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リーマン予想と向き合った話(随時更新…?)

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目次

・はじめに
・リーマン予想とは
・中1僕
・中2僕
・中3僕
・余談
・最後に

はじめに

どうも、色々やる数学徒です。
この記事ではリーマン予想について考えてみて得られた結果(既出含む)を紹介します。

・この記事はリーマン予想を証明するものではありません。
・一部証明を割愛していますがご了承ください。
・真面目な記事ではないので、気分を害されるかもしれません。大変稚拙な内容となっております。自己責任でお願いします。
・僕の個人的な話が入ります。うるさいです。

リーマン予想とは

リーマン予想を理解するためにはリーマンゼータ関数について触れねばなりませんね。

リーマンゼータ関数

$\displaystyle \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$

ここで$x$でなく$s$を使うのはリーマンが論文でそう書いていたからみたいです。確かに$x$より$s$の方が唆ります。

Riemann Hypothesis

リーマンゼータ関数の非自明な零点はすべて実部$\displaystyle \frac{1}{2}$上に存在する

ここでわざわざリーマンゼータ関数と言ったのは合同ゼータ関数などは確か(あまり詳しくはないのですが)証明されていたので語弊がないように一応分けておきました。また、非自明というのは実はリーマンゼータ関数には負の偶数上に自明な零点が存在するからです。
この予想は$1859$年(黒川さんの本によるとダーウィンの進化論がでた年と同じだとか)にドイツの大数学者ベルンハルト・リーマンによって提唱されました。
mattyuuさん の記事によるとリーマンは零点を4つほど手計算で求めたことでこの予想にたどり着いたようですね。化け物すぎます。
このリーマン予想は(僕の記憶が正しければ)160年もの間解決されませんでした。
主張は一見シンプルなのですが、その実簡単には解決できません。

中1僕

では上のリーマン予想にどのようにアプローチすればかつてリーマンが思い描いた世界が見えるのでしょうか?

中1の頃の僕は非自明零点の分布が気になるのならばその非自明零点の級数なんかを考えてみてはどうだろうか、と考えていました。そして実際に以下の級数を導出していました。

結果、その1

$\displaystyle \sum_{\rho}\frac{1}{\rho}=1+\frac{γ}{2}-\frac{\ln(4\pi)}{2}$
$\displaystyle \sum_{\rho}\frac{1}{\rho^2}=1+γ^2-\frac{\pi^2}{8}+2γ_1$

上の級数は実はすでに広く知られていることを中2頃ぐらいに知りました。(確か子葉さんの記事とかで知ったはず)
下の級数についてはあまり文献を見つけることができなくて苦労した記憶があります。
導出については積分・級数の部屋、というOCにてニャーンさんに教わりました。

上の級数

ゼータ関数の 因数分解 を対数微分すると以下が出る
$\displaystyle \frac{\zeta’(s)}{\zeta(s)}=-\frac{1}{s-1}+\frac{\ln \pi+γ}{2}+\sum_{\rho}\frac{1}{s-\rho}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{s+2n}-\frac{1}{2n}\right)$
この式に$s=0$を代入する
$\displaystyle \frac{\zeta’(0)}{\zeta(0)}=1+\frac{\ln\pi+γ}{2}-\sum_{\rho}\frac{1}{\rho}$
を得ることで上式を得る

下の級数(子葉さんに教わった方法)

上の式をもう一度微分する
$\displaystyle \frac{\zeta(s)\zeta’’(s)-\zeta’(s)^2}{\zeta(s)^2}=\frac{1}{(s-1)^2}-\sum_{\rho}\frac{1}{(s-\rho)^2}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(s+2n)^2}$
$s\to1$と極限をとる
$\displaystyle \lim_{s\to1}\left(\frac{\zeta(s)\zeta’’(s)-\zeta’(s)^2}{\zeta(s)^2}-\frac{1}{(s-1)^2}\right)=-\sum_{\rho}\frac{1}{\rho^2}-\frac{\pi^2}{8}+1$

\begin{align} \ln(s\zeta(s+1))&=\ln\left(1+\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\gamma_n}{n!}s^{n+1}\right)\\ &=(\gamma s-\gamma_1 s^2)-\frac{1}{2}(\gamma s)^2+O(s^3)\\ &=\gamma s-\frac{2\gamma_1+\gamma^2}{2}s^2+O(s^3) \end{align}
\begin{equation} \lim_{s\to 0}\frac{d^2}{ds^2}\ln(s\zeta(s+1))=-2\gamma_1-\gamma^2 \end{equation}

以上より上式を得る(すみません、細かい計算は飛ばしちゃいました)

