{-i\theta}}\frac{(e^{i\theta}uq,e^{-i\theta}uq,abctu;q)_{\infty}}{(bu,cu,atu;q)_{\infty}}\Q54{t\sqrt{abcd/q},-t\sqrt{abcd/q},t\sqrt{abcd},-t\sqrt{abcd},atu}{adt,abctu,abcdt^2/q,tq}q\,d_qu\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(t\sqrt{abcd/q},-t\sqrt{abcd/q},t\sqrt{abcd},-t\sqrt{abcd};q)_n}{(q,adt,abcdt^2/q,tq;q)_n}q^n\int_{e^{i\theta}}^{e^{-i\theta}}\frac{(e^{i\theta}uq,e^{-i\theta}uq,abctuq^n;q)_{\infty}}{(bu,cu,atuq^n;q)_{\infty}}\,d_qu\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(t\sqrt{abcd/q},-t\sqrt{abcd/q},t\sqrt{abcd},-t\sqrt{abcd};q)_n}{(q,adt,abcdt^2/q,tq;q)_n}q^n \frac 1{2i\sin\theta}\frac{(e^{2i\theta},e^{-2i\theta},abtq^n,actq^n,bc,q;q)_{\infty}}{(ate^{i\theta}q^n,ate^{-i\theta}q^n,be^{i\theta},be^{-i\theta},ce^{i\theta},ce^{-i\theta};q)_{\infty}}\\
&=\frac 1{2i}\frac{(q,abt,act,bc,ae^{i\theta},ae^{-i\theta},de^{i\theta},de^{-i\theta};q)_{\infty}}{(ate^{i\theta},ate^{-i\theta};q)_{\infty}}w(x;a,b,c,d|q)\\
&\qquad\cdot\Q65{t\sqrt{abcd/q},-t\sqrt{abcd/q},t\sqrt{abcd},-t\sqrt{abcd},ate^{i\theta},ate^{-i\theta}}{abt,act,adt,abcdt^2/q,tq}q
\end{align}
となる. よってこれらを代入すると,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(abcd/q;q)_n}{(q;q)_n}t^nr_n(x;a,b,c,d|q)\\
&=\frac{(abcdt/q;q)_{\infty}}{(t;q)_{\infty}}\Q65{\sqrt{abcd/q},-\sqrt{abcd/q},\sqrt{abcd},-\sqrt{abcd},ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{ab,ac,ad,abcdt/q,q/t}{q}\\
&\qquad+\frac{(abcd/q,abt,act,adt,ae^{i\theta},ae^{-i\theta};q)_{\infty}}{(ab,ac,ad,ate^{i\theta},ate^{-i\theta},1/t;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\Q65{t\sqrt{abcd/q},-t\sqrt{abcd/q},t\sqrt{abcd},-t\sqrt{abcd},ate^{i\theta},ate^{-i\theta}}{abt,act,adt,abcdt^2/q,tq}{q}
\end{align}
となって示すべき等式を得る.
これはWilson多項式の母関数
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(a+b+c+d-1)_n}{n!(a+b,a+c,a+d)_n}W_n(x^2)t^n\\
&=(1-t)^{1-a-b-c-d}\F43{\frac{a+b+c+d-1}2,\frac{a+b+c+d}2,a+ix,a-ix}{a+b,a+c,a+d}{-\frac{4t}{(1-t)^2}}
\end{align}
の$q$類似である.
定理1について, 特に$ad=bc$の場合はそれより前のGapser-Rahmanの1986年の論文で示されていたようである.
$b=a\sqrt q,d=c\sqrt q$の場合
$b=a\sqrt q,d=c\sqrt q$の場合は連続$q$-Jacobi多項式に対応する. そのとき,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(a^2c^2;q)_n}{(q;q)_n}t^n r_n(x;a,a\sqrt q,c,c\sqrt q|q)\\
&=\frac{(a^2c^2t;q)_{\infty}}{(t;q)_{\infty}}\Q43{-ac,-ac\sqrt q,ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{a^2\sqrt q,a^2c^2t,q/t}{q}\\
&\qquad+\frac{(a^2c^2,a^2t\sqrt q,act,act\sqrt q,ae^{i\theta},ae^{-i\theta};q)_{\infty}}{(a^2\sqrt q,ac,ac\sqrt q,ate^{i\theta},ate^{-i\theta},1/t;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\Q43{-act,-act\sqrt q,ate^{i\theta},ate^{-i\theta}}{a^2t\sqrt q,a^2c^2t,tq}{q}\\
\end{align}
となる. ここで, 右辺は
non-terminating Watsonの変換公式
より,
\begin{align}
&\frac{(a^2c^2t;q)_{\infty}}{(t;q)_{\infty}}\Q43{-ac,-ac\sqrt q,ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{a^2\sqrt q,a^2c^2t,q/t}{q}\\
&\qquad+\frac{(a^2c^2,a^2t\sqrt q,act,act\sqrt q,ae^{i\theta},ae^{-i\theta};q)_{\infty}}{(a^2\sqrt q,ac,ac\sqrt q,ate^{i\theta},ate^{-i\theta},1/t;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\Q43{-act,-act\sqrt q,ate^{i\theta},ate^{-i\theta}}{a^2t\sqrt q,a^2c^2t^2,tq}{q}\\
&=\frac{(a^2c^2t,a^2t,-a^2cte^{i\theta},-a^2cte^{-i\theta};q)_{\infty}}{(-a^3ct,-act,ate^{i\theta},ate^{-i\theta};q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot W\left(-a^3ct/q;-act/\sqrt q,-a/c,-ac,ae^{i\theta},ae^{-i\theta};-act\sqrt q\right)
\end{align}
と表される. ここで,
\begin{align}
W(a;b_1,\dots,b_r;x):=\Q{r+3}{r+2}{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b_1,\dots,b_r}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b_1,\dots,aq/b_r}x
\end{align}
よって, $t\mapsto t/a$として以下を得る.
$x=\cos\theta$とするとき,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(a^2c^2;q)_np_n(x;a,a\sqrt q,c,c\sqrt q|q)}{(q,a^2\sqrt q,ac,ac\sqrt q;q)_n}t^n\\
&=\frac{(at,ac^2t,-acte^{i\theta},-acte^{-i\theta};q)_{\infty}}{(-ct,-a^2ct,te^{i\theta},te^{-i\theta};q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot W\left(-a^2ct/q;-ac,-a/c,-ct/\sqrt q,ae^{i\theta},ae^{-i\theta};-ct\sqrt q\right)
\end{align}
が成り立つ.
前の記事
で
\begin{align}
C_n(x;a^2|q)&=\frac{(a^4;q)_n}{(q,-a^2;q)_n(a^4q;q^2)_n}p_n(x;a,-a,a\sqrt q,-a\sqrt q|q)
\end{align}
を示した. $c=-a$とすると通常のRogers多項式の母関数
\begin{align}
\sum_{0\leq n}C_n(x;a^2|q)t^n&=\frac{(a^2te^{i\theta},a^2te^{-i\theta};q)_{\infty}}{(te^{i\theta},te^{-i\theta};q)_{\infty}}
\end{align}
を得る.