実は上の級数たちは一般化することができます。
次の級数を導入しておきます。

Super zeta function

$\displaystyle \mathscr Z(s):=\sum_{\rho}\frac{1}{\rho^s}$
$\displaystyle \mathcal Z(s):=\sum_{\tau}\frac{1}{\tau^s}$

先行研究を調べてみるとLehrerやVolosなどが研究しており幾つかの面白い結論を得ているようでした。

$\displaystyle \mathscr Z(s)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}(s+n)\right)\Gamma(1-s)}{2^{n-1}n!\Gamma(1-s-n)}\mathcal Z(s+n)$

さらにさらに中1僕がめちゃくちゃ影響を受けたのが素数でした。
中でもリーマンの素数公式やらグリーン・タオの定理に熱狂しました。

リーマンの素数公式

$\displaystyle \pi(x)=\sum_{m≦\log_2x}\frac{\mu(m)}{m}\left(\textup{li}(x^{\frac{1}{m}})-\sum_{\rho}\textup{li}(x^{\frac{\rho}{m}})-\log2+\int_{x^{\frac{1}{m}}}^{\infty}\frac{dt}{t(t^2-1)\log t}\right)$

いや、エグすぎんだろ
これを初見で見た僕は、「あれ、素数とリーマン予想って関係してんのか?素数係数関数作りテェー」とか馬鹿なことを言い出します。(前記事で間違えまくってたやつです、今思い返すと愚かでしたね)

ちなみに素数係数関数は中1僕の予想通りちゃんとリーマン予想と関係していました。

有名なやつ

$\pi(x)=\textup{li}(x)+O(x^{\frac{1}{2}+ε})$

ここまでが僕が中1の頃に知った内容や導出できていたものです。
この頃の僕は純粋で数学のすの字も知りませんでした。

中2僕

上のような既出の結果を出すことができても結局リーマン予想の本質には迫ることなど到底不可能でした。
そこでポアンカレの「数学とは異なるものを同一視するための道具だ」(本元は違うセリフだったかな?)を思い出しリーマンゼータ関数に拘らず数学という世界全体を見渡すことにしました。結果、「物理などの離れた学問からアプローチできるんじゃね」とかいう意味不明な考えに陥りました。(この頃の僕はアティアや望月新一に影響を受けていました)
この時期は特に成果をありませんでした。

次は「零点がクリティカルライン上にあることを示したいならゼータの積を考えてみよう」とどんどん迷走していきました。
はい、それが多重積です。

多重積

$\displaystyle Z_{\Gamma_1,…,\Gamma_r}[f]:=\prod_{\gamma_r\in\Gamma_r}\cdots\prod_{\gamma_1\in\Gamma_1} f(\gamma_1,…,\gamma_r)$

これで$1/3$とか$1/4$上に渡って積をとれば面白いんじゃないかと思っていましたがあまり面白いと思える結論は得られませんでした。

$\displaystyle Z_{a\mathbb N}[\zeta]^{-1}=\prod_{p}p^{\frac{a}{24}}\eta\left(\frac{ai\log p}{2\pi}\right),\Re (a)>1$

$\displaystyle Z_{\bar{0},\bar{b},\overline{a-b}}[\zeta]=\prod_{p}\vartheta_{3}\left(\frac{(2b-a)\log p-2i\pi}{4i},e^{-\frac{a}{2}\log p}\right)$

より面白い結論はどろちゃんが出していたはずなので僕はこれ以上はノータッチで…

中3僕

中3の初め頃は色々あってしんどかったこともありリーマン予想や数学から逃げていました。(2度のドタキャン、音楽のテスト$9$点!、僕を認めない親)
結果ズルズル引きずって何の成果も得られないまま半年が過ぎていました。
そんなとき僕は$mathlog$$Twitter$というエグエグツールを手に入れたことで加速度的に数学の勢いを取り戻しました。(人間性は詰みました)
また、$\color{blue}{\textup{ユウカ}}$と出会うことで研究は飛躍的に進みました。そして、結局は「スーパーゼータ関数についてより理解を深めよう」という結論になりました。
そんなこんなで最近になって導出することができたものをまとめてみます。

やや計算が煩雑なので実際の数値計算はすべてWolfAlpha先生に任せました。
まずは結果から

結果、その2

$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\sum_ρ\frac{3^{2k-2}}{ρ^{2k}}=\sum_ρ\frac{1}{\rho^2}+\sum_{\rho}\frac{9}{\rho^4}+\cdots=\frac{A}{72\zeta(3)}$

定数$A$はあとで導入します。
これを示してみましょう。
といってもほとんどゴリ押しですが。

$\displaystyle \frac{d}{ds}(s^4-s^2)\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\Gamma\left(-\frac{s}{2}\right)\zeta(s)\zeta(-s)=(4s^3-2s)\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\Gamma\left(-\frac{s}{2}\right)\zeta(s)\zeta(-s)+(s^4-s^2)\left(\frac{\pi(\pi s\cot(\frac{\pi s}{2}+2))\csc(\frac{\pi s}{2})}{s^2}\zeta(s)\zeta(-s)-\frac{2\pi}{\sin(\frac{\pi s}{2})s}(\zeta(s)\zeta(-s))’\right)$

ライプニッツルールで地道に計算する
$\displaystyle \frac{d}{ds}(s^4-s^2)\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\Gamma\left(-\frac{s}{2}\right)\zeta(s)\zeta(-s)=(4s^3-2s)\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\Gamma\left(-\frac{s}{2}\right)\zeta(s)\zeta(-s)+(s^4-s^2)(\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\Gamma\left(-\frac{s}{2}\right)\zeta(s)\zeta(-s))’$
ガンマ関数の性質より
$\Gamma(1-z)=-z\Gamma(-z)$
ガンマ関数の相反公式より
$\displaystyle \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\Gamma(-\frac{s}{2})=-\frac{2\pi}{\sin(\frac{\pi s}{2})s}$

$\displaystyle \left(-\frac{2\pi}{\sin(\frac{\pi s}{2})s}\zeta(s)\zeta(-s)\right)’=\frac{\pi(\pi s\cot(\frac{\pi s}{2}+2))\csc(\frac{\pi s}{2})}{s^2}\zeta(s)\zeta(-s)-\frac{2\pi}{\sin(\frac{\pi s}{2})s}(\zeta(s)\zeta(-s))’$
以上より
$\displaystyle \frac{d}{ds}(s^4-s^2)\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\Gamma\left(-\frac{s}{2}\right)\zeta(s)\zeta(-s)=-(4s^3-2s)\frac{2\pi}{\sin(\frac{\pi s}{2})s}\zeta(s)\zeta(-s)+(s^4-s^2)\left(\frac{\pi(\pi s\cot(\frac{\pi s}{2}+2))\csc(\frac{\pi s}{2})}{s^2}\zeta(s)\zeta(-s)-\frac{2\pi}{\sin(\frac{\pi s}{2})s}(\zeta(s)\zeta(-s))’\right)$

続いて上でやったようにゼータ関数の非自明零点の級数がうまく出てくるようにします。
アダマールの因数分解定理より次がわかる
$\displaystyle \zeta(s)=\frac{\pi^{\frac{s}{2}}}{s(s-1)\Gamma(\frac{s}{2})}\prod_{ρ}\left(1-\frac{s}{ρ}\right)$
このとき$\zeta(s)\zeta(-s)$を考える
$\displaystyle \zeta(s)\zeta(-s)=\frac{1}{s^2(s-1)(s+1)\Gamma(\frac{s}{2})\Gamma(-\frac{s}{2})}\prod_{ρ}\left(1-\frac{s}{ρ}\right)\prod_ρ\left(1+\frac{s}{ρ}\right)$
$\displaystyle \ln \left(-(s^4-s^2)\frac{2\pi}{\sin(\frac{\pi s}{2})s}\zeta(s)\zeta(-s)\right)=\sum_ρ\ln\left(1-\frac{s}{ρ}\right)+\sum_ρ\ln\left(1+\frac{s}{ρ}\right)$
両辺微分する
$\displaystyle =\sum_ρ\frac{1}{s-ρ}+\frac{1}{s+ρ}$
$\displaystyle =\sum_ρ\frac{2s}{s^2-ρ^2}$
$s=3$を計算すると
$\displaystyle \sum_ρ\frac{6}{9-ρ^2}=\frac{1}{12\zeta(3)}\left(12\zeta’(3)+\zeta(3)\left(-1440\zeta’(3)+17-6ψ^{(0)}\left(-\frac{3}{2}\right)+6ψ\left(\frac{3}{2}\right)\right)\right)$
$\displaystyle \sum_ρ\frac{1}{1-(\frac{ρ}{3})^2}=\frac{A}{8\zeta(3)}$
$\displaystyle A=12\zeta’(3)+\zeta(3)\left(-1440\zeta’(3)+17-6ψ^{(0)}\left(-\frac{3}{2}\right)+6ψ\left(\frac{3}{2}\right)\right)$
以上より
$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\sum_ρ\frac{3^{2k-2}}{ρ^{2k}}=\frac{A}{72\zeta(3)}$
を得る。
と、ここまでは正直計算が煩雑なだけであまり新しいとは言えませんね。そこで次の級数を考えてみました。

完全スーパーゼータ関数

$\displaystyle \mathscr Z^{\#}(s):=\sum_{\rho}\frac{1}{|\rho|^s}$

多重完全スーパーゼータ関数

$\displaystyle \mathscr Z^{\#}(s_1,…,s_k):=\sum_{0<|\rho_1|<\cdots<|\rho_k|}\frac{1}{|\rho_1|^{s_1}\cdots|\rho_k|^{s_k}}$

多重化してみました。(コンコン氏によると書き方が気持ち悪いらしいが個人的に$k_1,…,k_r$として複素共役をさらに足すのは見た目がアレなのでちょっとやめておきました。ごめんなさい。)
多重ゼータは積分表示できましたがこの関数はできるのでしょうか?難しそうです。

とりあえず有限スーパーゼータ関数を考えてみましょう。

有限完全スーパーゼータ関数(通称:ユウカ関数)

$\displaystyle \mathscr Z_T^{\#}(s):=\sum_{0<|\rho|< T}\frac{1}{|\rho|^s}$

絶対値の入っていない有限和も考察したかったのですが今の僕の数学力じゃ逆立ちしても不可能そうなのでやめておきました。

ユウカ関数の表示

$\displaystyle \mathscr Z_T^{\#}(s)=\int_0^T\frac{sN(t)}{t^{s+1}}dt-\frac{N(T)}{T^s}$

$\displaystyle \sum_{0<|\rho|< T}\frac{1}{|\rho|^s}=\sum_{0<|\rho|< T}\left[\frac{1}{t^{s}}\right]_{t=|\rho|}^{t=T}+\left[\frac{1}{t^{s}}\right]_{t=T}^{t=\infty}$
$\displaystyle =\sum_{0<|\rho|< T}\left(\int_{|\rho|}^T\frac{s}{t^{s+1}}dt+\int_T^{\infty}-\frac{s}{t^{s+1}}dt\right)$
$\displaystyle =\int_0^T\left(\sum_{0<|\rho|< t}1\right)\frac{s}{t^{s+1}}dt+\sum_{0<|\rho|< T}\int_T^{\infty}-\frac{s}{t^{s+1}}dt$
$\displaystyle =\int_0^TN(t)\frac{s}{t^{s+1}}dt-\frac{N(T)}{T^s}$

子葉さんによるとアーベルの総和法という形で一般化されるみたいです。
この有限和から幾つか面白い結果が得られます。(有限和を用いなくとも導出できますが)

$\displaystyle \lim_{T\to\infty}\frac{N(T)}{T^s}=0$

子葉さんの記事によると
$\displaystyle N(T)=\frac{T}{2\pi}\log\frac{T}{2\pi}-\frac{T}{2\pi}+O(\log T)$
と近似できることがわかるので
$\displaystyle \lim_{T\to\infty}\frac{N(T)}{T^s}=0$
を得る$(s>1)$

完全スーパーゼータ関数の積分表示

$\displaystyle \mathscr Z^{\#}(s)=\int_0^{\infty}\frac{sN(t)}{t^{s+1}}dt$

以上の前提を踏まえて僕が導出したリーマン予想と同値な命題は↓です。

$\colorbox{cyan}{更新予定}$
収束性について危うい点があったので修正いたします。
内容は子葉さんの記事にあったものをユウカ関数で書き直しただけなのでそこまで新規性はありません。

二番煎じのような感じですが形にできたのでOKってことで。

余談

リーマン予想と同値な言い換えとして下のようなものもあります。
美しいですね。

$\displaystyle \sigma(n)≦H_n+e^{H_n}\log H_n$

Dudek

$\displaystyle x-\frac{4}{\pi}\sqrt{x}\log x< p≦x$
ここで$x$$2$以上の任意の自然数


リーマン予想が真である必要条件であって同値ではないそう

Riesz

$\displaystyle -\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-x)^k}{(k-1)!\zeta(2k)}=O\left(x^{\frac{1}{4}+ε}\right)$
がすべての$ε>0$に対して成り立つ

Wikipediaにより多く載っています。
気になる人は見に行ってください。

最後に

最後まで読んでいただきありがとうございます。
結局リーマン予想は僕なんかじゃ解決することはできませんでしたが3年間向き合ったことでこんな面白い結果を得ることができました。数学に入るきっかけとなったリーマン予想をこのような形で僕の数学の区切りとなる中学卒業と同時に公表できてとても嬉しい限りです。

投稿日:22日前
更新日:17日前

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投稿者

分野の好き嫌いはしないンゴ

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